2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训44 空间点、直线、平面之间的位置关系 作业.doc

空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.A1B2C3D4B根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.2在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直A由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，又EF平面A1BCD1，EFD1CF，则A1B与EF相交3a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则acC对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确4在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外A如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上5如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.D连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.二、填空题6已知AE是长方体ABCD­EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有 条4作出长方体ABCD­EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条7已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成角的度数为 30°如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，可得GEF30°，EF与CD所成角的度数为30°.8如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故正确三、解答题9已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点证明(1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD.又因为CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E，F，G，H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以FH，EG，AC共点10如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC×2×22，三棱锥P­ABC的体积为VSABC·PA×2×2.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.1在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABBB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A30°B60°C75° D90°D将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角设BB1，则BCCD2，BCD120°，BD2，又因为BC1C1D，所以BC1D90°.2在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱CC1，A1D1的中点，则异面直线A1B与MN所成的角为()A30°B45° C60°D90°A如图，取C1D1的中点P，连接PM，PN，CD1.因为M为棱CC1的中点，P为C1D1的中点，所以PMCD1，所以PMA1B，则PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角设AB2，在PMN中，PMPN，MN，则cosPMN，即PMN30°.故选A.3.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：直线MN平面PQR；点K在直线MN上；M，N，K，A四点共面其中正确结论的序号为 由题意知，MPQ，NRQ，KRP，从而点M，N，K平面PQR.所以直线MN平面PQR，故正确同理可得点M，N，K平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故正确因为A直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故正确4如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥O­ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥O­ABCD的体积V×4×2.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，即DE2EM2MD2，DEM为直角三角形，且DEM90°，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.5如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GHAD.又BCAD，故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面1平面过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.B.C. D.A根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.2在长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C. D.C如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1FAD1，所以DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DF，由题意，得DF，FB12，DB1.在DFB1中，由余弦定理，得DF2FBDB2FB1·DB1cosDB1F，即5452×2××cosDB1F，cosDB1F.11