2018高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 Word版含答案.doc

第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节第一节平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 1 1向量的有关概念向量的有关概念 名称名称 定义定义 备注备注 向量向量 既有既有大小大小又有又有方向方向的量；向量的大小的量；向量的大小叫做向量的叫做向量的长度长度( (或称或称模模) ) 平面向量是自由向量平面向量是自由向量 零向量零向量 长度为长度为 0 0 的向量；其方向是任意的的向量；其方向是任意的 记作记作 0 0 单位向量单位向量 长度等于长度等于 1 1 个单位个单位的向量的向量 非零向量非零向量a a的的 单位向量为单位向量为a a| |a a| | 平行向量平行向量 方向方向相同相同或或相反相反的非零向量的非零向量( (又叫做又叫做共线向量共线向量) ) 0 0 与任一向量与任一向量平行平行或共线或共线 相等向量相等向量 长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大两向量只有相等或不等，不能比较大小小 相反向量相反向量 长度长度相等相等且方向且方向相反相反的向量的向量 0 0 的相反向量为的相反向量为 0 0 2 2向量的线性运算向量的线性运算 向量运算向量运算 定义定义 法则法则 ( (或几何意义或几何意义) ) 运算律运算律 加法加法 求两个向量和的运算求两个向量和的运算 三角形三角形法法则则 (1)(1)交换律：交换律：a ab bb ba a； (2)(2)结结合律：合律：( (a ab b) )c ca a( (b bc c) ) 平行四边平行四边形形法则法则 减法减法 求求a a与与b b的相反向量的相反向量b b的和的运算叫做的和的运算叫做a a与与b b的差的差 三角三角形形法则法则 a ab ba a( (b b) ) 数乘数乘 求实数求实数与向量与向量a a的积的积的运算的运算 (1)|(1)|aa| | |a a| |； (2)(2)当当0 0时，时，aa的方向与的方向与a a的方向的方向相同相同；当；当0 0 时，时，aa的方向与的方向与a a的的方向方向相反相反； 当； 当0 0时，时，aa0 0 ( ( a a) )( () )a a； ( () )a aaa a a； ( (a ab b) )aabb 3 3共线向量定理共线向量定理 向量向量a a( (a0a0) )与与b b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使得，使得b baa 1 1下列四个命题中，正确的命题是下列四个命题中，正确的命题是( ( ) ) A A若若a ab b，则，则a ab b B B若若| |a a| | |b b| |，则，则a ab b C C若若| |a a| | |b b| |，则，则a ab b D D若若a ab b，则，则| |a a| | |b b| | 答案：答案：D D 2 2( (教材习题改编教材习题改编) )化简：化简： (1)(1)( ABAB MBMB ) )BOBO OMOM _ (2)(2) NQNQ QPQP MNMN MPMP _ 答案：答案：(1)(1)ABAB (2)0(2)0 3 3 已知 已知a a与与b b是两个不共线的向量， 且向量是两个不共线的向量， 且向量a abb与与( (b b3 3a a) )共线， 则共线， 则_ 答案：答案：1 13 3 1 1在利用在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误误 2 2在向量共线的重要条件中易忽视在向量共线的重要条件中易忽视“a a0”0”，否则，否则可能不存在，也可能有无数个可能不存在，也可能有无数个 3 3要注意向量共线与三点共线的区别与联系要注意向量共线与三点共线的区别与联系 1 1若菱形若菱形ABCDABCD的边长为的边长为 2 2，则，则| |ABAB CBCB CDCD | |_ 解析：解析：| |ABAB CBCB CDCD | | |ABAB BCBC CDCD | | |ADAD | |2 2 答案：答案：2 2 2 2 已知 已知a a，b b是非零向量， 命题是非零向量， 命题p p：a ab b， 命题， 命题q q： | |a ab b| | |a a| | |b b| |， 则， 则p p是是q q的的_条件条件 解析：若解析：若a ab b，则，则| |a ab b| |2|2a a| |2|2|a a| |，| |a a| | |b b| | |a a| | |a a| |2|2|a a| |，即，即p pq q 若若| |a ab b| | |a a| | |b b| |，由加法的运算知，由加法的运算知a a与与b b同向共线同向共线， 即即a abb，且，且00，故，故q q/ / p p p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件 答案：充分不必要答案：充分不必要 考点一考点一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 1 1设设a a0 0为单位向量，下列命题中：为单位向量，下列命题中：若若a a为平面内的某个向量，则为平面内的某个向量，则a a| |a a|a a0 0；若若a a与与a a0 0平行，则平行，则a a| |a a| |a a0 0；若若a a与与a a0 0平行且平行且| |a a| |1 1，则，则a aa a0 0假命题的个数是假命题的个数是( ( ) ) A A0 0 B B1 1 C C2 2 D D3 3 解析：解析：选选 D D 向量是既有大小又有方向的量，向量是既有大小又有方向的量，a a与与| |a a| |a a0 0的模相同，但方向不一定相同，的模相同，但方向不一定相同，故故是假命题；若是假命题；若a a与与a a0 0平行，则平行，则a a与与a a0 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时时a a| |a a| |a a0 0，故，故也是假命题综上所述，假命题的个数是也是假命题综上所述，假命题的个数是 3 3 2 2( (易错题易错题) )给出下列命题：给出下列命题： 若若a ab b，b bc c，则，则a ac c； 若若A A，B B，C C，D D是不共线的四点，则是不共线的四点，则ABAB DCDC 是四边形是四边形ABCDABCD为平行四边形的充要条为平行四边形的充要条件；件； a ab b的充要条件是的充要条件是| |a a| | |b b| |且且a ab b； 若若a ab b，b bc c，则，则a ac c 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_ 解析：解析：正确正确a ab b，a a，b b的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同， 又又b bc c，b b，c c的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同， a a，c c的长度相等且方向相同，故的长度相等且方向相同，故a ac c 正确正确ABAB DCDC ，| |ABAB | | |DCDC | |且且ABAB DCDC ， 又又A A，B B，C C，D D是不共线的四点，是不共线的四点， 四边形四边形ABCDABCD为平行四边形；为平行四边形； 反之，若四边形反之，若四边形ABCDABCD为平行四边形，为平行四边形， 则则ABAB DCDC 且且| |ABAB | | |DCDC | |，因此，因此，ABAB DCDC 不正确当不正确当a ab b且方向相反时，即使且方向相反时，即使| |a a| | |b b| |，也不能得到，也不能得到a ab b，故，故| |a a| | |b b| |且且a ab b不是不是a ab b的充要条件，而是必要不的充要条件，而是必要不充分条件充分条件 不正确考虑不正确考虑b b0 0 这种特殊情况这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是综上所述，正确命题的序号是 答案：答案： 向量有关概念的向量有关概念的 5 5 个关键点个关键点 (1)(1)向量：方向、长度向量：方向、长度 (2)(2)非零共线向量：方向相同或相反非零共线向量：方向相同或相反 (3)(3)单位向量：长度是一个单位长度单位向量：长度是一个单位长度 (4)(4)零向量：方向没有限制，长度是零向量：方向没有限制，长度是 0 0 (5)(5)相等相量：方向相同且长度相等如相等相量：方向相同且长度相等如“题组练透题组练透”第第 2 2 题易混淆有关概念题易混淆有关概念 考点二考点二 向量的线性运算向量的线性运算基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 1 1(2017(2017武汉调研武汉调研) )设设M M为平行四边形为平行四边形ABCDABCD对对角线的交点，角线的交点，O O为平行四边形为平行四边形ABCDABCD所所在平面内的任意一点，则在平面内的任意一点，则OAOA OBOB OCOC ODOD 等于等于( ( ) ) A AOMOM B B2 2OMOM C C3 3OMOM D D4 4OMOM 解析： 选解析： 选 D D 因为因为M M是平行四边是平行四边形形ABCDABCD对角线对角线ACAC，BDBD的交点， 所以的交点， 所以OAOA OCOC 2 2OMOM ，OBOB ODOD 2 2OMOM ，所以，所以OAOA OBOB OCOC ODOD 4 4OMOM 2 2 (2017(2017唐山统考唐山统考) )在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中，中，ABAB 2 2CDCD ，M M为为BCBC的中点， 则的中点， 则AMAM ( ( ) ) A A1 12 2ABAB 1 12 2ADAD B B3 34 4ABAB 1 12 2ADAD C C3 34 4ABAB 1 14 4ADAD D D1 12 2ABAB 3 34 4ADAD 解析解析： 选选 B B 因为因为ABAB 2 2CDCD ， 所以所以ABAB 2 2DCDC 又又M M是是BCBC的中点的中点， 所以所以AMAM 1 12 2( (ABAB ACAC ) )1 12 2( (ABAB ADAD DCDC ) )1 12 2 ABAB ADAD 1 12 2 ABAB 3 34 4ABAB 1 12 2ADAD 3 3设设D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC上的点，上的点，ADAD1 12 2ABAB，BEBE2 23 3BCBC若若DEDE 1 1ABAB 2 2ACAC ( (1 1，2 2为实数为实数) )，则，则1 12 2的值为的值为_ 解析：解析：DEDE DBDB BEBE 1 12 2ABAB 2 23 3BCBC 1 12 2ABAB 2 23 3( (BABA ACAC ) )1 16 6ABAB 2 23 3ACAC ，所以，所以1 11 16 6，2 22 23 3，即，即1 12 21 12 2 答案：答案：1 12 2 1 1平面向量的线性运算技巧平面向量的线性运算技巧 (1)(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 (2)(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解，把未知向量用已知向量表示出来求解 2 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置 (2)(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式 (3)(3)比较、观察可知所求比较、观察可知所求 考点三考点三 共线向量定理的应用共线向量定理的应用重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 设两个非零向量设两个非零向量a a与与b b不共线，不共线， (1)(1)若若ABAB a ab b，BCBC 2 2a a8 8b b，CDCD 3(3(a ab b) )， 求证：求证：A A，B B，D D三点共线；三点共线； (2)(2)试确定实数试确定实数k k，使，使kakab b和和a akbkb同向同向 解：解：(1)(1)证明：证明：ABAB a ab b，BCBC 2 2a a8 8b b，CDCD 3 3a a3 3b b， BDBD BCBC CDCD 2 2a a8 8b b3 3a a3 3b b5(5(a ab b) )5 5ABAB ABAB ，BDBD 共线，又共线，又它们有公共点它们有公共点B B，A A，B B，D D三点共线三点共线 (2)(2)kakab b与与a akbkb同向，同向， 存在实数存在实数( (0)0)，使，使kakab b( (a akbkb) )， 即即kakab baakbkb( (k k) )a a( (kk1)1)b b a a，b b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量， k k0 0，kk1 10 0，解得解得 k k1 1，1 1或或 k k1 1，1 1， 又又00，k k1 1 共线向量定理的共线向量定理的 3 3 个应用个应用 (1)(1)证明向量共线：对于向量证明向量共线：对于向量a a，b b，若存在实数，若存在实数，使，使a abb，则，则a a与与b b共线共线 (2)(2)证明三点共线：若存在实数证明三点共线：若存在实数，使，使ABAB ACAC ，则，则A A，B B，C C三点共线三点共线 (3)(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程( (组组) )求参数的值求参数的值 证明三点共线时，需说明证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点共线的两向量有公共点 如图， 在如图， 在ABCABC中，中，D D，F F分别是分别是BCBC，ACAC的中点，的中点，AEAE 2 23 3ADAD ，ABAB a a，ACAC b b (1)(1)用用a a，b b表示向量表示向量ADAD ，AEAE ，AFAF ，BEBE ，BFBF ； (2)(2)求证：求证：B B，E E，F F三点共线三点共线 解：解：(1)(1)延长延长ADAD到到G G， 使使ADAD 1 12 2AGAG ， 连接连接BGBG，CGCG，得到，得到 ABGCABGC， 所以所以AGAG a ab b， ADAD 1 12 2AGAG 1 12 2( (a ab b) )， AEAE 2 23 3ADAD 1 13 3( (a ab b) )， AFAF 1 12 2ACAC 1 12 2b b， BEBE AEAE ABAB 1 13 3( (a ab b) )a a1 13 3( (b b2 2a a) )， BFBF AFAF ABAB 1 12 2b ba a1 12 2( (b b2 2a a) ) (2)(2)证明：由证明：由(1)(1)可知可知BEBE 2 23 3BFBF ， 又因为又因为BEBE ，BFBF 有公共点有公共点B B， 所以所以B B，E E，F F三点共线三点共线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 1 在平行四边形 在平行四边形ABCDABCD中， 对角线中， 对角线ACAC与与BDBD交于点交于点O O， 若， 若ABAB ADAD AOAO ， 则， 则( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D6 6 解析：选解析：选 B B 根据向量加法的运算法则可知，根据向量加法的运算法则可知，ABAB ADAD ACAC 2 2AOAO ，故，故2 2 2 2在在ABCABC中，中，ADAD 2 2DCDC ，BABA a a，BDBD b b，BCBC c c，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是( ( ) ) A Ac c2 2b ba a B Bc c2 2a ab b C Cc c3 32 2a a1 12 2b b D Dc c3 32 2b b1 12 2a a 解析：选解析：选 D D 依题意得依题意得BDBD BABA 2(2(BCBC BDBD ) )， 即即BCBC 3 32 2BDBD 1 12 2BABA 3 32 2b b1 12 2a a 3 3在四边形在四边形ABCDABCD中，中，ABAB a a2 2b b，BCBC 4 4a ab b，CDCD 5 5a a3 3b b，则四边形，则四边形ABCDABCD的形状是的形状是( ( ) ) A A矩形矩形 B B平行四边形平行四边形 C C梯形梯形 D D以上都不对以上都不对 解析： 选解析： 选 C C 由已知， 得由已知， 得ADAD ABAB BCBC CDCD 8 8a a2 2b b2(2(4 4a ab b) )2 2BCBC ， 故， 故ADAD BCBC 又因为又因为ABAB 与与CDCD 不平行，所以四边形不平行，所以四边形ABCDABCD是梯形是梯形 4 4(2017(2017扬州模拟扬州模拟) )在在ABCABC中，中，N N是是ACAC边上一点且边上一点且ANAN 1 12 2NCNC ，P P是是BNBN上一点，若上一点，若APAP m m ABAB 2 29 9ACAC ，则实数，则实数m m的值是的值是_ 解析：如图，因为解析：如图，因为ANAN 1 12 2NCNC ，P P是是BNBN 上一点所以上一点所以ANAN 1 13 3ACAC ，APAP m m ABAB 2 29 9ACAC m m ABAB 2 23 3ANAN ，因为，因为B B，P P，N N三点共线，所以三点共线，所以m m2 23 31 1，则，则m m1 13 3 答案：答案：1 13 3 5 5 已知 已知 ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于相交于O O， 且， 且OAOA a a，OBOB b b， 则， 则DCDC _，BCBC _( (用用a a，b b表示表示) ) 解析：如图，解析：如图，DCDC ABAB OBOB OAOA b ba a，BCBC OCOC OBOB OAOA OBOB a ab b 答案：答案：b ba a a ab b 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1 1 如图， 在平行四边形 如图， 在平行四边形ABCDABCD中，中，E E为为DCDC边的中点， 且边的中点， 且ABAB a a，ADAD b, b, 则则BEBE 等于等于( ( ) ) A A1 12 2b ba a B B1 12 2a ab b C C1 12 2a ab b D D1 12 2b ba a 解析：选解析：选 C C BEBE BABA ADAD 1 12 2DCDC a ab b1 12 2a ab b1 12 2a a，故选，故选 C C 2 2已知向量已知向量a a，b b不共线，且不共线，且c caab b，d da a(2(21)1)b b，若，若c c与与d d共线反向，则共线反向，则实数实数的值为的值为( ( ) ) A A1 1 B B1 12 2 C C1 1 或或1 12 2 D D1 1 或或1 12 2 解析：选解析：选 B B 由于由于c c与与d d共线反向，则存在实数共线反向，则存在实数k k使使c ckdkd( (k k0)0)，于是，于是aab bk k a ab b 整理得整理得aab bkaka(2(2kkk k) )b b 由于由于a a，b b不共线，所以有不共线，所以有 k k，2 2kkk k1 1， 整理得整理得 2 22 21 10 0，解得，解得1 1 或或1 12 2 又因为又因为k k0 0，所以，所以0 0，故，故1 12 2 3 3下列四个结论：下列四个结论： ABAB BCBC CACA 0 0；ABAB MBMB BOBO OMOM 0 0；ABAB ACAC BDBD CDCD 0 0；NQNQ QPQP M MN N MPMP 0 0， 其中一定正确的结论个数是其中一定正确的结论个数是( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D4 4 解析：选解析：选 C C ABAB BCBC CACA ACAC CACA 0 0，正确；正确；ABAB MBMB BOBO OMOM ABAB MOMO OMOM ABAB ，错；错；ABAB ACAC BDBD CDCD CBCB BDBD DCDC CBCB BCBC 0 0，正确；正确；NQNQ QPQP MNMN MPMP NPNP PNPN 0 0，正确故正确故正确正确 4 4设设D D，E E，F F分分别是别是ABCABC的三边的三边BCBC，CACA，ABAB上的点，且上的点，且DCDC 2 2BDBD ，CECE 2 2EAEA ，AFAF 2 2FBFB ，则，则ADAD BEBE CFCF 与与BCBC ( ( ) ) A A反向平行反向平行 B B同向平行同向平行 C C互相垂直互相垂直 D D既不平行也不垂直既不平行也不垂直 解析：选解析：选 A A 由题意得由题意得ADAD ABAB BDBD ABAB 1 13 3BCBC ， BEBE BABA AEAE BABA 1 13 3ACAC ， CFCF CBCB BFBF CBCB 1 13 3BABA ， 因此因此ADAD BEBE CFCF C CB B 1 13 3( (BCBC ACAC ABAB ) ) CBCB 2 23 3BCBC 1 13 3BCBC ， 故故ADAD BEBE CFCF 与与BCBC 反向平行反向平行 5 5设设O O在在ABCABC的内部，的内部，D D为为ABAB的中点，且的中点，且OAOA OBOB 2 2OCOC 0 0，则，则ABCABC的面积与的面积与AOCAOC的面积的比值为的面积的比值为( ( ) ) A A3 3 B B4 4 C C5 5 D D6 6 解析：解析：选选 B B D D为为ABAB的中点，的中点， 则则ODOD 1 12 2( (OAOA OBOB ) )， 又又OAOA OBOB 2 2OCOC 0 0， ODOD OCOC ，O O为为CDCD的中点，的中点， 又又D D为为ABAB中点，中点， S SAOCAOC1 12 2S SADCADC1 14 4S SABCABC， 则则S SABCABCS SAOCAOC4 4 6 6在在 ABCDABCD中，中，ABAB a a，ADAD b b，ANAN 3 3NCNC ，M M为为BCBC的中点，则的中点，则MNMN _(_(用用a a，b b表示表示) ) 解析：由解析：由ANAN 3 3NCNC ，得，得ANAN 3 34 4ACAC 3 34 4( (a ab b) )，AMAM a a1 12 2b b，所以，所以MNMN ANAN AMAM 3 34 4( (a ab b) ) a a1 12 2b b1 14 4a a1 14 4b b 答案：答案：1 14 4a a1 14 4b b 7 7设点设点M M是线段是线段BCBC的中点，点的中点，点A A在直在直线线BCBC外，外，BCBC 2 21616，| |ABAB ACAC | | |ABAB ACAC | |，则，则| |AMAM | |_ 解析：由解析：由| |ABAB ACAC | | |ABAB ACAC | |可知，可知，ABAB ACAC ， 则则AMAM为为 RtRtABCABC斜边斜边BCBC上的中线，上的中线， 因此，因此，| |AMAM | |1 12 2| |BCBC | |2 2 答案：答案：2 2 8 8已知已知D D，E E，F F分别为分别为ABCABC的边的边BCBC，CACA，ABAB的中点，且的中点，且BCBC a a，CACA b b，给出下，给出下列命题：列命题：ADAD 1 12 2a ab b；BEBE a a1 12 2b b；CFCF 1 12 2a a1 12 2b b；ADAD BEBE CFCF 0 0 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为_ 解析：解析：BCBC a a，CACA b b，ADAD 1 12 2CBCB ACAC 1 12 2a ab b，故，故错；错； BEBE BCBC 1 12 2CACA a a1 12 2b b，故，故正确；正确； CFCF 1 12 2( (CBCB CACA ) )1 12 2( (a ab b) )1 12 2a a1 12 2b b，故，故正确；正确； ADAD BEBE CFCF b b1 12 2a aa a1 12 2b b1 12 2b b1 12 2a a0 0，故，故正确正确 正确命题为正确命题为 答案：答案：3 3 9 9在在ABCABC中，中，D D，E E分别为分别为BCBC，ACAC边上的中点，边上的中点，G G为为BEBE上一点，上一点，且且GBGB2 2GEGE，设，设ABAB a a，ACAC b b，试用，试用a a，b b表示表示ADAD ，AGAG 解：解：ADAD 1 12 2( (ABAB ACAC ) )1 12 2a a1 12 2b b AGAG ABAB BGBG ABAB 2 23 3BEBE ABAB 1 13 3( (BABA BCBC ) ) 2 23 3ABAB 1 13 3( (ACAC ABAB ) ) 1 13 3ABAB 1 13 3ACAC 1 13 3a a1 13 3b b 1010设设e e1 1，e e2 2是两个不共线的向量，已知是两个不共线的向量，已知ABAB 2 2e e1 18 8e e2 2，CBCB e e1 13 3e e2 2，CDCD 2 2e e1 1e e2 2 (1)(1)求证：求证：A A，B B，D D三点共线；三点共线； (2)(2)若若BFBF 3 3e e1 1keke2 2，且，且B B，D D，F F三点共线，求三点共线，求k k的值的值 解：解：(1)(1)证明：由已知得证明：由已知得BDBD CDCD CBCB (2(2e e1 1e e2 2) )( (e e1 13 3e e2 2) )e e1 14 4e e2 2， ABAB 2 2e e1 18 8e e2 2， ABAB 2 2BDBD 又又ABAB 与与BDBD 有公共点有公共点B B， A A，B B，D D三点共线三点共线 (2)(2)由由(1)(1)可知可知BDBD e e1 14 4e e2 2， BFBF 3 3e e1 1keke2 2，且，且B B，D D，F F三点共线，三点共线， BFBF BDBD ( (R)R)， 即即 3 3e e1 1keke2 2ee1 14 4ee2 2， 得得 3 3，k k4 4. . 解得解得k k1212 三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 1在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，A A9090，B B3030，ABAB2 2 3 3，BCBC2 2，点，点E E在线段在线段CDCD上，若上，若AEAE ADAD ABAB ，则，则的取值范围是的取值范围是_ 解析：由题意可求得解析：由题意可求得ADAD1 1，CDCD 3 3，所以，所以ABAB 2 2DCDC 点点E E在线段在线段CDCD上，上， DEDE DCDC (0(01)1) AEAE ADAD DEDE ， 又又AEAE ADAD ABAB ADAD 2 2 DCDC ADAD 2 2DEDE ， 2 21 1，即，即2 20011， 001 12 2 即即的取值范围是的取值范围是 0 0，1 12 2 答案：答案： 0 0，1 12 2 2 2已知已知O O，A A，B B是不共线的三点，且是不共线的三点，且OPOP m m OAOA n n OBOB ( (m m，n nR)R) (1)(1)若若m mn n1 1，求证：，求证：A A，P P，B B三点共线；三点共线； (2)(2)若若A A，P P，B B三点共线，求证：三点共线，求证：m mn n1 1 证明：证明：(1)(1)若若m mn n1 1， 则则OPOP m m OAOA (1(1m m) )OBOB OBOB m m( (OAOA OBOB ) )， OPOP OBOB m m( (OAOA OBOB ) )， 即即BPBP m m BABA ，BPBP 与与BABA 共线共线 又又BPBP 与与BABA 有公共点有公共点B B， A A，P P，B B三点共线三点共线 (2)(2)若若A A，P P，B B三点共线，三点共线， 则存在实数则存在实数，使，使BPBP BABA ， OPOP OBOB ( (OAOA OBOB ) ) 又又OPOP m m OAOA n n OBOB 故有故有m m OAOA ( (n n1)1)OBOB OAOA OBOB ， 即即( (m m) )OAOA ( (n n1)1)OBOB 0 0 O O，A A，B B不共线，不共线，OAOA ，OBOB 不共线，不共线， m m0 0，n n1 10 0，m mn n1 1 第二节第二节平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 1 1平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且有且只有只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a a1 1e e1 12 2e e2 2 其中，不共线的向量其中，不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内所有向量的一组所有向量的一组基底基底 2 2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设设a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，则，则 a ab b( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2) )，a ab b( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2) )， aa( (xx1 1，yy1 1) )，| |a a| |x x2 21 1y y2 21 1 (2)(2)向量坐标的求法：向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则，则ABAB ( (x x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )， | |ABAB | |x x2 2x x1 12 2y y2 2y y1 12 2 3 3平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，其中，其中b b00，则，则a ab bx x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0 1 1已知已知a a(4,2)(4,2)，b b( (6 6，m m) )，若，若a ab b，则，则m m的值为的值为_ 答案：答案：3 3 2 2( (教材习题改编教材习题改编) )已知已知a a(2,1)(2,1)，b b( (3,4)3,4)，则，则 3 3a a4 4b b_ 答案：答案：( (6,19)6,19) 3 3设设e e1 1，e e2 2是平面内一组基向量，且是平面内一组基向量，且a ae e1 12 2e e2 2，b be e1 1e e2 2，则向量，则向量e e1 1e e2 2可以表可以表示为另一组基向量示为另一组基向量a a，b b的线性组合，即的线性组合，即e e1 1e e2 2_a a_b b 解析：由题意，设解析：由题意，设e e1 1e e2 2m m a an n b b 因为因为a ae e1 12 2e e2 2，b be e1 1e e2 2， 所以所以e e1 1e e2 2m m( (e e1 12 2e e2 2) )n n( (e e1 1e e2 2) )( (m mn n) )e e1 1(2(2m mn n) )e e2 2 由平面向量基本定理，得由平面向量基本定理，得 m mn n1 1，2 2m mn n1 1，所以所以 m m2 23 3，n n1 13 3. . 答案：答案：2 23 3 1 13 3 1 1向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 2 2若若a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，则，则a ab b的充要条件不能表示成的充要条件不能表示成x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2，因为，因为x x2 2，y y2 2有可能等于有可能等于 0 0，所以应表示为，所以应表示为x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0 1 1设设e e1 1，e e2 2是平面内一组基底，若是平面内一组基底，若1 1e e1 12 2e e2 20 0，则，则1 12 2_ 答案：答案：0 0 2 2(2015(2015江苏高考江苏高考) )已知向量已知向量a a(2,1)(2,1)，b b(1(1，2)2)，若，若mamanbnb(9(9，8)(8)(m m，n nR)R)，则，则m mn n的值为的值为_ 解析：解析：mamanbnb(2(2m mn n，m m2 2n n) )(9(9，8)8)， 2 2m mn n9 9，m m2 2n n8 8， m m2 2，n n5 5，m mn n2 25 53 3 答案：答案：3 3 考点一考点一 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 1 1如图，在三角形如图，在三角形ABCABC中，中，BEBE是边是边ACAC的中线，的中线，O O是是BEBE边的中点，边的中点，若若ABAB a a，ACAC b b，则，则AOAO ( ( ) ) A A1 12 2a a1 12 2b b B B1 12 2a a1 13 3b b C C1 14 4a a1 12 2b b D D1 12 2a a1 14 4b b 解析：选解析：选 D D 在三角形在三角形ABCABC中，中， BEBE是是ACAC边上的中线，边上的中线， AEAE 1 12 2ACAC O O是是BEBE边的中点，边的中点， AOAO 1 12 2( (ABAB AEAE ) )1 12 2ABAB 1 14 4ACAC 1 12 2a a1 14 4b b 2 2( (易错题易错题) )如图，以向量如图，以向量OAOA a a，OBOB b b为邻边作为邻边作 OADBOADB，BMBM 1 13 3BCBC ，CNCN 1 13 3CDCD ，用用a a，b b表示表示OMOM ，ONON ，MNMN 解：解：BABA OAOA OBOB a ab b， BMBM 1 16 6BABA 1 16 6a a1 16 6b b， OMOM OBOB BMBM 1 1