2021届高三大题优练6 圆锥曲线面积的取值范围问题（理） 教师版.docx

圆锥曲线面积的取值范围问题大题优练6优选例题例1已知椭圆的左、右焦点分别是，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是坐标原点，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）的周长为，将代入，得，解得，椭圆的标准方程是（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，将与联立并消去，整理得，则，化简得，或（舍去）当时，则，得，原点到直线的距离，当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意，面积的最大值是模拟优练1已知抛物线，两条直线，分别与抛物线交于，两点和，两点（1）若线段的中点为，求直线的斜率；（2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，因为线段的中点为，所以，则，所以，所以，所以直线的斜率（2）依题意可知，的斜率都存在且不等于0，设的斜率为，因为直线，相互垂直，所以的斜率为，所以直线的方程为，直线的方程为，联立，消去并整理得，恒成立，所以，所以，同理可得，因为，所以四边形面积，令，则，当且仅当，即时，等号成立故，其中，利用二次函数的性质知，当时，所以四边形面积的最小值为2已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，四点，求四边形面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由，得，即，即，即由，得，根据椭圆的焦点弦可知过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为，得，即，解得，则，故椭圆的标准方程为（2）设直线，的方程分别为，联立，消去得，设，则，所以，又直线，之间的距离，所以令，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最大值为3已知抛物线（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得，圆的圆心，半径设与轴交于，由圆的对称性可得，于是，所以，即有，解得，则抛物线的方程为（2）设直线，设，联立抛物线方程可得，由，有，解得或2（舍去），即，解得则有恒过定点，（当且仅当，即时取等号），与面积之和的最小值4已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；（2）对于椭圆上一点，以为切点的切线方程为设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，为切点求证：直线过定点；求面积的最大值【答案】（1）；（2）证明见解析；最大值为【解析】（1）依题意有为中点，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，又与圆相切，即动点到与两点距离之和等于为，动点的轨迹方程为（2）设，过，的椭圆切线方程为，则，直线方程为，即，显然过定点直线方程为，联立椭圆方程，得，显然，面积令，则，当且仅当，时等号成立，故面积的最大值为5如图，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作平行交轴于点，交直线于点（1）若，求的最小值；（2）若的面积为，的面积为，求的值【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线，联立，得，得，所以，因为，所以，所以，易知，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为（2）不妨设点位于轴下方，由，得因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率，故直线的方程为，令，得，所以，则又，所以，所以直线的方程为，令，得，故又，所以，所以，连接，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，又易知，所以6在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于（1）求动点的轨迹方程；（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；求四边形面积的最小值【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为；【解析】（1）设点，依题意，所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，动点的轨迹方程是（2）若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线的方程为，则直线的方程为，直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点设、，由，由韦达定理可得，则，所以点的坐标为，同理可得点，直线的斜率为，直线的方程是，即，当时，直线的方程为，直线过定点综上，直线过定点由可得，同理可得，所以，四边形的面积为，当且仅当取等号，因此，四边形的面积的最小值为