2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　第1课时　高效演练分层突破.doc

基础题组练 1已知正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2y2m1 的焦点坐标为( ) A( 3，0) B(0， 3) C( 3，0)或( 5，0) D(0， 3)或( 5，0) 解析：选 B因为正数 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m216，即 m4，所以椭圆 x2y241 的焦点坐标为(0， 3)，故选 B 2(2019 高考北京卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，则( ) Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b 解析：选 B由题意得，ca12，所以c2a214，又 a2b2c2，所以a2b2a214，b2a234，所以 4b23a2.故选 B 3曲线x2169y21441 与曲线x2169ky2144k1(k144)的( ) A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 解析：选 D曲线x2169ky2144k1 中 c2169k(144k)25，所以 c5，所以两曲线的焦距相等 4(2020 郑州模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 12，则 C 的方程为( ) Ax23y21 Bx23y221 Cx29y241 Dx29y251 解析：选 D由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B 的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以 a3.因为椭圆的离心率 eca23，所以 c2，所以 b2a2c25，所以椭圆 C 的方程为x29y251，故选 D 5(2020 昆明市诊断测试)已知 F1，F2为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，B 为 C 的短轴的一个端点， 直线 BF1与 C 的另一个交点为 A， 若BAF2为等腰三角形， 则|AF1|AF2|( ) A13 B12 C23 D3 解析：选 A如图，不妨设点 B 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|a2，|AF2|3a2.所以|AF1|AF2|13.故选 A 6若椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为_ 解析：由题意可得 bc，则 b2a2c2c2，a 2c， 故椭圆的离心率 eca22. 答案：22 7(2020 贵阳模拟)若椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴长为 4，则椭圆的标准方程为_ 解析：由题意可知 eca32，2b4，得 b2， 所以ca32，a2b2c24c2，解得a4，c2 3， 所以椭圆的标准方程为x216y241. 答案：x216y241 8(2020 浙江台州月考改编)已知 P 为椭圆x29y281 上一个动点，直线 l 过圆(x1)2y21 的圆心与圆相交于 A，B 两点，则PA PB的最大值为_，最小值为_ 解析：由(x1)2y21 可得圆心 O1(1，0)，由x29y281 得椭圆右焦点的坐标为(1，0) 因为PA PB(PO1O1A) (PO1O1B)(PO1O1A) (PO1O1A)PO21O1A2|PO1|21.因为 31|PO1|31，所以 3|PO1|2115，所以PA PB的最大值为 15，最小值为 3. 答案：15 3 9已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0) (1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 为短轴的一个端点，求F1PF2的面积 解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)， 依题意得2a10，c3，因此 a5，b4， 所以椭圆的标准方程为x225y2161. (2)易知|yP|4，又 c3， 所以 SF1PF212|yP|2c124612. 10分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2， 3)； (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点 解： (1)由题意， 设所求椭圆的方程为x24y23t1或y24x23t2(t1， t20)， 因为椭圆过点(2， 3)，所以 t1224( 3)232，或 t2( 3)242232512. 故所求椭圆的标准方程为x28y261 或y2253x22541. (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)， 由已知条件得2a53，(2c)25232， 解得 a4，c2，所以 b212. 故椭圆的方程为x216y2121 或y216x2121. 综合题组练 1(综合型)设椭圆：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A，右焦点为 F，B 为椭圆在第二 象限内的点，直线 BO 交椭圆于点 C，O 为原点，若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆的离心率为( ) A12 B13 C14 D15 解析：选 B如图，设点 M 为 AC 的中点，连接 OM，则 OM 为ABC 的中位线，于是OFMAFB，且|OF|FA|OM|AB|12，即cac12，解得 eca13.故选 B 2(2019 高考全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( ) Ax22y21 Bx23y221 Cx24y231 Dx25y241 解析： 选 B 由题意设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)， 连接 F1A， 令|F2B|m， 则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 ma2，故|F2A|a|F1A|，则点 A 为椭圆 C的上顶点或下顶点 令OAF2(O 为坐标原点)， 则 sin 1a.在等腰三角形 ABF1中， cos 2a23a213，所以1312(1a)2，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，椭圆 C 的方程为x23y221.故选 B 3. (创新型)(2020 江西吉安一模)如图，用与底面成 45 角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为_ 解析：设圆柱的底面圆的直径为 R，则椭圆的短轴长为 R.因为截面与底面成 45 角，所以椭圆的长轴长为 2R，所以椭圆的半焦距为 22R2R22R2， 则 ecaR222R22. 答案：22 4(2019 高考全国卷)设 F1，F2为椭圆 C：x236y2201 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 解析：通解：由椭圆 C：x236y2201，得 c a2b24，不妨设 F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|F1F2|2c8，于是由椭圆的定义得|MF1|MF2|12，所以|MF2|12|MF1|4，易知MF1F2的底边 MF2上的高 h|F1F2|212|MF2|282222 15，所以12|MF2|h12|F1F2|yM，即1242 15128yM，解得 yM 15，代入椭圆方程得 xM3(舍去)或 xM3，故点 M 的坐标为(3， 15) 优解：不妨设 F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|F1F2|8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|exM623xM68，解得 xM3，代入椭圆方程得 yM 15，故点 M 的坐标为(3， 15) 答案：(3， 15) 5已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值 解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221. 所以 a24，b22，从而 c2a2b22. 因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22. (2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，所以OA OB0，即 tx02y00， 解得 t2y0 x0.又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2 x20y204y20 x204x204x2022(4x20)x204x2028x204(0 x204)因为x2028x204(0 x20 4)，当且仅当 x204 时等号成立，所以|AB|28.故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 6(2019 高考全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为 C上的点，O 为坐标原点 (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 解：(1)连接 PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290 ，|PF2|c，|PF1| 3c，于是 2a|PF1|PF2|( 31)c，故 C 的离心率 eca 31. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 12|y| 2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21， 即 c|y|16， x2y2c2， x2a2y2b21. 由及 a2b2c2得 y2b4c2，又由知 y2162c2，故 b4. 由得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2， 从而 a2b2c22b232，故 a4 2. 当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 P. 所以 b4，a 的取值范围为4 2，)