2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧 Word版含答案.doc
升级增分训练升级增分训练 简化解析几何运算的简化解析几何运算的 5 5 个技巧个技巧 1 1 (2016(2016四川高考四川高考) )设设O O为坐标原点，为坐标原点，P P是以是以F F为焦点的抛物线为焦点的抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)上任意上任意一点，一点，M M是线段是线段PFPF上的点，且上的点，且| |PMPM| |2|2|MFMF| |，则直线，则直线OMOM的斜率的最大值为的斜率的最大值为( ( ) ) A A3 33 3 B B2 23 3 C C2 22 2 D D1 1 解析：选解析：选 C C 如图所示，设如图所示，设P P( (x x0 0，y y0 0)()(y y0 00)0)， 则则y y2 20 02 2pxpx0 0， 即即x x0 0y y2 20 02 2p p 设设M M( (x x，y y)， 由由PMPM 2 2MFMF ， 得得 x xx x0 02 2 p p2 2x x ，y yy y0 0y y， 化简可得化简可得 x xp px x0 03 3，y yy y0 03 3. . 直线直线OMOM的斜率为的斜率为k ky y0 03 3p px x0 03 3y y0 0p py y2 20 02 2p p2 2p p2 2p p2 2y y0 0y y0 02 2p p2 2 2 2p p2 22 22 2( (当且仅当当且仅当y y0 0 2 2p p时取等时取等号号) ) 2 2设双曲线设双曲线x x2 2a ay y2 2b b1 1 的一条渐近线为的一条渐近线为y y2 2x x，且一个焦点与抛物线，且一个焦点与抛物线y y1 14 4x x2 2的焦点相的焦点相同，则此双曲线的方程为同，则此双曲线的方程为( ( ) ) A A5 54 4x x2 25 5y y2 21 1 B B5 5y y2 25 54 4x x2 21 1 C C5 5x x2 25 54 4y y2 21 1 D D5 54 4y y2 25 5x x2 21 1 解析：选解析：选 D D 因为因为x x2 24 4y y的焦点为的焦点为(0,1)(0,1)， 所以双曲线的焦点在所以双曲线的焦点在y y轴上轴上 因为双曲线的一条渐近线为因为双曲线的一条渐近线为y y2 2x x， 所以设双曲线的方程为所以设双曲线的方程为y y2 24 4x x2 2( (0)0)， 即即y y2 2x x2 24 41 1， 则则4 41 1，4 45 5， 所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为5 54 4y y2 25 5x x2 21 1，故选，故选 D D 3 3已知双曲线已知双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a0 0，b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1( (c c，0)0)，F F2 2( (c,c,0)0)，P P为为双曲线上任一点， 且双曲线上任一点， 且PFPF1 1 PFPF2 2 最小值的取值范围是最小值的取值范围是 3 34 4c c2 2，1 12 2c c2 2， 则该双曲线的离心率的， 则该双曲线的离心率的取值范围为取值范围为( ( ) ) A A(1(1， 2 2 B B 2 2，22 C C(0(0， 2 2 D D 4 4过抛物线过抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F，斜率为，斜率为4 43 3的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A，B B两点，若两点，若AFAF FBFB ( (1)1)，则，则的值为的值为( ( ) ) A A5 5 B B4 4 C C4 43 3 D D5 52 2 解析：选解析：选 B B 根据题意设根据题意设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由由AFAF FBFB ， 得得 p p2 2x x1 1，y y1 1 x x2 2p p2 2，y y2 2， 故故y y1 1yy2 2，即，即y y1 1y y2 2 设直线设直线ABAB的方程为的方程为y y4 43 3 x xp p2 2， 联立直线与抛物线方程，联立直线与抛物线方程， 消元得消元得y y2 23 32 2pypyp p2 20 0 故故y y1 1y y2 23 32 2p p，y y1 1y y2 2p p2 2， y y1 1y y2 22 2y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2y y2 2y y1 12 29 94 4， 即即1 12 29 94 4 又又1 1，解得，解得4 4 5 5(2015(2015四川高考四川高考) )设直线设直线l l与抛物线与抛物线y y2 24 4x x相交于相交于A A，B B两点，与圆两点，与圆( (x x5)5)2 2y y2 2r r2 2( (r r0)0)相切于点相切于点M M，且，且M M为线段为线段ABAB的中点若这样的直线的中点若这样的直线l l恰有恰有 4 4 条，则条，则r r的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A(1,3) (1,3) B B(1,4)(1,4) C C(2,3) (2,3) D D(2,4)(2,4) 解解析：选析：选 D D 设设A A y y2 21 14 4，y y1 1，B B y y2 22 24 4，y y2 2，M M y y2 21 1y y2 22 28 8，y y1 1y y2 22 2，C C(5,0)(5,0)为圆心，当为圆心，当y y1 1y y2 2时，时，k kABAB4 4y y1 1y y2 2，k kCMCMy y1 1y y2 2y y2 21 1y y2 22 24040，由，由k kABABk kCMCM1 1y y2 21 1y y2 22 22424，所以，所以M M 3 3，y y1 1y y2 22 2，又，又r r2 2| |CMCM| |2 24 4 y y1 1y y2 22 22 210101 12 2y y1 1y y2 2，所以，所以(2(2r r2 220)20)2 2y y2 21 1y y2 22 2，所以，所以y y2 21 1，y y2 22 2是方程是方程t t2 22424t t(2(2r r2 220)20)2 20 0 的两个不同的正根，由的两个不同的正根，由0 0 得得 2 2r r4 4综上，综上，r r的取值范围是的取值范围是(2,4)(2,4) 6 6中心为原点，一个焦点为中心为原点，一个焦点为F F(0,5(0,5 2 2) )的椭圆，截直线的椭圆，截直线y y3 3x x2 2 所得弦中点的横坐标所得弦中点的横坐标为为1 12 2，则该椭圆方程为，则该椭圆方程为( ( ) ) A A2 2x x2 275752 2y y2 225251 1 B Bx x2 27575y y2 225251 1 C Cx x2 22525y y2 275751 1 D D2 2x x2 225252 2y y2 275751 1 解析：选解析：选 C C 由已知得由已知得c c5 5 2 2， 设椭圆的方程为设椭圆的方程为x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1， 联立联立 x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1，y y3 3x x2 2， 消去消去y y得得(10(10a a2 2450)450)x x2 212(12(a a2 250)50)x x4(4(a a2 250)50)a a2 2( (a a2 250)50)0 0，设直线，设直线y y3 3x x2 2与椭圆的交点坐标与椭圆的交点坐标分别为分别为( (x x1 1，y y1 1) )，( (x x2 2，y y2 2) )， 由根与系数关系得由根与系数关系得x x1 1x x2 2a a2 21010a a2 2450450， 由题意知由题意知x x1 1x x2 21 1， 即即a a2 21010a a2 24504501 1， 解得解得a a2 27575， 所以该椭圆方程为所以该椭圆方程为y y2 27575x x2 225251 1 7 7已知双曲线已知双曲线C C：x x2 22 2y y2 21 1，点，点M M的坐标为的坐标为(0,1)(0,1)设设P P是双曲线是双曲线C C上的点，上的点，Q Q是点是点P P关于原点的对称点记关于原点的对称点记MPMP M MQ Q ，则，则的取值范围是的取值范围是_ 解析：设解析：设P P( (x x0 0，y y0 0) )，则，则Q Q( (x x0 0，y y0 0) )， MPMP MQMQ ( (x x0 0，y y0 01)(1)(x x0 0，y y0 01)1) x x2 20 0y y2 20 01 1 3 32 2x x2 20 02 2 因为因为| |x x0 0| 2 2， 所以所以的取值范围是的取值范围是( (，11 答案：答案：( (，11 8 8(201(20177长春质检长春质检) )已知已知ABAB为圆为圆x x2 2y y2 21 1 的一条直径，点的一条直径，点P P为直线为直线x xy y2 20 0 上上任意一点，则任意一点，则PAPA PBPB 的最小值为的最小值为_ 解析：由题意，设解析：由题意，设A A(cos (cos ，sin sin ) )，P P( (x x，x x2)2)， 则则B B( (cos cos ，sin sin ) )， PAPA (cos (cos x x，sin sin x x2)2)， PBPB ( (cos cos x x，sin sin x x2)2)， P PA A PBPB (cos (cos x x)()(cos cos x x) )(sin (sin x x2)(2)(sin sin x x2)2) x x2 2( (x x2)2)2 2coscos2 2sinsin2 2 2 2x x2 24 4x x3 3 2(2(x x1)1)2 21 1， 当且仅当当且仅当x x1 1， 即即P P( (1 1，1)1)时，时，PAPA PBPB 取最小值取最小值 1 1 答案：答案：1 1 9 9设抛物线设抛物线 x x2 2ptpt2 2，y y2 2ptpt( (t t为参数，为参数，p p0)0)的焦点为的焦点为F F，准线为，准线为l l过抛物线上一点过抛物线上一点A A作作l l的垂线，垂足为的垂线，垂足为B B设设C C 7 72 2p p，0 0 ，AFAF与与BCBC相交于点相交于点E E若若| |CFCF| |2|2|AFAF| |，且，且ACEACE的面的面积为积为 3 3 2 2，则，则p p的值为的值为_ 解析：解析：由由 x x2 2ptpt2 2，y y2 2ptpt( (p p0)0)消去消去t t可得抛物线方程为可得抛物线方程为y y2 22 2pxpx( (p p0)0)，F F p p2 2，0 0 ，| |ABAB| | |AFAF| |1 12 2| |CFCF| |3 32 2p p，可得，可得A A( (p p， 2 2p p) ) 易知易知AEBAEBFECFEC， | |AEAE| | |FEFE| | |ABAB| | |FCFC| |1 12 2， 故故S SACEACE1 13 3S SACFACF1 13 333p p 2 2p p1 12 22 22 2p p2 23 3 2 2， p p2 26 6p p0 0，p p 6 6 答案：答案： 6 6 1010(2016(2016河北三市二联河北三市二联) )已知离心率为已知离心率为6 63 3的椭圆的椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的一个焦点为的一个焦点为F F，过，过F F且与且与x x轴垂直的直线与椭圆交于轴垂直的直线与椭圆交于A A，B B两点，两点，| |ABAB| |2 2 3 33 3 (1)(1)求此椭圆的方程；求此椭圆的方程； (2)(2)已知直线已知直线y ykxkx2 2 与椭圆交于与椭圆交于C C，D D两点，若以线段两点，若以线段CDCD为直径的圆过点为直径的圆过点E E( (1,0)1,0)，求求k k的值的值 解：解：(1)(1)设焦距为设焦距为 2 2c c， e ec ca a6 63 3，a a2 2b b2 2c c2 2， b ba a3 33 3，由题意可知，由题意可知b b2 2a a3 33 3， b b1 1，a a 3 3， 椭圆的方程为椭圆的方程为x x2 23 3y y2 21 1 (2)(2)将将y ykxkx2 2 代入椭圆方程，代入椭圆方程， 得得(1(13 3k k2 2) )x x2 21212kxkx9 90 0， 又直线与椭圆有两个交点，又直线与椭圆有两个交点， 所以所以(12(12k k) )2 236(136(13 3k k2 2) )0 0， 解得解得k k2 21 1 设设C C( (x x1 1，y y1 1) )，D D( (x x2 2，y y2 2) )， 则则x x1 1x x2 21212k k1 13 3k k2 2，x x1 1x x2 29 91 13 3k k2 2， 若以若以CDCD为直径的圆过为直径的圆过E E点，点， 则则PBPB EDED 0 0， 即即( (x x1 11)(1)(x x2 21)1)y y1 1y y2 20 0， 而而y y1 1y y2 2( (kxkx1 12)(2)(kxkx2 22)2)k k2 2x x1 1x x2 22 2k k( (x x1 1x x2 2) )4 4， 则则( (x x1 11)(1)(x x2 21)1)y y1 1y y2 2 ( (k k2 21)1)x x1 1x x2 2(2(2k k1)(1)(x x1 1x x2 2) )5 5 k k2 21 13 3k k2 21212k kk k1 13 3k k2 25 50 0， 解得解得k k7 76 6，满足，满足k k2 21 1 1111(2016(2016山东高考节选山东高考节选) )平面直角坐标系平面直角坐标系xOyxOy中， 椭圆中， 椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率是的离心率是3 32 2，抛物线，抛物线E E：x x2 22 2y y的焦点的焦点F F是是C C的一个顶点的一个顶点 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程 (2)(2)设设P P是是E E上的动点，且位于第一象限，上的动点，且位于第一象限，E E在点在点P P处的切线处的切线l l与与C C交于不同的两点交于不同的两点A A，B B，线段，线段ABAB的中点为的中点为D D直线直线ODOD与过与过P P且垂直于且垂直于x x轴的直线交于点轴的直线交于点M M求证：求证：点点M M在定直在定直线上线上 解：解：(1)(1)由题意知由题意知a a2 2b b2 2a a3 32 2， 可得可得a a2 24 4b b2 2 因为抛物线因为抛物线E E的焦点为的焦点为F F 0 0，1 12 2， 所以所以b b1 12 2，a a1 1 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 (2)(2)证明：设证明：设P P m m，m m2 22 2( (m m0)0) 由由x x2 22 2y y，可得，可得y yx x， 所以直线所以直线l l的斜率为的斜率为m m 因此直线因此直线l l的的方程为方程为y ym m2 22 2m m( (x xm m) )， 即即y ymxmxm m2 22 2 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，D D( (x x0 0，y y0 0) )， 联立方程联立方程 x x2 24 4y y2 21 1，y ymxmxm m2 22 2， 得得(4(4m m2 21)1)x x2 24 4m m3 3x xm m4 41 10 0 由由0 0， 得得 0 0m m2 22 2 5 5(*)(*) 由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1x x2 24 4m m3 34 4m m2 21 1， 因此因此x x0 02 2m m3 34 4m m2 21 1 将其代将其代入入y ymxmxm m2 22 2， 得得y y0 0m m2 2m m2 2 因为因为y y0 0 x x0 01 14 4m m， 所以直线所以直线ODOD的方程为的方程为y y1 14 4m mx x 联立方程联立方程 y y1 14 4m mx x，x xm m， 得点得点M M的纵坐标的纵坐标y yM M1 14 4， 所以点所以点M M在定直线在定直线y y1 14 4上上 1212(2016(2016合肥质检合肥质检) )已知中心在原点，焦点在已知中心在原点，焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆C C，其上一点，其上一点P P到两个焦到两个焦点点F F1 1，F F2 2的距离之和为的距离之和为 4 4，离心率为，离心率为3 32 2 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)若直线若直线y ykxkx1 1 与曲线与曲线C C交于交于A A，B B两点，求两点，求OABOAB面积的取值范围面积的取值范围 解：解：(1)(1)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为y y2 2a a2 2x x2 2b b2 21(1(a ab b0)0)， 由题意可知由题意可知 2 2a a4 4，c ca a3 32 2，又，又a a2 2b b2 2c c2 2， 解得解得a a2 2，c c 3 3，b b1 1， 故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为y y2 24 4x x2 21 1 (2)(2)设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由由 x x2 2y y2 24 41 1，y ykxkx1 1得得( (k k2 24)4)x x2 22 2kxkx3 30 0， 故故x x1 1x x2 22 2k kk k2 24 4，x x1 1x x2 23 3k k2 24 4， 设设OABOAB的面积为的面积为S S， 由由x x1 1x x2 23 3k k2 24 40 0， 知知S S1 12 2(|(|x x1 1| | |x x2 2|)|)1 12 2| |x x1 1x x2 2| | 1 12 2x x1 1x x2 22 24 4x x1 1x x2 22 2k k2 23 3k k2 22 2， 令令k k2 23 3t t，知，知t t33， S S2 21 1t t1 1t t2 2 对函数对函数y yt t1 1t t( (t t3)3)，知，知y y1 11 1t t2 2t t2 21 1t t2 20 0， y yt t1 1t t在在t t33，)上单调递增，上单调递增， t t1 1t t10103 3， 0 01 1t t1 1t t2 23 31616，0 0S S3 32 2， 即即OABOAB面积的取值范围是面积的取值范围是 0 0，3 32 2
