2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学（一） 教师版.doc

此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由集合，得，或，所以，故选A2复数的虚部为（ ）ABCD【答案】A【解析】，所以虚部为1，故选A3已知，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为在上单调递增，因为，所以，所以，因为在上单调递增，所以，所以，因为在上单调递减，所以，即，所以，故选B4命题，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】命题，使为真命题，即，使成立，即能成立，设，则，当且仅当，即时，取等号，即，故的取值范围是，故选C5已知函数图象的一个对称中心为，为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移1个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移1个单位长度D向右平移个单位长度【答案】A【解析】因为函数图象的一个对称中心为，所以，所以，又，所以，所以，因为，所以为了得到的图象，只需将函数的图象向左平移1个单位长度，故选A6已知函数，则函数的大致图象是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项A，D；因为，所以排除选项C，故选B7我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）A小寒比大寒的晷长长一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长长【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为，秋分的晷长为，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确，故选C8中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题此类问题最早见于九章算术“勾股”章，该章第题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为和，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）ABCD【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为，设三角形内切圆的半径为，面积为，利用等面积法可知，解得，向该直角三角形内随机抛掷颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x，则利用几何概型可知，解得颗，所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C9已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则（ ）A12B14C16D18【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为，则，即，则抛物线方程为，直线的倾斜角为60°，则斜率为，故直线的方程为，联立直线与抛物线，可得，设，则，则，故选C10已知向量，对任意恒有，则（ ）ABCD【答案】C【解析】对任意恒有，即，即对任意恒成立，则，故和不垂直，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误，故选C11已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】设四棱锥外接球的球心为，过作底面的垂线，垂足为，因为四边形是长方形，所以为底面中心，即对角线的交点，过作三角形的垂线，垂足为，所以是正三角形外心，设外接球半径为，外接球的体积为，所以，即，过作，则是的中点，连接，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以平面，所以，所以四边形是平行四边形，即，设，则，所以，由勾股定理得，即，解得，所以，因为，所以平面，平面，所以，因为，作于，所以为的中点，所以，所以，所以，故选B12已知函数，若有2个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】可转化为设，由基本不等式得，当且仅当时，取到最小值0设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取到最大值若有2个零点，则与有两个交点，此时，解得，故选C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13正实数，满足：，则当取最小值时，_【答案】【解析】，当且仅当，即时，等号成立故答案为14已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】如图所示：设点关于直线的对称点为，则，解得，则，因为，所以的最小值为，故答案为15设函数，若对，不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，由于函数为减函数，在上为减函数，所以，函数在上单调递减，由可得，可得，所以，对任意的恒成立，设，则对任意的恒成立，由于二次函数的对称轴为直线，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为16在中，分别为角，的对边，且若的内切圆面积为，则面积的最小值_【答案】【解析】因为，所以，即，所以，即，由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25（1）求的值及通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），()；（2）【解析】（1）由题可得，所以当为偶数时，解得；当为奇数时，此时无整数解，综上可得：，时，当时，当时也成立综上可得，所以，()（2）， 两式相减得，则，则18（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：年份201520162017201820192020年份代码x123456学生人数y(个)666770717274（1）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；(参考数据：)【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，关于的线性回归方程为（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码，此时，保留整数为人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为人19（12分）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设，连接，由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则为的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面（2）连接，由（1）知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，因为底面是等边三角形，是的中点，所以，因为，所以，则，从而的面积为，故三棱锥的体积为，由直棱柱的性质可知平面平面，则平面，因为平面，所以，又，所以的面积为，设点到平面的距离为，则，解得，故点到平面的距离为20（12分）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，且的面积最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点（均不是椭圆的右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点落在椭圆的短轴的两个端点时，的面积最大，此时，解得，由，得，椭圆的标准方程为（2）设，直线的方程为，联立，得，则，即，椭圆的右顶点为，即，整理可得，解得，（，均满足）当时，的方程为，直线过右顶点，与已知矛盾；当时，的方程为，过定点，直线过定点，定点坐标为21（12分）已知函数（1）当时，求的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）【解析】（1）当时，所以当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极小值，无极大值（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立当时，恒成立，此时；当时，在上恒成立令，则由（1）知时，即当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，所以，综上可知，实数的取值范围是请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为（1）将的参数方程化为普通方程，的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求与直线平行且与曲线相切的直线的直角坐标方程【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，消去，得因为直线的极坐标方程为，所以，即，所以（2）设切线方程为，由，得，所以，解得，所以切线方程是23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）若关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围；（2）如果不等式的解集非空，求的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1），当时，函数单调递增，并且；当时，函数单调递增，并且；当时，函数单调递减，并且，综上：当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，且作出的图象如图所示：要使关于x的方程有两个不同的根，则a的取值范围（2）因为，记点，坐标原点为，则直线的斜率为当直线与平行时，无交点，所以当或时，该直线与函数的图象相交因为不等式的解集非空，所以的取值范围是或