2022届高三数学一轮复习（原卷版）9．4　直线、圆的位置关系.doc

1 94 直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系 1直线与圆的位置关系 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 代数特征(解的个数) 相离 无实数解 相切 dr 相交 2 2.圆与圆的位置关系 位置关系 图示 (Rr) 公共点个数 几何特征(O1O2d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 无实数解 外切 1 两组相同实数解 相交 2 两组不同实数解 内切 1 两组相同实数解 内含 0 无实数解 自查自纠： 10 dr 1 两组相同实数解 dRr dRr RrdRr dRr dRr 圆(x1)2(y2)26 与直线 2xy50的位置关系是 ( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离 解：由题意知圆心(1，2)到直线 2xy50的距离 d|2125|221 50)及直线l： xy30， 当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3时，则 a 等于 ( ) A 2 B2 2 C 21 D 21 解：依题意|a1|22( 3)24又 a0，所以a 21故选 C 若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m_ 解：圆 C1的圆心是原点(0，0)，半径 r11，圆C2：(x3)2(y4)225m，圆心 C2(3，4)，半径r225m，由两圆相外切，得|C1C2|r1r21 25m5，所以 m9故填 9 (2016全国卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B分别做l的垂线与x轴交于C， D两点， 若|AB|2 3，则|CD|_ 解：设 AB 的中点为 M， 由题意知，圆的半径 R2 3，|AB|2 3，所 2 以|OM|3m 3|m213，解得 m33，可得 l： x 3y60，由x 3y60，x2y212解得 A(3，3)， B(0， 2 3)， 则 AC 的直线方程为 y 3 3(x3)， BD 的直线方程为 y2 3 3x， 令 y0，解得 C(2，0)，D(2，0)，所以|CD|4故填 4 类型一类型一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (2018福建泉州四校联考)已知 m(2cos，2sin)，n(3cos，3sin)，若 m 与 n 的夹角为 60，则直线 xcosysin120 与圆(xcos)2(ysin)212的位置关系是 ( ) A相交但不过圆心 B相交且过圆心 C相切 D相离 解： 由向量的夹角公式得 cos m， n m n|m|n|coscossinsincos6012，则圆心(cos，sin)到直线的距离 d|coscossinsin12|cos2sin2122， 所以直线与圆相离故选 D 点 拨： 判断直线与圆的位置关系常见的方法：几何法：利用 d 与 r 的关系代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用 判断点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题 (2016西安一模)直线 l：(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆 C：x2y22x2y70的位置关系是 ( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 解： 把直线 l 的方程化为 xya(xy2)0，由xy0，xy20，解得x1，y1，即直线 l 过定点 (1，1)， 又(1)2(1)22(1)2(1)7 50， 则点(1，1)在圆 x2y22x2y70 的内部，则直线 l 与圆 C 相交故选 B 类型二类型二 圆的切线圆的切线 过原点 O 作圆 x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为 P，Q，则线段 PQ 的长为_ 解：将圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，则圆心为(3，4)，半径长为 5 易知切线的斜率存在，由题意可设切线的方程为 ykx，则圆心(3，4)到直线 ykx 的距离等于半径长 5，即|3k4|k21 5，解得 k12或 k112，则切线的方程为 y12x 或 y112x 联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，(45，225)，此即为 P，Q 的坐标 由两点间的距离公式得|PQ|4故填 4 点 拨： 求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线 一条光线从点(2，3)射出，经 y轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切， 则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A53或35 B32或23 C54或45 D43或34 解： 由已知得点(2， 3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反 3 射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30由反射光线与圆相切，则有 d|3k22k3|k211，解得 k43或 k34故选 D 类型三类型三 圆的弦长圆的弦长 (2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_ 解：圆 C：x2y22ay20，即 C：x2(ya)2a22，圆心为 C(0，a)，半径 r a22，圆心 C 到直线 yx2a 的距离为 d|0a2a|2|a|2又由|AB|2 3，得(2 32)2(|a|2)2a22，解得 a22，所以圆的面积为 (a22)4故填 4 点 拨： 一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦圆锥曲线的弦长公式为 1k2|x1x2，运用这一公式也可解题，但运算量较大 已知圆 x2y22x2ya0 截直线xy20 所得的弦长为 4， 则实数 a 的值是( ) A2 B4 C6 D8 解：由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1，1)，半径 r 2a圆心到直线 xy20 的距离为 d|112|2 2由 r2d2(42)2得 2a24，所以 a4故选 B 类型四类型四 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 (1)(2017长春质检)已知原点到直线 l的距离为 1， 圆(x2)2(y 5)24 与直线 l 相切，则满足条件的直线 l 有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解： 圆(x2)2(y 5)24 的圆心坐标为 C(2，5)，半径 r2， 由圆 C 与直线 l 相切，得圆心 C 到直线 l 的距离 d2 又过圆 x2y21 上任意一点作切线 l，直线 l满足与原点的距离为 1， 则满足条件的直线 l 即为圆O：x2y21 和圆(x2)2(y 5)24 的公切线， 因为|OC|（20）2（ 50）23， 即两圆圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，即这两个圆有 3 条公切线故选 C (2)(2016山东)已知圆 M： x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是 ( ) A内切 B相交 C外切 D相离 解：由垂径定理得a22( 2)2a2，解得 a24，所以圆 M：x2(y2)24，所以圆 M 与圆 N的圆心距 d （01）2（21）2 2因为 21 20)其中的 a，b 是定值，r 是参数 半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)其中 r 是定值，a，b 是参数 过直线 AxByC0 与圆 x2y2DxEyF0 交点的圆系方程： x2y2DxEyF(AxByC)0(R) 过圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和圆 C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆 C2，因此应用时注意检验 C2是否满足题意，以防丢解)当 1 时，圆系方程表示直线 l：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0若两圆相交，则 l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则 l 为公切线 已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12ym0求： (1)两圆外切时 m 的值； (2)两圆内切时 m 的值； (3)m45 时，两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长 解：两圆的标准方程分别为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为 M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61m (1)当两圆外切时，（51）2（63）211 61m，解得 m2510 11 (2)当两圆内切时，因为定圆的半径 11小于两圆的圆心距 5，故只有 61m 115，解得 m2510 11 (3)当 m45 时， 两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0， 即 4x3y230 所以公共弦长为 2（ 11）2（|413323|4232）22 7 类型六类型六 圆的综合应用圆的综合应用 (2017全国卷)已知抛物线 C：y22x，过点(2，0)的直线交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线与圆 M 的方程 解：(1)显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意 设 l：xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5 联立y22x，xmy2得 y22my40， 4m216 恒大于 0， y1y22m， y1y24 OAOBx1x2y1y2 (my12)(my22)y1y2 (m21)y1y22m(y1y2)4 4(m21)4m240， 所以OAOB，即 O 在圆 M 上 (2)若圆 M 过点 P，则APBP0， (x14)(x24)(y12)(y22)0， (my12)(my22)(y12)(y22)0， (m21)y1y2(2m2)(y1y2)80， 化简得 2m2m10，解得 m12或 1 当 m12时，l：2xy40， 圆心为 Q(x0，y0)， y0y1y2212，x012y0294， 半径 r|OQ|9421228516， 则圆 M：x942y1228516 当 m1 时，l：xy20，圆心为 Q(x0，y0)， y0y1y221，x0y023， 半径 r|OQ| 3212 10， 则圆 M：(x3)2(y1)210 点 拨： 处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具 已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称 (1)求圆 C 的方程； (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求PQMQ的最小值 解： (1)设圆心 C(a， b)， 则a22b2220，b2a21 解得a0，b0，则圆 C 的方程为 x2y2r2 将点 P 的坐标代入，得 r22 故圆 C 的方程为 x2y22 (2)设 Q(x，y)，则 x2y22，且PQMQ(x1，y1) (x2，y2)x2y2xy4xy2令 x 2cos，y 2sin，则 xy22sin42，最小值为224，所以PQMQ的最小值为4 1在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论0，0，0，而用圆心到直线的距离 d与圆的半径 r 之间的关系，即 dr，分别确定相交、相切、相离 2两圆相交，易只注意到 dRr 而遗漏掉 dRr 3要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记 4涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆 x2y2DxEyF0 外一点M(x0，y0)引圆的切线， T 为切点， 切线长公式为|MT x20y20Dx0Ey0F 5计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB| 1k2|x1 x2| （1k2）（x1x2）24x1x2(A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两个端点)也应重视 6已知 O1：x2y2r2； O2：(xa)2(yb)2r2； 6 O3：x2y2DxEyF0 若点 M(x0， y0)在圆上， 则过 M 的切线方程分别为 x0 xy0yr2； (xa)(x0a)(yb)(y0b)r2； x0 xy0yDx0 x2Ey0y2F0 若点 M(x0， y0)在圆外， 过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为 x0 xy0yr2； (xa)(x0a)(yb)(y0b)r2； x0 xy0yDx0 x2Ey0y2F0 圆 x2y2r2的斜率为 k 的两条切线方程分别为 ykx r 1k2 掌握这些结论，对解题很有帮助 7研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程 8对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便 1直线 3x4yb 与圆 x2y22x2y10相切，则 b 的值是 ( ) A2 或 12 B2 或12 C2 或12 D2 或 12 解：圆的标准方程为(x1)2(y1)21，依题意得圆心(1，1)到直线 3x4yb 的距离 d|34b|32421，即|b7|5，解得 b12 或 b2故选 D 2若直线 axby1 与圆 x2y21 相交，则P(a，b)与圆 x2y21 的关系为 ( ) A在圆上 B在圆外 C在圆内 D以上都有可能 解：|a0b01|a2b21，所以P(a，b)在圆外故选 B 3(2017长春模拟)过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ( ) A2xy50 B2xy70 Cx2y50 Dx2y70 解：由题意，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，因为圆心与切点连线的斜率 k103112，所以切线的斜率为2，则圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70故选 B 4(2016深圳模拟)圆 x22xy24y30上到直线 xy10 的距离为 2的点共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：圆 x22xy24y30 的标准方程为 (x1)2(y2)28，所以圆心(1，2)到直线 xy10 的距离为|121|2 2，而 2 2 2 2，因此圆上到直线 xy10 的距离为 2的点共有 3 个故选 C 5(2017衡水中学月考)两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b20 恰有三条公切线，若 aR，bR 且 ab0，则1a21b2的最小值为 ( ) A1 B3 C19 D49 解：两圆化为标准方程，即(xa)2y24， x2(y2b)21依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和， 则 a2（2b）2123， 即 a24b29， 所以1a21b219(a24b2)(1a21b2)19(5a2b24b2a2)19(52a2b24b2a2)1，当且仅当 a23，b232时取等号故选 A 6已知圆C1： (x2)2(y3)21， 圆C2： (x3)2(y4)29，N，M 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 ( ) A5 24 B 171 C62 2 D 17 解：|PM|PN|PC2|3|PC1|1|PC2| 7 |PC1|4，只需求|PC2|PC1|的最小值作圆 C1关于 x 轴的对称圆 C1：(x2)2(y3)21，则|PC1|PC1|由图可知，当 C2，P，C1在同一直线上时，|PC2|PC1|PC2|PC1|取最小值，即|PM|PN|取得最小值，且为|C1C2|45 24故选A 7已知点 P(2，3)，圆 C：(x4)2(y2)29，过 P 点作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，过 P，A，B 三点的圆的方程为_ 解：圆 C 的圆心坐标为(4，2)，因为 PAAC，PBBC，所以 P，A，B，C 四点共圆，所求圆的圆心 O为 PC 的中点，即 O(1，12)，所求圆的半径 r（12）2（123）2612，所以过 P，A，B 三点的圆的方程为(x1)2(y12)2614故填(x1)2(y12)2614 8已知曲线 C：x 4y2，直线 l：x6，若对于点 A(m，0)，存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q使得APAQ0，则 m 的取值范围为_ 解：曲线 C：x 4y2，是以原点为圆心，2 为半径的半圆，且 xP2，0 由题意知，A 是 PQ 的中点，因为 xQ6， 所以 m6xP22，3故填2，3 9已知直线 l：ykx1，圆 C：(x1)2(y1)212 (1)证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长 解法一：(1)证明：由ykx1，（x1）2（y1）212， 消去 y 得(k21)x2(24k)x70， 因为 (24k)228(k21)0 恒成立， 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点 (2)设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由(1)知 x1x224kk21，x1x27k21， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 284k11k21k22114k31k2， 令 t4k31k2，则 tk24k(t3)0， 当 t0 时，k34，当 t0 时，因为 kR， 所以 164t(t3)0，解得1t4，且t0， 故 t4k31k2的最大值为 4， 此时弦长|AB|最小为2 7 解法二：(1)证明：因为不论 k 为何实数，直线l 总过点 P(0，1)，而|PC| 52 3，所以点 P(0，1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点 (2)由平面几何知识知过圆内定点 P(0，1)的弦，只有和 PC 垂直时才最短，而此时点 P(0，1)为弦AB的 中 点 ， 又 |PC| 5 ， 所 以 |AB| 2（2 3）2（ 5）22 7，即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7 10已知过点 A(0， 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON12， 其中O 为坐标原点， 求|MN| 解：(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1 因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k21， 解得4 73k4 73 所以 k 的取值范围为(4 73，4 73) (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入圆 C 的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70， 所以 x1x24（1k）1k2，x1x271k2 OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 8 4k（1k）1k28 由题设可得4k（1k）1k2812， 解得 k1， 所以 l 的方程为 yx1 因为圆 C 的圆心(2，3)在直线 l 上，所以|MN|2 11(2016武汉武昌区三模)已知点 A(0，3)，直线 l：y2x4设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 解：(1)联立yx1，y2x4，解得x3，y2， 所以圆心 C 的坐标为(3，2) 由题意知切线斜率存在，设切线方程为 ykx3，可得圆心到切线的距离 d|3k32|1k21， 解得 k0 或 k34， 则所求切线的方程为 y3 或 y34x3 (2) 设 点M(x ， y) ， 由 |MA| 2|MO| ， 知x2（y3）22 x2y2， 化简得 x2(y1)24， 所以点 M 在以(0，1)为圆心，2 为半径的圆上，记该圆的圆心为 D 又因为点 M 在圆 C 上， 且圆心为 C(a， 2a4)， 所以圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切， 所以1|CD|3，其中|CD|a2（2a3）2， 所以 1 a2（2a3）23， 解得 0a125， 即圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是0，125 (2017 湖南东部六校联考)已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C在 x 轴上且在直线 l 的右上方 (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1， 0)的直线与圆 C 交于 A， B 两点(A在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在， 请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)设圆心 C(a，0)(a52)，则|4a10|52a0 或 a5(舍) 所以圆 C 的方程为 x2y24 (2)当直线 AB 的斜率不存在，即 ABx 轴时，x轴平分ANB 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为yk(x1)(显然 k0)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1，x2t)， 由x2y24，yk（x1），得(k21)x22k2xk240， 所以 x1x22k2k21，x1x2k24k21 若 x 轴平分ANB，则 kANkBN，即y1x1ty2x2t0， 即k（x11）x1tk（x21）x2t0， 因为k0，所以 2x1x2(t1)(x1x2)2t0，即2（k24）k212k2（t1）k212t0，解得 t4，所以当点 N 为(4，0)时，能使得 x 轴平分ANB 9