考点41 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2020年高考数学（理）考点一遍过_20210103224733.docx

考点41 直线与圆锥曲线的位置关系（1）了解圆锥曲线的简单应用.（2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，若b0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1）AB为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆x2+4y2=4，直线l:yxm(1)若l与椭圆有一个公共点，求m的值；(2)若l与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得，即5x2+8mx+4m2-4=0，由于直线l与椭圆有一个公共点，则=80-16m2=0,所以m=±5.(2)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)，由(1)知：，则|PQ|=2.解得：m=±304.典例2 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，当时，满足题意，此时直线的方程为；当时，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为，或，或.（2）易得直线MF的方程为，由得设，则，从而，所以的面积为1已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为ABCD2已知点到抛物线的准线的距离为2.（1）求抛物线的方程及焦点的坐标；（2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，求直线与的斜率之积.考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线C：y2=2px（p>0），焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，D(x0,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0（1）求抛物线C的方程；（2）若x1x2+y1y2=-1，求的最小值【解析】（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x2=2x0，|AF|+|BF|=1+2x0，p=1，y2=2x（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，x1x2+y1y2=-1，即，y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，b=1，y1+y2=2m，y1y2=-2，|AB|=1+m2|y1-y2| =1+m2(y1+y2)2-4y1y2 =21+m2m2+2，令t=m2+1，t1,+)，则，当且仅当时等号成立故的最小值为.典例4 已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）直线与圆相切于点，且，直线的方程为，即，椭圆的标准方程为；（2）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，代入椭圆的方程中，得，由椭圆定义知，又，从而，设，则，.，代入并整理得，.故直线的方程为或.3直线与双曲线相交于A，B两点（1）当时，求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值4已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交于点，试探究：线段与的长度能否相等？如果相等，求直线的方程，如果不等，说明理由考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点（1）若m1，k1k21，求EMN面积的最小值；（2）若k1k21，求证：直线MN过定点【解析】（1）当m=1时，E为抛物线y2=4x的焦点，k1k2=-1，ABCD. 设直线AB的方程为y=k1x-1，Ax1,y1,Bx2,y2，由y=k1x-1y2=4x得k1y2-4y-4k1=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4.则，同理，N2k12+1,-2k1，化简得，当且仅当k1=±1时等号成立.故EMN的面积取得最小值，为4. （2）设直线AB的方程为y=k1x-m，Ax1,y1,Bx2,y2，由y=k1x-my2=4x得k1y2-4y-4k1m=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4m，则，同理，直线MN的方程为，即y=k1k2x-m+2，直线MN恒过定点m,2典例6 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.（1）求证：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值.【解析】（1）由，得，不妨设直线，直线.由，得，设，同理得，直线的斜率为定值2.（2）设直线，由，得，则，由得，且，又点到的距离，则，当且仅当，即，时，取等号，所以面积的最大值为1.5已知抛物线过点（1）求抛物线的方程和焦点坐标；（2）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.6已知椭圆的离心率为12，右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，左顶点为P，过F2的直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB与直线l:x=4交于M、N两点.（1）求椭圆E的方程；（2）试计算PMPN是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 1直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为A相交 B相切C相离 D不确定2已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为A(0,52) B1,52C(-52,52) D(1,52)3直线被椭圆截得的弦长是ABCD4设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则AB=A323 B16C32 D435直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A,B两点，若线段AF,BF的长分别为m,n，则4m+n的最小值是A10 B9C8 D76已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为ABCD7已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为A2BCD8过双曲线的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若,则双曲线的渐近线方程为A(2+1)x+y=0B(2+1)y-x=0C(2+1)x±y=0D(2+1)y±x=09过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为ABCD210若椭圆与直线x-2y+4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A BC D11已知双曲线的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，则此双曲线的离心率为A2 B3C D612设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线的斜率为，那么ABCD213若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则A2或BC2D14已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个数是ABCD不确定15如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为AB C Dy2=3x16已知椭圆C：，过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，若AM=2MB，则直线l的斜率为A B C D 17已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，若直线与直线的斜率的乘积为，则的最小值为A14B16C18D2018直线过抛物线的焦点且与相交于A，B两点，且的中点的坐标为，则抛物线C的方程为A或B或C或D或19如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，则弦AB的长等于_20如果双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为_.21过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于_.22直线m与椭圆x22+y2=1分别交于点P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_23过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点_.24过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则_25已知椭圆的离心率，焦距是（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，求的值26已知抛物线y2=2pxp>0上的点P到点Fp2,0的距离与到直线x=0的距离之差为1，过点Mp,0的直线l交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）若ABO的面积为43，求直线l的方程.27设、分别为双曲线的左、右项点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标28已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，.（1）求抛物线的标准方程；（2）如图，为抛物线的准线上任一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，求的值.29已知椭圆过点且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.30已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.31已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标32已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值33已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，交轴于点，已知，求证：为定值34已知圆，抛物线（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值35已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且，证明：直线AB过定点36已知椭圆的左顶点为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积1（2019年高考全国卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD2（2019年高考全国卷理数）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD3（2019年高考天津卷理数）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为ABCD4（2018新课标全国理科）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则A5B6C7D85（2018新课标全国理科）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD6（2018新课标全国理科）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则AB3CD47（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_8（2019年高考全国卷理数）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_9（2018新课标全国理科）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_10（2019年高考全国卷理数）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|11（2019年高考全国卷理数）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.12（2019年高考北京卷理数）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点13（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若（为原点），且，求直线的斜率14（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标15（2019年高考浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记的面积分别为（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标16（2018新课标全国理科）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程17（2018新课标全国理科）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：18（2018新课标全国理科）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差19（2018北京理科）已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，求证：为定值20（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程21（2018天津理科）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若(O为原点)，求k的值22（2017新课标全国理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程23（2017新课标全国I理科）已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点变式拓展1【答案】C【解析】因为，所以，又，所以在直角三角形中，因为，所以，所以椭圆的方程为.故选C.2【解析】（1）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为；（2）设点,，由已知得，由题意直线的斜率存在且不为0.设直线的方程为. 由得，则，因为点在抛物线上，所以， 则， 故.故直线与的斜率之积为2.3【解析】由消去y得设，则，（1） 当时，（2）由题意知，OAOB，则，即，即，即，解得所以当以AB为直径的圆经过坐标原点时，a的值为或4【解析】（1）设直线，代入抛物线方程得：，解得：，抛物线方程为.（2）由（1）知：，联立，得，此时恒成立，过焦点，由，得，由得，即，解得：或（舍），.当直线的方程为时，.5【解析】（1）因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，焦点坐标为.（2）设直线的方程为，由，消去整理得，则，即，设，则，且.直线，即，所以，直线恒过定点.6【解析】（1）由题意知ca=12，右焦点F2(1,0)，即c=1，且b2+c2=a2，解得a=2,b=3，所以椭圆E的方程为x24+y23=1.（2）由（1）知P(-2,0)，当直线AB的斜率不存在时，即直线AB的方程为x=1，易知A(1,32),B(1,-32)，所以直线PA:y=12(x+2),直线PB:y=-12(x+2).令x=4，可知：M(4,3),N(4,-3),此时PMPN=27. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线PA:y=y1x1+2(x+2),直线PB:y=y2x2+2(x+2),令x=4，可知M(4,6y1x1+2),N(4,6y2x2+2)，联立，消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，. 此时.综上所述，PMPN为定值，且.考点冲关1【答案】A【解析】由题意得直线y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆x29+y24=1的内部,所以直线与椭圆相交.选A2【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，当1k1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当k1时，直线与双曲线的右支没有交点.把代入x2-y2=4得，令，解得k=52或k=52（舍去）直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点时，1k52故选D3【答案】A【解析】将直线代入，可得，即，x12，x2，y11，y2，直线被椭圆截得的弦长为.故选A4【答案】C【解析】由题意知F（2,0），AB所在直线的方程为y=tan30°(x-2)=33(x-2)，联立y2=8x消元得y2-83y-16=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=83,y1y2=-16，所以|AB|=1+3×64×3+4×16=32，故选C5【答案】B【解析】由抛物线焦点弦的性质可知：1m+1n=2p=1，则4m+n=4m+n1m+1n=5+4mn+nm5+24mn×nm=9，当且仅当m=32,n=3时等号成立.即4m+n的最小值是9.本题选择B选项.6【答案】B【解析】由，得，直线与抛物线相切，双曲线方程为，可得，则双曲线的离心率.故选B7【答案】C【解析】由题得.设，由题得，则，两式相减得，即，即.故选C.8【答案】C【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,则直线的方程为x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(a2a+b,aba+b),C(a2a-b,-aba-b),则有,.因为AB=22BC,所以,化简得ba=2+1,则双曲线的渐近线方程为(2+1)x±y=0.故选C.9【答案】D【解析】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，由抛物线的定义得，得，可得出，故选D10【答案】B【解析】联立方程得b2x2+4y2=4b2x-2y+4=0，消去y化简得(b2+1)x2+8x+16-4b2=0，由题意得=64-4×b2+116-4b20,b23,4-c23,c21,c1,ca12.故该椭圆离心率的取值范围是0,12.故选B11【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线不妨设为：bx-ay=0，则，可得 .一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，可得，即2a2=b2=c2-a2，解得e=ca3故选B12【答案】B【解析】抛物线方程为，焦点，准线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为，由可得点坐标为，为垂足，点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，.故选B.13【答案】C【解析】设由消去，得，故，解得，且由，且成等差数列，得，得，所以，解得或，又，故，故选C14【答案】A【解析】因为是关于的方程的两个不等实根，所以，且，则直线的斜率，则直线的方程为，即，整理得，故直线恒过点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个.故选A15【答案】C【解析】过点B作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得,所以|BB1|=23|FF1|=,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|=.令A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知F(p2,0),可设直线l的方程为y=k(x-).联立方程,消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,则x1+x2=p(k2+2)k2,x1·x2=p24.又由抛物线的定义知|AF|=x1+,|BF|=x2+,则可得1|AF|+1|BF|=2p,于是有13+32p=2p,解得2p=3,所以此抛物线的方程是.选C.16【答案】C【解析】由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l:y=k(x-1),则由消去y化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=.因为AM=2MB,所以x1+2x2=3,所以x2=,x1=2k2-31+2k2,所以x1x2=2k2-31+2k2·3+2k21+2k2=2k2-81+2k2,化简得k2=114,解得k=±1414.故选C.17【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，依题意可知的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，联立，消去，整理得，设，则，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选B18【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，所以，代入直线的方程，得，又因为的中点为，所以，解得或，或，抛物线C的方程为或故选B.19【答案】【解析】设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知，所以，所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，2)，故直线l的方程为yx2将其代入，化简整理得，所以，所以20【答案】5【解析】已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=bax，代入抛物线方程y=x2+1，整理得ax2-bx+a=0，渐近线与抛物线相切， b2-4a2=0，即c2=5a2e=5.故答案为5.21【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点，则过焦点F且倾斜角为的直线方程为，设，由得，弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为，弦AB的中点在该直线上，解得.22【答案】-12【解析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，中点P(x0,y0)，则k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2x1+x2，把点P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入椭圆的方程x22+y2=1，整理得x122+y12=1,x222+y22=1，两式相减得，整理得，即k1k2=-12.23【答案】(2,-1)【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP:y-1=k(x-1),与抛物线C:y2=x联立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得, ,即P(1-kk)2,1-kk),同理可得Q(k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1满足条件,即直线PQ恒过定点(2,-1).24【答案】【解析】设，直线的方程为，由抛物线的焦点弦公式，得，联立直线与抛物线的方程，消去y得，故，联立方程组，解得，则，故答案为25【解析】（1）由题意得，所以，又，所以，所以椭圆的方程为（2）设，将代入，整理得，所以 ，又，所以，又，代入上式，整理得，即，解得（舍去）或，即，经验证，能使成立，故26【解析】（1）设Px0,y0，由定义知PF=x0+p2，x0+p2-x0=1，p=2，故抛物线的方程为y2=4x.（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由（1）知M2，0.若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时AB=42，所以ABO的面积为42，不满足题意，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程为y=kx-2，代入抛物线方程得k2x2-4k2+1x+4k2=0，则=16k2+12-16k4>0，x1+x2=4+4k2，x1x2=4，所以AB=1+k242k2+1k2，点O到直线l的距离为d=2k1+k2，所以121+k242k2+1k22k1+k2=43，解得k=±1.故直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.27【解析】（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，所以，又，所以双曲线的方程为（2）设，则，由，所以，所以，又，所以，所以，所以28【解析】（1）根据题意，得，所以.故抛物线的标准方程为.（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.由，得.所以，得.同理，得，所以，分别令，得，所以.29【解析】（1）由已知点代入椭圆方程，得，由得，可转化为，由以上两式解得，所以椭圆C的方程为：.（2）存在这样的直线.当l的斜率不存在时，显然不满足,所以设所求直线方程为，代入椭圆方程化简得：，设，则，由已知条件可得,综合上述，可解得，符合题意,所以所求直线的方程为：.30【解析】（1）设准线与轴的交点为点，连结，因为是正三角形，且，所以在中，所以.（2）设，直线，由（1）知，联立方程：，消去得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.31【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，由 得，.所以，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.32【解析】（1）由题意知，解得因此，所求双曲线的方程是，即（2）直线过点且斜率为，直线的方程为由得直线与双曲线有两个不同的交点，解得（3）设直线与双曲线的交点为，由（2）可得，又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，为坐标原点），于是，即，即，即，解得又满足，且，所以，所求实数的值为33【解析】（1）由的焦点在圆上得，则.所以抛物线的标准方程为.