2021届高三大题优练5 圆锥曲线之面积取值范围问题（文） 教师版.docx

圆锥曲线之面积取值范围问题大题优练5优选例题例1已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）直线过点交抛物线于两点，过点作抛物线的切线与准线交于点，求面积的最小值【答案】（1）；（2）4【解析】（1）因为是上的点，所以，化简得，解得或因为，所以，抛物线的方程为（2）依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去，可得设，则，所以，由，得，所以过A点的切线方程为，又，所以切线方程可化为，准线为，可得，所以点，所以点到直线的距离，所以，当时，等号成立，所以面积的最小值为例2已知椭圆过点，点为其上顶点，且直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，设直线，令，则，于是，所以，故椭圆的方程为（2）设，且，又，所以直线，令，则直线，令，则所以四边形的面积为，所以四边形的面积为定值例3已知抛物线上的点到其焦点的距离为，过点的直线与抛物线相交于两点过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点（1）求抛物线的方程及的坐标；（2）设，的面积分别为，求的最大值【答案】（1）抛物线方程为，焦点为；（2）1【解析】（1）因为点到其焦点的距离为，所以，所以抛物线方程为，焦点为（2）设，直线斜率一定存在，设直线方程为，由，得，抛物线的准线方程为，过作准线的垂线与准线分别交于，与轴分别交于，时，直线方程为，则，得，即，所以，则，设，则，因为，所以，在上是减函数，所以，所以；时，综上，的最大值是1模拟优练1已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）联立，得，因此的焦点为，设抛物线，则，则，故的方程为（2）联立，得或，不妨假设，则设，则，到直线的距离，因为当时，函数的值域为，所以，则，故面积的取值范围是2已知椭圆的左、右焦点分别是，上、下顶点分别是，离心率，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，若，试求内切圆的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，又，解得，所以椭圆的方程为（2）由，知的斜率为，因，故的斜率为，则直线的方程为，即，联立，可得，设，则，则的面积，由的周长，及，得内切圆，所以的内切圆面积为3已知椭圆经过点，其长半轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求与的面积分别为，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，得，椭圆的方程为，圆经过点，解得，圆的方程为（2）由题意，知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去，得，为点关于轴的对称点，直线的方程为，即令，则，当且仅当，即时，取得最大值4设O为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于两个点（1）求证：；（2）求面积的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】（1）设直线，设，联立，消去x，得，即（2）设，代入，得，化简得，又O到直线的距离为，当k不存在时，直线，则易知，综上可知，的最小值为165已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、设是椭圆上一点，满足轴，（1）求椭圆的标准方程；（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件可知，解得，所以椭圆的标准方程是（2）设直线，直线与椭圆方程联立，得，6已知、分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，且（1）求椭圆的方程；（2）设点为原点，直线，且直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程【答案】（1）；（2），【解析】（1）记椭圆的左右焦点为，又，所以，又，则，则，又点为椭圆上的一点，所以有，解得，所以椭圆的方程为（2）由题意，因为，所以可设直线的方程为，设，由，得，整理得，所以，则，则，又点到的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为满足，故直线的方程为7已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上记，的面积分别为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）椭圆的离心率为，（为半焦距），直线与圆相切，又， 椭圆的方程为（2）为线段的中点，（i）当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得，则，；（ii）当直线的斜率存在时，设直线，由，消去，得，即，点在以为直径的圆上，即，化简，得，经检验满足成立，线段的中点当时，此时当时，射线所在的直线方程为由，消去，得，综上，的取值范围为