2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训33 数列的概念与简单表示法 作业.doc

1 数列的概念与简单表示法 建议用时：45 分钟 一、选择题 1数列 0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式 an等于( ) A.（1）n12 Bcos n2 Ccosn12 Dcosn22 D 令 n1，2，3，逐一验证四个选项，易得 D 正确 2若 Sn为数列an的前 n 项和，且 Snnn1，则1a5等于( ) A.56 B.65 C.130 D30 D 当 n2 时，anSnSn1nn1n1n1n（n1），所以1a55630. 3记 Sn为数列an的前 n 项和“任意正整数 n，均有 an0”是“Sn是递增数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A “an0”“数列Sn是递增数列”， “an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件 如数列an为1，1，3，5，7，9，显然数列Sn是递增数列，但是 an不一定大于零，还有可能小于零， “数列Sn是递增数列”不能推出“an0” ， 2 “an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件 “an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件 4(2019 武汉 5 月模拟)数列an中，an12an1，a11，则 a6( ) A32 B62 C63 D64 C 数列an中，an12an1，故 an112(an1)， 因为 a11，故 a1120，故 an10， 所以an11an12，所以an1为等比数列，首项为 2，公比为 2. 所以 an12n即 an2n1，故 a663，故选 C. 5若数列an的前 n 项和 Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是( ) A第 2 项 B第 3 项 C第 4 项 D第 5 项 B Snn210n， 当 n2 时，anSnSn12n11； 当 n1 时，a1S19 也适合上式 an2n11(nN) 记 f(n)nann(2n11)2n211n， 此函数图象的对称轴为直线 n114，但 nN， 当 n3 时，f(n)取最小值 数列nan中数值最小的项是第 3 项 二、填空题 6已知数列 5， 11， 17， 23， 29，则 5 5是它的第_项 21 数列 5， 11， 17， 23， 29，中的各项可变形为 5， 56，526， 536， 546， 所以通项公式为 an 56（n1） 6n1， 令 6n15 5，得 n21. 7若数列an满足 a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，则 a3等3 于_ 15 令 n1， 则 32， 即 1， 由 an1(2n1)an， 得 a35a25315. 8在一个数列中，如果nN*，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列， k 叫做这个数列的公积 已知数列an是等积数列， 且 a11，a22，公积为 8，则 a1a2a3a12_ 28 a1a2a38，且 a11，a22. a34，同理可求 a41，a52. a64，an是以 3 为周期的数列， a1a2a3a12(124)428. 三、解答题 9(2019 洛阳模拟)已知数列an满足 a150， an1an2n(nN*)， (1)求an的通项公式； (2)已知数列bn的前 n 项和为 an，若 bm50，求正整数 m 的值 解 (1)当 n2 时， an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1 2(n1)2(n2)222150 2（n1）n250 n2n50. 又 a15012150， an的通项公式为 ann2n50，nN*. (2)b1a150， 当 n2 时， bnanan1n2n50(n1)2(n1)502n2， 即 bn50，n12n2，n2. 当 m2 时，令 bm50，得 2m250，解得 m26. 又 b150， 4 正整数 m 的值为 1 或 26. 10设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1a(a3)，an1Sn3n，nN*，设 bnSn3n， (1)求数列bn的通项公式； (2)若 an1an，nN*，求 a 的取值范围 解 (1)依题意，Sn1Snan1Sn3n， 即 Sn12Sn3n， 由此得 Sn13n12(Sn3n)， 即 bn12bn， 又 b1S13a3， 所以数列bn的通项公式为 bn(a3)2n1，nN*. (2)由(1)知 Sn3n(a3)2n1，nN*， 于是，当 n2 时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2， an1an43n1(a3)2n2 2n21232n2a3 ， 当 n2 时， an1an1232n2a30a9， 又 a2a13a1(a3) 综上，a 的取值范围是9，3)(3，) 1已知数列an满足：a11，an1anan2(nN*)，若 bn1(n)1an1 ，b1，且数列bn是递增数列，则实数 的取值范围是( ) A(2，) B(3，) C(，2) D(，3) C 由 an1anan2，知1an12an1，即1an1121an1 ，所以数列1an1是首项为1a112， 公比为 2 的等比数列， 所以1an12n， 所以 bn1(n) 2n，5 因为数列bn是递增数列，所以 bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10 对一切正整数 n 恒成立，所以 n1，因为 nN*，所以 2，故选 C. 2(2019 临沂三模)意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用 若此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an， 则数列an的前 2 019 项的和为( ) A672 B673 C1 346 D2 019 C 由数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以 2 的余数，可得an为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，所以an是周期为 3 的周期数列， 一个周期中三项和为 1102， 因为 2 0196733， 所以数列an的前 2 019 项的和为 67321 346，故选 C. 3(2019 晋城三模)记数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn3an2n3，则数列an的通项公式为 an_ an232n 当 n1 时，S1a13a11，解得 a112；当 n2 时，Sn3an2n3， Sn13an12n5，两式相减可得， an3an3an12，故 an32an11，设 an32(an1)，故 2，即an232(an12)，故an2an1232.故数列an2是以32为首项，32为公比的等比数列，故 an23232n1，故 an232n. 4 已知数列an中， a11， 其前 n 项和为 Sn， 且满足 2Sn(n1)an(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)记 bn3na2n，若数列bn为递增数列，求 的取值范围 解 (1)2Sn(n1)an， 6 2Sn1(n2)an1， 2an1(n2)an1(n1)an， 即 nan1(n1)an，an1n1ann， annan1n1a111， ann(nN) (2)由(1)知 bn3nn2. bn1bn3n1(n1)2(3nn2) 2 3n(2n1) 数列bn为递增数列， 23n(2n1)0， 即 1. cn为递增数列， c12， 即 的取值范围为(，2) 1(2019 烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k，2k1，k1(kN*)，按照 k 从小到大的顺序排列在一起， 构成一个新的数列an： 1，12，21，13，22，31， ，则89首次出现时为数列an的( ) A第 44 项 B第 76 项 C第 128 项 D第 144 项 C 观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，把数列重新分组：11，7 12，21，13，22，31，1k，2k1，k1，可看出89第一次出现在第 16 组，因为 12315120，所以前 15 组一共有 120 项；第 16 组的项为116，215，710，89 ，所以89是这一组中的第 8 项，故89第一次出现在数列的第 128 项，故选 C. 2已知二次函数 f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数列an的前 n 项和 Snf(n)(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)设 cn14an(nN*)，定义所有满足 cmcm10 的正整数 m 的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列cn的变号数 解 (1)依题意，a24a0， 所以 a0 或 a4. 又由 a0 得 a4， 所以 f(x)x24x4. 所以 Snn24n4. 当 n1 时，a1S11441； 当 n2 时，anSnSn12n5. 所以 an1，n1，2n5，n2. (2)由题意得 cn3，n1，142n5，n2. 由 cn142n5可知，当 n5 时，恒有 cn0. 又 c13，c25，c33，c413，c515，c637， 即 c1c20，c2c30，c4c50， 所以数列cn的变号数为 3.