2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）（原卷版）.docx

2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位,a为实数,且,则a（ ）A2B1C-2D-12已知集合,则的子集的个数为（ ）A1B2C3D43函数的图象大致为（ ）ABCD4已知,则向量在上的投影为（ ）ABCD5已知双曲线的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为的等边三角形（为原点）,则双曲线的方程为（ ）ABCD6已知中,则的面积为（ ）ABCD7执行如图所示的程序框图,若输入的的值为-3,的值为0,则输出的和值分别是（ ）A0和2B0和1C1和2D1和18琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化,某校以这十种乐器为题材,在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座,共连续安排八节课,一节课只讲一种乐器,一种乐器最多安排一节课,则琵琶、二胡、编钟一定安排,且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD9已知函数在同一周期内有最高点和最低点,则此函数在的值域为（ ）ABCD10.已知函数,若,则的取值范围是（ ）ABCD11.在正方体中,记平面为,若平面,平面,则,所成角的余弦值为（ ）ABCD12已知椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,是上除长轴端点外的任意一点,的平分线交的长轴于点,则的取值范围是（ ）ABCD二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.曲线在点处的切线方程为_.14. 已知,满足约束条件,则的最小值为_15.已知,则_.16.已知A,B,C,D四点均在以点为球心的球面上,且,.若球在球内且与平面相切,则球直径的最大值为_. 三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知等差数列的前项和为,且,.（1）求数列的通项公式以及前项和；（2）求数列的前项和.18(12分) 如图,在梯形中,四边形为矩形,平面平面,设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为,求的最小值.19(12分) 已知为抛物线的焦点,以为圆心作半径为的圆,圆与轴的负半轴交于点,与抛物线分别交于点、.（1）若为直角三角形,求半径的值；（2）判断直线与抛物线的位置关系,并给出证明.20(12分) 首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展,成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会,提升行业竞争力,加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：科技投入24681012收益5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线的周围,据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：43.54.5854.034.712730.470其中,.（1）（i）请根据表中数据,建立关于的回归方程（保留一位小数）；（ii）根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少？（其中）（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围,并计算得回归方程为,以及该回归模型的相关指数,试比较甲乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好.附：对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,相关指数：.21(12分) 已知函数,为的导数.（1）当时,求的最小值；（2）当时,恒成立,求的取值范围.(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；（2）射线,和曲线分别交于点,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含,求实数的取值范围.