2021届高三大题优练6 圆锥曲线之定值定点问题（文） 教师版.docx

圆锥曲线之定值定点问题大题优练6优选例题例1已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由【答案】（1）；（2）是定值，定值为4【解析】（1）为正三角形，可得，且，椭圆的方程为（2）分以下两种情况讨论：当直线斜率不为0时，设其方程为，且，联立，消去得，则，且，弦的中点的坐标为，则弦的垂直平分线为，令，得，又，；当直线斜率为0时，则，则，综合得是定值且为4例2已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点（1）求的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）过定点，【解析】（1）由题意可得，解得或(舍），故椭圆的方程为（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；当的斜率都存在且不为时，设，设，联立，整理得，则，所以的中点，同理由，可得的中点，则，所以直线的方程为，化简得，故直线恒过定点综上，直线过定点模拟优练1已知椭圆()的左右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为的周长为，所以，即又离心率，解得，椭圆的方程为（2）设，将代入，消去并整理得，则，四边形为平行四边形，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，平行四边形的面积为，故平行四边形的面积为定值为2如图，已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，（1）求的值；（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由【答案】（1）；（2）为定值5【解析】（1）设，则，由题意得焦点为，所以，当时，有联立，得，从而将代入，得，所以，故（2）由（1）知，椭圆设，代入椭圆，得而，即，从而同理，从而于是，所以，的斜率之比为定值53已知椭圆（）的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，A在第一象限，且（1）求椭圆的方程；（2）若过点的任一直线与椭圆交于两点、证明：在轴上存在点，使得为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由，得，设椭圆方程为，联立方程组，得，则，所以，所以，所以椭圆的方程为（2）证明：当直线不与轴重合时，设，联立方程组，得设，则有，于是，若为定值，则有，得，此时；当直线与轴重合时，也有，综上，存在点，满足4已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点的椭圆C的切线与交于点M记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，设，则，当时，面积取得最大值，所以，又，解得，所以椭圆的方程是（2）设直线与联立得，因为PM是椭圆的切线，所以，即，由，得，所以，则，设，则，因为，所以，将代入，得，因为同号，所以，因为M在直线上，所以，所以，所以5设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为（2）证明：设，则，直线，与椭圆方程联立，得，则，因为点三点共线，所以，即，所以，即，整理得由，代入，整理得，所以直线l的方程为，即直线l恒过定点6已知椭圆，直线过椭圆的左焦点，与椭圆在第一象限交于点，三角形的面积为，、分别为椭圆的上下顶点，、是椭圆上的两个不同的动点（1）求椭圆的标准方程；（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由【答案】（1）；（2）直线过定点【解析】（1）直线过左焦点，所以，又由，可知从而椭圆经过点由椭圆定义知，即，故椭圆的方程为（2）设直线的方程为，则的方程为，由，得，从而点坐标为；由，得，从而点坐标为，由条件知，从而直线的斜率存在，所以直线的方程为，即，过定点，故直线过定点7设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线有两个交点，若，证明：原点到直线的距离为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）点在圆内，圆内切于圆，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，从而， 点的轨迹的方程为（2）设，若直线斜率存在，设，联立，整理得，化简得，即，故原点到直线的距离为；若直线斜率不存在，设，联立，解得，代入化简得，即原点到直线的距离为，综上所述，原点到直线的距离为定值8设为抛物线上两点，且线段的中点在直线上（1）求直线的斜率；（2）设直线与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，当直线经过抛物线的焦点时，求的值【答案】（1）1；（2）4【解析】（1）设，因为在抛物线上，且的中点在直线上，则，所以直线的斜率（2）直线经过抛物线的焦点，直线的方程为，由，消去得，由韦达定理，直线与抛物线交于点，点的坐标为，9已知椭圆（）的左、右顶点分别为，上顶点若的面积为，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，若，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为【解析】（1）由题意得，得又椭圆的离心率为，所以，即，所以，故椭圆的方程为（2）由题意可知，直线的斜率不存在时，不合题意，因此直线的斜率必存在，设其方程为（），与椭圆方程联立，整理得由，设，则，因为，所以又，所以，即，整理得，所以又，即，故，整理得，即因此直线的方程为，由，得，故直线必过定点