2018高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 （五十八） 坐标系 Word版含答案.doc

课时跟踪检测课时跟踪检测 ( (五五十十八八) ) 坐标系坐标系 1 1求双曲线求双曲线C C：x x2 2y y2 264641 1 经过经过： x x3 3x x，2 2y yy y，变换后所得曲线变换后所得曲线C C的焦点坐标的焦点坐标 解：设曲线解：设曲线C C上任意一点上任意一点P P(x x，y y)， 由上述可知，将由上述可知，将 x x1 13 3x x，y y2 2y y代入代入x x2 2y y2 264641 1 得得x x2 29 94 4y y2 264641 1，化简得，化简得x x2 29 9y y2 216161 1， 即即x x2 29 9y y2 216161 1 为曲线为曲线C C的方程，的方程， 可见仍是双曲线，则焦点可见仍是双曲线，则焦点F F1 1( (5,0)5,0)，F F2 2(5,0)(5,0)为所求为所求 2 2(1)(1)把化圆的直角坐标方程把化圆的直角坐标方程x x2 2y y2 2r r2 2( (r r0)0)化为极坐标方程；化为极坐标方程； (2)(2)把曲线的极坐标方程把曲线的极坐标方程8sin 8sin 化为直角坐标方程化为直角坐标方程 解：解：(1)(1)将将 x xcos cos ，y ysin sin 代入代入x x2 2y y2 2r r2 2， 得得2 2coscos2 22 2sinsin2 2r r2 2，2 2(cos(cos2 2sinsin2 2) )r r2 2，r r 所以，所以，以极点为圆心、半径为以极点为圆心、半径为r r的圆的极坐标方程为的圆的极坐标方程为 r r(0(02)2) (2)(2)法一：把法一：把x x2 2y y2 2，sin sin y y代入代入8sin 8sin ， 得得x x2 2y y2 288y yx x2 2y y2 2， 即即x x2 2y y2 28 8y y0 0，即，即x x2 2( (y y4)4)2 21616 法二：方程两边同时乘以法二：方程两边同时乘以， 得得2 28 8sin sin ， 即即x x2 2y y2 28 8y y0 0 3 3在极坐标系中，曲线在极坐标系中，曲线C C的方程为的方程为2 23 31 12sin2sin2 2，点，点R R 2 2 2 2，4 4 (1)(1)以极点为原点，极轴为以极点为原点，极轴为x x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C C的极坐标方的极坐标方程化为直角坐标方程，程化为直角坐标方程，R R点的极坐标化为直角坐标；点的极坐标化为直角坐标； (2)(2)设设P P为曲线为曲线C C上一动点， 以上一动点， 以PRPR为对角线的矩形为对角线的矩形PQRSPQRS的一边垂直于极轴， 求矩形的一边垂直于极轴， 求矩形PQRSPQRS周长的最小值，及此时周长的最小值，及此时P P点的直角坐标点的直角坐标 解：解：(1)(1)x xcos cos ，y ysin sin ， 曲线曲线C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 23 3y y2 21 1， 点点R R的直角坐标为的直角坐标为R R(2,2)(2,2) (2)(2)设设P P( ( 3 3cos cos ，sin sin ) )， 根据题意可得根据题意可得| |PQPQ| |2 2 3 3cos cos ，| |QRQR| |2 2sin sin ， | |PQPQ| | |QRQR| |4 42sin(2sin(60)60)， 当当3030时，时，| |PQPQ| | |QRQR| |取最小值取最小值 2 2， 矩形矩形PQRSPQRS周长的最小值为周长的最小值为 4 4， 此时点此时点P P的直角坐标为的直角坐标为 3 32 2，1 12 2 4 4在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，以中，以O O为极点，为极点，x x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C C的极的极坐标方程为坐标方程为coscos 3 31 1，M M，N N分别为分别为C C与与x x轴，轴，y y轴的交点轴的交点 (1)(1)写出写出C C的直角坐标方程，并求的直角坐标方程，并求M M，N N的极坐标；的极坐标； (2)(2)设设MNMN的中点为的中点为P P，求直线，求直线OPOP的极坐标方程的极坐标方程 解：解：(1)(1)由由coscos 3 31 1 得得 1 12 2cos cos 3 32 2sin sin 1 1 从而从而C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为1 12 2x x3 32 2y y1 1，即，即x x 3 3y y2 2 当当0 0 时，时，2 2，所以，所以M M(2,0)(2,0) 当当2 2时，时，2 2 3 33 3，所以，所以N N 2 2 3 33 3，2 2 (2)(2)由由(1)(1)知知M M点的直角坐标为点的直角坐标为(2,0)(2,0)，N N点的直角坐标为点的直角坐标为 0 0，2 2 3 33 3 所以所以P P点的直角坐标为点的直角坐标为 1 1，3 33 3， 则， 则P P点的极坐标为点的极坐标为 2 2 3 33 3，6 6， 所以直线， 所以直线OPOP的极坐标的极坐标方程为方程为6 6( (R)R) 5 5(2017(2017成都模拟成都模拟) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，半圆中，半圆C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为( (x x1)1)2 2y y2 21(01(0y y1)1)以以O O为极点，为极点，x x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)(1)求求C C的极坐标方程；的极坐标方程； (2)(2)直线直线l l的极坐标方程是的极坐标方程是(sin (sin 3 3cos cos ) )5 5 3 3，射线，射线OMOM：3 3与半圆与半圆C C的交点为的交点为O O，P P，与直线，与直线l l的交点为的交点为Q Q，求线段，求线段PQPQ的长的长 解：解：(1)(1)由由x xcos cos ，y ysin sin ，所以半圆，所以半圆C C的极坐标方程是的极坐标方程是2cos 2cos ， 0 0，2 2 (2)(2)设设( (1 1，1 1) )为点为点P P的极坐标，则有的极坐标，则有 1 12cos 2cos 1 1，1 13 3，解得解得 1 11 1，1 13 3，设设( (2 2，2 2) )为点为点Q Q的极坐标，的极坐标， 则有则有 2 22 2 3 3cos cos 2 25 5 3 3，2 23 3， 解得解得 2 25 5，2 23 3， 由于由于1 12 2，所以，所以| |PQPQ| | |1 12 2| |4 4，所以线段，所以线段PQPQ的长为的长为 4 4 6 6在极坐标系中，已知直线在极坐标系中，已知直线l l过点过点A A(1,0)(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为小正角为3 3，求：，求： (1)(1)直线的极坐标方程；直线的极坐标方程； (2)(2)极点到该直线的距离极点到该直线的距离 解：解：(1)(1)如图，由正弦定理得如图，由正弦定理得 sinsin223 31 1sinsin 3 3 即即sinsin 3 3sinsin223 33 32 2， 所求直线的极坐标方程为所求直线的极坐标方程为sinsin 3 33 32 2 (2)(2)作作OHOHl l，垂足为，垂足为H H， 在在OHAOHA中，中，OAOA1 1，OHAOHA2 2，OAHOAH3 3， 则则OHOHOAOAsinsin3 33 32 2，即极点到该直线的距离等于，即极点到该直线的距离等于3 32 2 7 7(2016(2016全国乙卷全国乙卷) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，曲线中，曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 x xa acos cos t t，y y1 1a asin sin t t( (t t为参数，为参数，a a 0)0)在以坐标原点为极点，在以坐标原点为极点，x x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C C2 2：4cos 4cos (1)(1)说明说明C C1 1是哪一种曲线，并将是哪一种曲线，并将C C1 1的方程化为极坐标方程；的方程化为极坐标方程； (2)(2)直线直线C C3 3的极坐标方程为的极坐标方程为0 0，其中，其中0 0满足满足 tan tan 0 02 2，若曲线，若曲线C C1 1与与C C2 2的公共的公共点都在点都在C C3 3上，求上，求a a 解：解：(1)(1)消去参数消去参数t t得到得到C C1 1的普通方程为的普通方程为x x2 2( (y y1)1)2 2a a2 2，则，则C C1 1是以是以(0,1)(0,1)为圆心，为圆心，a a为半径的圆为半径的圆 将将x xcos cos ，y ysin sin 代入代入C C1 1的普通方程中， 得到的普通方程中， 得到C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为2 22 2sin sin 1 1a a2 20 0 (2)(2)曲线曲线C C1 1，C C2 2的公共的公共点的极坐标满足方程组点的极坐标满足方程组 2 22 2sin sin 1 1a a2 20 0，4cos 4cos . . 若若00，由方程组得，由方程组得 16cos16cos2 28sin 8sin cos cos 1 1a a2 20 0， 由已知由已知 tan tan 2 2，可得，可得 16cos16cos2 28sin 8sin cos cos 0 0， 从而从而 1 1a a2 20 0，解得，解得a a1(1(舍去舍去) )或或a a1 1 当当a a1 1 时，极点也为时，极点也为C C1 1，C C2 2的公共点，且在的公共点，且在C C3 3上上 所以所以a a1 1 8 8(2017(2017广州五校联考广州五校联考) )在极坐标系中，圆在极坐标系中，圆C C是以点是以点C C 2 2，6 6为圆心，为圆心，2 2 为半径的为半径的圆圆 (1)(1)求圆求圆C C的极坐标方程；的极坐标方程； (2)(2)求圆求圆C C被直线被直线l l：551212( (R)R)所截得的弦长所截得的弦长 解：法一：解：法一：(1)(1)设所求圆上任意一点设所求圆上任意一点M M( (，) )，如图，如图， 在在 RtRtOAMOAM中，中，OMAOMA2 2， AOMAOM226 6，| |OAOA| |4 4 因为因为 coscosAOMAOM| |OMOM| | |OAOA| |， 所以所以| |OMOM| | |OAOA|co|cos sAOMAOM， 即即4cos4cos 226 64cos4cos 6 6， 验证可知，极点验证可知，极点O O与与A A 4 4，6 6的极坐标也满足方程，的极坐标也满足方程， 故故4cos4cos 6 6为所求为所求 (2)(2)设设l l：551212( (R)R)交圆交圆C C于点于点P P，在，在 RtRtOAPOAP中，中，OPAOPA2 2， 易得易得AOPAOP4 4， 所以所以| |OPOP| | |OAOA|cos|cosAOPAOP2 2 2 2 法二：法二：(1)(1)圆圆C C是将圆是将圆4cos 4cos 绕极点按顺时针方向旋转绕极点按顺时针方向旋转6 6而得到的圆，而得到的圆， 所以圆所以圆C C的极坐标方程是的极坐标方程是4cos4cos 6 6 (2)(2)将将551212代入圆代入圆C C的极坐标方程的极坐标方程4cos4cos 6 6， 得得2 2 2 2， 所以圆所以圆C C被直线被直线l l：551212( (R)R)所截得的弦长为所截得的弦长为 2 2 2 2