2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训7 函数性质的综合问题 作业.doc

1 函数性质的综合问题 建议用时：45 分钟 一、选择题 1设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)x2x，则f52( ) A14 B12 C14 D12 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数， 所以 f52f52f12.又当 0 x1 时，f(x)x2x，所以 f121221214，则 f5214. 2下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是( ) Ayexex Byln(|x|1) Cysin x|x| Dyx1x D 选项 A、B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意； 选项 D 中，yx1x是奇函数，且 yx 和 y1x在(0，)上均为增函数，故 yx1x在(0，)上为增函数，所以选项D 正确 3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 fx52f(x)0，当54x0 时，f(x)2xa，则 f(16)的值为( ) A.12 B12 C.32 D32 2 A 由 fx52f(x)0，得 f(x)fx52f(x5)， f(x)是以 5 为周期的周期函数， f(16)f(135)f(1) f(x)是 R 上的奇函数， f(0)1a0，a1. 当54x0 时，f(x)2x1， f(1)21112， f(1)12，f(16)12. 4 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 fx32f(x)， 当 x0，12时， f(x)log12(1x)，则 f(x)在区间1，32内是( ) A减函数且 f(x)0 B减函数且 f(x)0 C增函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0 D 当 x0，12时，由 f(x)log12(1x)可知，f(x)单调递增且 f(x)0，又函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)在区间12，0 上也单调递增，且 f(x)0.由 fx32f(x)知，函数的周期为32，所以在区间1，32上，函数 f(x)单调递增且 f(x)0. 5 (2019 合肥调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)， 且在0,1上是减函数，则有( ) Af32f14f14 Bf14f14f32 Cf32f14f14 Df14f32f14 C 因为 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为3 4，作出 f(x)的草图，如图，由图可知 f32f14f14. 二、填空题 6已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_. 6 f(x4)f(x2)， f(x6)f(x)，f(x)的周期为 6， 91915361，f(919)f(1) 又 f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6. 7定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)0，且 f(4x)f(x)现有以下三个命题： 8 是函数 f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线 x2 对称；f(x)是偶函数 其中正确命题的序号是_ f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为 4，故正确；又 f(4x)f(x)，所以 f(2x)f(2x)，即 f(x)的图象关于直线 x2 对称，故正确；由 f(x)f(4x)得 f(x)f(4x)f(x)，故正确 8已知定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)内单调递增，且 f120，则 f(x)0 的解集为_ x|12x0或x12 由奇函数 yf(x)在(0， )内单调递增， 且 f120，可知函数 yf(x)在(，0)内单调递增，且 f120.由 f(x)0，可得 x12或12x0. 三、解答题 9设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，4 当1x0 时，f(x)x. (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)试求出函数 f(x)在区间1,2上的表达式 解 (1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x) 又 f(x2)f(x)，f(x)f(x) 又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数 (2)当 x0,1时，x1,0， 则 f(x)f(x)x； 从而当 1x2 时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x) x，x1，0，x，x0，1，x2，x1，2. 10设函数 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积 解 (1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x) 故函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 5 当4x4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB41221 4. 1(2019 惠州调研)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(，0上是减函数，且 f(1)2，则不等式 f(log2x)2 的解集为( ) A(2，) B.0，12(2，) C.0，22( 2，) D( 2，) B f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以 f(x)在0，)上是增函数， 因为f(1)2， 所以f(1)2， 所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1 或 log2x1x2 或 0 x12.故选 B. 2已知函数 yf(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件： 对任意的 x1，x24,8，当 x1x2时，都有fx1fx2x1x20 恒成立； f(x4)f(x)； yf(x4)是偶函数 若 af(7)，bf(11)，cf(2 018)，则 a，b，c 的大小关系正确的是( ) Aabc Bbca Cacb Dcba B 由知函数 f(x)在区间4,8上为单调递增函数；由知 f(x8)f(x4)f(x)， 即函数 f(x)的周期为 8， 所以 cf(2 018)f(25282)f(2)， bf(11)f(3)；由可知函数 f(x)的图象关于直线 x4 对称，所以 bf(3)f(5)，cf(2)f(6)因为函数 f(x)在区间4,8上为单调递增函数，所以 f(5)f(6)f(7)，即 bca，故选 B. 3 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)， f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于 x1 对称； f(x)在1,2上是减函数； 6 f(2)f(0)， 其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来) 因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立 令 xy0， 所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx， 所以 f(0)f(x)f(x) 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 因为 f(x)在 x1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数， 所以 f(x)在0,1上为增函数 由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2) f(x4)f(x)， 所以周期 T4， 即 f(x)为周期函数 f(x2)f(x)f(x2)f(x) 又因为 f(x)为奇函数 所以 f(2x)f(x)， 所以函数关于 x1 对称 由 f(x)在0,1上为增函数， 又关于 x1 对称， 所以 f(x)在1,2上为减函数 由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0) 4已知函数 yf(x)在定义域1,1上既是奇函数又是减函数 (1)求证：对任意 x1，x21,1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0； (2)若 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围 解 (1)证明：若 x1x20，显然不等式成立 若 x1x20，则1x1x21， 因为 f(x)在1,1上是减函数且为奇函数， 所以 f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 若 x1x20，则 1x1x21， 7 同理可证 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 综上得证，对任意 x1，x21,1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0 恒成立 (2)因为 f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)， 所以由 f(x)在定义域1,1上是减函数， 得 11a21，1a11，1a2a1，即 0a22，0a2，a2a20，解得 0a1. 故所求实数 a 的取值范围是0,1) 1 定义在 R 上的函数 f(x)满足： 对任意 xR 有 f(x4)f(x)； f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于 y 轴对称则下列结论正确的是( ) Af(7)f(6.5)f(4.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5) Cf(4.5)f(6.5)f(7) Df(4.5)f(7)f(6.5) D 由知函数 f(x)的周期为 4，由知 f(x2)是偶函数，则有 f(x2)f(x2)，即函数 f(x)图象的一条对称轴是 x2，由知函数 f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近 x2，对应的函数值越大，又 f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得 f(0.5)f(3)f(2.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故选 D. 2设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x1 对称，对任意 x1，x20，12，都有 f(x1x2)f(x1) f(x2) (1)设 f(1)2，求 f12，f14； (2)证明：f(x)是周期函数 解 (1)由 f(x1x2)f(x1) f(x2)，x1，x20，12，知 f(x)fx2 fx20，x0,1 8 f(1)f1212f12 f12f122，f(1)2， f12212. f12f1414f14 f14f142，f12212，f14214. (2)证明：依题设，yf(x)关于直线 x1 对称， f(x)f(2x) 又f(x)f(x)，f(x)f(2x)， f(x)f(2x)， f(x)是定义在 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期