2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.10圆锥曲线的综合问题-教师版.docx

第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切(×)(2)直线ykx(k0)与双曲线x2y21一定相交(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点()(4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切()(5)过点(2,4)的直线与椭圆y21只有一条切线(×)(6)满足“直线yax2与双曲线x2y24只有一个公共点”的a的值有4个()作业检查无第2课时阶段训练题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)当>0，即3<m<3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m±3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当<0，即m<3或m>3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点题型二弦长问题例2已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积(2)当2|AM|AN|时，证明：<k<2.(1)解设M(x1，y1)，则由题意知y1>0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2×××.(2)证明将直线AM的方程yk(x2)(k>0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120，由x1·(2)得x1，故|AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增，又f()1526<0，f(2)6>0，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以<k<2.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解设F1，F2分别是椭圆E：1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)D(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx，解得b由得m或m.(2)令t，则|AB|·.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|·d .当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_答案0或8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.·3，即kMN·3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218·，解得m0或8，经检验都符合.第3课时阶段重难点梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有>0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；<0直线与圆锥曲线相离(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x2x1|y2y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线重点题型训练1在同一平面直角坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(a>b>0)表示的曲线大致是()答案D解析将方程a2x2b2y21变形为1，a>b>0，<，椭圆焦点在y轴上将方程axby20变形为y2x，a>b>0，<0，抛物线焦点在x轴负半轴上，开口向左2直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定答案A解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交3若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析双曲线1的渐近线方程为y±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k.4已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_答案4解析由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|4，所以|AB|44，即当m0时，|AB|有最小值4.作业布置1斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A2，) B(2，)C(1，) D(，)答案B解析要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于，所以|>，e >2，即e(2，)，故选B.2已知抛物线y22px(p>0)与直线axy40相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)如果抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|等于()A5 B6 C3 D7答案D解析把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y22px与直线方程axy40，得p2，a2，由消去y，得x25x40，则xAxB5.由抛物线定义得|FA|FB|xAxBp7，故选D.3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，当t0时，|AB|max.4直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0答案A解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5设双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.答案D解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案D解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x1的距离之和为x1x22.设直线方程为xmy1，代入抛物线y24x，则y24(my1)，即y24my40，x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.A，B到直线x2的距离之和为x1x2226>5.满足题意的直线不存在7已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.8过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.9已知F1，F2分别是椭圆C：1(a>b>0)的左，右焦点，A是其上顶点，且AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为_答案1解析因为AF1F2为等腰直角三角形，所以bc，ac，设|BF2|x，则由椭圆的定义可知|BF1|2cx，在BF1F2中，由余弦定理可知(2cx)2x24c22x·2c·cos，解得x，所以×2c×c×2c×c×sin6，解得c2，所以b2，a29，则椭圆的方程为1.10已知双曲线C：x21，直线y2xm与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为_答案(1,74)解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，则得m>1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，得x12m，x22m，所以1，由m>1得，的取值范围为(1,74)11已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(a>b>0)，则所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|<.F2在C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.点C(2，)到直线l的距离d，由d，得.解得k或k，故l的方程为x5y20或xy20.12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意得，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值*13.已知点P是圆O：x2y21上任意一点，过点P作PQy轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中曲线E于A，B两点，求AOB面积的最大值解(1)设点M(x，y)，P为QM的中点，又PQy轴，P(，y)点P是圆O：x2y21上的点，()2y21，即点M的轨迹E的方程为y21.(2)由题意可知直线l不与y轴垂直，故可设l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)l与圆O：x2y21相切，1，即m2t21.联立消去x，得(t24)y22mtym240.其中(2mt)24(t24)(m24)16(t2m2)6448>0.y1y2，y1y2.|AB|.将代入上式得|AB| ，|m|1，SAOB|AB|·1×1，当且仅当|m|，即m±时，等号成立(SAOB)max1.21