专题09 平面向量 9.2数量积 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

专题九 平面向量讲义9.2 数量积知识梳理.数量积1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0°180°.(3)共线与垂直：若0°，则a与b同向；若180°，则a与b反向；若90°，则a与b垂直2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则|a|b|·cos_叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20题型一. 基本公式1若非零向量a、b满足|a|=|b|且(2a+b)b，则a与b的夹角为（）A6B3C23D56【解答】解：非零向量a、b满足|a|=|b|，且(2a+b)b，设a与b的夹角为，0，（2a+b）b=2ab+b2=0，即2ab=b2，2|a|a|cos=|a|2，求得cos=12，=23，故选：C2已知非零向量a，b夹角为45°，且|a|2，|ab|2则|b|等于（）A22B2C3D2【解答】解：非零向量a，b夹角为45°，且|a|2，|ab|2可得a22ab+b2=4，422|b|+|b|24则|b|22故选：A3已知向量a，b及实数t满足|a+tb|3若ab=2，则t的最大值是98【解答】解：由于求t的最大值，即t0，由|a+tb|3，ab=2，两边平方可得（a+tb）29，即为a2+t2b2+2tab=9，即有a2+t2b294t，由a2+t2b22t|a|b|2tab=4t，当且仅当a，b同向时，取得等号由94t4t，解得t98即有t的最大值为98故答案为：98题型二. 几何意义投影1设向量e1，e2是夹角为23的单位向量，若a=3e1，b=e1e2，则向量b在a方向的投影为（）A32B12C12D1【解答】解：向量e1，e2是夹角为23的单位向量，|e1|=|e2|=1，e1e2=1×1×cos23=12|a|=|3e1|=3，ab=3e1(e1e2)=3e123e1e2=33×(12)=92向量b在a方向的投影为ba|a|=923=32故选：A2如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则APAC=18【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC2AOAPBD，AP3，在RtAPO中，AOcosOAPAP3|AC|cosOAP2|AO|×cosOAP2|AP|6，由向量的数量积的定义可知，APAC=|AP|AC|cosPAO3×618故答案为：183如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则APAB的取值范围是5，5【解答】解：如图所示：设PAB，作OMAP，则AOM，sin=AMOA，AM5sin，AP2AM10sinAPAB=10sin×1×cos5sin25，5，故答案为：5，5题型三. 转换基底1如图，在ABC中，ADAB，BC=23BD，|AD|1，则ACAD=（）A23B3C32D23【解答】解：在ABC中，ADAB，BC=23BD，|AD|1，则ACAD=（AB+BC）AD=ABAD+BCAD=BCAD0+23BDAD=23（ADAB）AD23AD223ABAD=231023，故选：A2已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=AB+AC且APBC，则实数的值为（）A37B73C712D127【解答】解：向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，可得ABAC=3×2×cos120°3，若AP=AB+AC且APBC，则APBC=（AB+AC）（ACAB）=AC2AB2+（1）ABAC493（1）0，解得=712故选：C3如图，P为AOB所在平面内一点，向量OA=a，OB=b，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量OP=c若|a|3，|b|2，则c(ab)的值为52 【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，则OP=OB+BH+HP=OB+12BA+HP=OB+12OA12OB+HP=12OA+12OB+HP，则c(ab)=（12OA+12OB+HP）（OAOB）=12（OA2OB2）+HPBA =12×（3222）+0=52故答案为：52题型四. 数量积运算律求最值1向量a，b的夹角为120°，|a|=|b|=1，|c|=2，则|a+2b+c|的最大值为（）A23B2C2+3D4【解答】解：|a+2b+c|a+2b|+|c|，计算：|a+2b|2=a2+4b2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos1+44×12=3，|a+2b|=3，|a+2b+c|a+2b|+|c|2+3，当且仅当|a+2b|c|时取等号故|a+2b+c|的最大值为2+3，故选：C2已知向量a，b满足|a|5，|b|1且|a4b|21，则ab的最小值为52【解答】解：|a4b|21，a28ab+16b221，即258ab+1621，ab52故答案为：523在梯形ABCD中，ABCD，ABBC2，CD1，M是线段BC上的动点，若BDAM=3，则BABC的取值范围是1，4）【解答】解：由已知有：|AB|BC|，CD=12BA，BM=BC，（01），则BDAM=（BC+CD）(AB+BM）（BC+12BA）（BCBA）3，所以BABC=2+82=1828，因为01，BABC1，10，因为BABC=|BA|BC|cos，其中为BA与BC的夹角，（0，），因为cos（1，1），所以BABC=2×2cos4cos（4，4），又1BABC10，所以BABC1，4)故答案为：1，4）题型五.数量积坐标运算1已知向量a=（2，1），b=（1，1），c=（m2，n），其中m，n均为正数，且（ab）c，下列说法正确的是（）Aa与b的夹角为钝角B向量a在b方向上的投影为55C2m+n4Dmn的最大值为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量a=（2，1），b=（1，1），则ab=2110，则a、b的夹角为锐角，A错误；对于B，向量a=（2，1），b=（1，1），则向量a在b方向上的投影为ab|b|=22，B错误；对于C，向量a=（2，1），b=（1，1），则ab=（1，2），若（ab）c，则（n）2（m2），变形可得2m+n4，C正确；对于D，由C的结论，2m+n4，而m，n均为正数，则有mn=12（2mn）12（2m+n2）22，即mn的最大值为2，D正确；故选：CD2如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF=2，则AEBF的值是2【解答】解：AF=AD+DF，ABAF=AB(AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=2|DF|=2，|DF|1，|CF|=21，AEBF=（AB+BE）（BC+CF）=ABCF+BEBC=2(21)+1×2=2+2+2=2，故答案为：23已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AEBD=23，则AFEF的最小值为（）A23B43C15275D7336【解答】解：由题意知：BE=23BC，设DAB，所以AEBD=（AB+BE）（ADAB）=ABADAB2+23BCAD23BCAB=4cos4+8383cos=23，所以cos=12，又（0，），所以=3，以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，所以A（3，0），C（3，0），D（0，1），B（0，1），E（233，13），设F（0，t），则AF=（3，t），EF=（233，t+13），所以AFEF=2+t（t+13）t2+13t2=（t+16）27336，当t=16时，AFEF取最小值7336，故选：D题型六. 极化恒等式1设向量a，b满足|a+b|=10，|ab|=6，则ab=（）A1B1C4D4【解答】解：|a+b|=10，（a+b）210，a2+b2+2ab=10 ，|ab|=6，（ab）26，a2+b22ab=6 ，得 4ab=4，ab=1故选：B2如图，ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则APBP的取值范围是1，13【解答】解：|AC|=|BC|=23，ACB60°ACBC=2323cos60°6AP=AC+CP，BP=BC+CPAPBP=（AC+CP）（BC+CP）=ACBC+CP（AC+BC）+CP2|CP|=1APBP=6+CP（AC+BC）+17+CP（AC+BC）ABC是边长为23的等边三角形，向量AC+BC是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量由此可得，点P在圆C上运动，当CP与AC+BC共线同向时，CP（AC+BC）取最大值，且这个最大值为6当CP与AC+BC共线反向时，CP（AC+BC）取最小值，且这个最小值为6故APBP的最大值为7+613，最小值为761即APBP的取值范围是1，13故答案为：1，133已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值为（）A3B6C2D83【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，23），B（2，0），C（2，0），设P（x，y），则PA=（x，23y），PB=（2x，y），PC=（2x，y），所以则PA(PB+PC)的最x（2x）+（23y）（2y）2x243y+2y22x2+2（y3）23；所以当x0，y=3时，PA(PB+PC)取得最小值为2×（3）6，故选：B课后作业. 数量积1已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|2a+b|=3|2ab|，则a与b夹角为（）A45°B60°C90°D120°【解答】解：|a|=1，|b|=2，|2a+b|=3|2ab|，(2a+b)2=3(2ab)2，4a2+4ab+b2=12a212ab+3b2，4a28ab+b2=0，即48ab+4=0，ab=1，cosa，b=ab|a|b|=12，且0°a，b180°，a，b=60°故选：B2已知ABC满足AB2=2BACA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D等腰三角形【解答】解：根据AB2=2BACA得到：c22bccosA，由正弦定理bsinB=csinC=2R，可得sin2C2sinBsinCcosA，又C为三角形的内角，得到sinC0，可得sinC2sinBcosA，又sinCsin（A+B）sin（A+B），sin（A+B）sinAcosB+cosAsinB2sinBcosA，即sinAcosBcosAsinB0，sin（AB）0，且A和B都为三角形的内角，AB，则ABC的形状为等腰三角形故选：D3已知向量ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则（）AaeBa（ae）Ce（ae）D（a+e）（ae）【解答】解：已知向量 ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|即|ate|2|ae|2t22aet+2ae10即 =(2ae)24(2ae1)0即(ae1)20ae1=0aee2=0e(ae)=0故选：C4如图，在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则ABAC=（）A34B28C16D22【解答】解：AB=AM+MB，AC=AM+MC且AM3，BC10，|AM|3，|BM|MC|5，MBMC=25，AMMC+AMMB=AM(MC+MB)=0，ABAC=（AM+MB）（AM+MC）=AM2+AMMC+MBAM+MBMC92516故选：C5如图，在ABC中，BAC=3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC3，AB4，则APCD的值为（）A3B1312C1312D112【解答】解：AD=2DB，AD=23AB，CPCD，CP=kCD，即APAC=k（ADAC），又AP=mAC+12AB，则（m1）AC+12AB=k（23ABAC），m1=k12=23k，k=34，m=14，则APCD=AP（ADAC）（14AC+12AB）（23ABAC）=13AB214AC213ABAC=1639413×4×3cos3=1312，故选：C6如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF=2，则AEBF的值是2【解答】解：AF=AD+DF，ABAF=AB(AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=2|DF|=2，|DF|1，|CF|=21，AEBF=（AB+BE）（BC+CF）=ABCF+BEBC=2(21)+1×2=2+2+2=2，故答案为：27已知a、b均为单位向量，且ab=0若|c4a|+|c3b|=5，则|c+a|的取值范围是（）A3，10B3，5C3，4D10，5【解答】解：a、b均为单位向量，且ab=0设a=(1，0)，b=(0，1)，再设c=(x，y)，代入|c4a|+|c3b|=5，得(x4)2+y2+x2+(y3)2=5即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，c的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，|c+a|=(x+1)2+y2，表示M（1，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（1，0）到直线3x+4y120的距离|c+a|min=|312|5=3最大值为|MA|5|c+a|的取值范围是3，5故选：B8已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB1，BC2，若AM是BC边上的高，点P在ABC内部或边界上运动，则AMBP的取值范围是（）A1，0B12，0C34，12D34，0【解答】解：如图，由AB1，BC2，可得AC=3，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，3），直线BC方程为x+y3=1则直线AM方程为y=33x，联立，解得：M（34，34），由图可知，当P在线段BC上时，AMBP有最大值为0，当P在线段AC上时，AMBP有最小值，设P（0，y）（0y3），AMBP=（34，34）（1，y）=34+34y34AMBP的范围是34，0故选：D9在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|DB|DC|2，DABC=DBAC=DCAB=0，动点P，M满足|AP|1，PM=MC，则|BM|2的最大值为494【解答】解：平面内，|DA|DB|DC|2，DABC=DBAC=DCAB=0，DABC，DBAC，DCAB，可设D（0，0），A（2，0），B（1，3），C（1，3），动点P，M满足|AP|1，PM=MC，可设P（2+cos，sin），M（1+cos2，sin32），BM=（3+cos2，sin332），BM2=(3+cos2)2+(sin332)2=37+12sin(6)4494，当且仅当sin（6）1时取等号，|BM|2的最大值为494故答案为：494