2022届高三数学一轮复习（原卷版）黄金卷02（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）.doc

黄金卷02（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由可得：，由可得：，故选A。2已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可得：，实部与虚部之和为，解得，故选B。3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、土兵共有( )。A、人B、人C、人D、人【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、土兵依次成等比数列，且首项为，公比也是，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：，故选D。4已知，则( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，故选B。5如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：，故选C。6古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设内切球的半径为，则圆柱的面半径为，高为，故圆柱的表面积，内切球的表面积，该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为，故选B。7下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，令，可得，可知当时，函数图像单调递增，当时，函数图像单调递减，且函数定义域为，函数图像大致为A，同理，令、可得，图像大致为D，对于图像B，由于图像过原点，必有，而、，图像为A，、，图像为 D，图像B不可能成为函数的图像，对于图像 C，根据图像特征，可选择、的，且满足单调性，不唯一，例如，可得，图像大致为C，故选B。8庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)。今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”；游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( )。A、甲 B、乙 C、丙 D、丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表：预测结果甲乙丙丁中奖人甲×××乙×丙××丁××(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意，(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故应选A。9已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，解得：或()，或()，设直线与在上从左到右的第四个交点为，第五个交点为，则(此时)，(此时)，由于方程在上有且只有四个实数根，则，即，解得，故选D。10已知抛物线：，其准线与轴交于点，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】、，设、，直线的方程为，联立得：，、，、，当且仅当时，的最小值为。11如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设球、半球的半径分别为、，则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，由题意得，得，根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，在中，则，解得，球的表面积，故选B。12已知、是函数()在上的两个零点，则、满足( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知、，故，即，设，则，由得，令()，则恒成立，故在上单调递减，故，故，即，故选B。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知与均为单位向量，且，则与的夹角是 。【答案】【解析】与是单位向量，设向量、的夹角为，即，又，。14在长方体中，棱，棱，则异面直线与所成角的余弦值为 。【答案】【解析】由题意面出图形，如图所示，连接、，则，即为与所成的角，在中，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为。15已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 。【答案】【解析】设直线：的参数方程为(为参数)，圆：的两条切线分别为、，切点分别为、，则点、在以为直径的圆上，设这个圆为圆，即是圆与圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，圆的方程是，则公共弦所在的直线方程为：，即，则，得，直线经过定点。16已知数列满足，则 ， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】 【解析】，且，即，的奇数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，的偶数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，；。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性。(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率。附：【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下：非体育迷体育迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得， 4分没有的把握认为“体育迷”与性别有关； 5分(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，从而一切可能结果所组成基本事件为：、，则由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 8分用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件，则由、这个基本事件组成， 11分因而。 12分18（12分）已知在锐角中，三个内角、所对的边分别为、，满足。(1)求的值；(2)若，求的取值范围。【解析】(1)在中，由得：，又由正弦定理得：， 2分即， 4分即，解得，； 5分(2)在锐角中，由正弦定理可得， 6分 ， 9分，而， 10分又正切函数在上单调递增， 11分从而，即的取值范围是。 12分19（12分）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。(1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)若，点在线段上，求的最小值。【解析】(1)证明：在中，为的中点， 1分又垂直于圆所在的平面，平面； 3分(2)点是圆上，当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，的面积的最大值为， 5分又三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为； 6分(3)在中，同理， 8分在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图，当、共线时，取得最小值， 10分又，垂直平分，即为中点，从而，即的最小值为。 12分20（12分）已知函数，。(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(2)对(1)中的和任意的、，证明：。【解析】(1)，的定义域为， 1分当时，令，解得，当时，在上递减，当时，在上递增，是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，最小值， 4分当时，恒成立，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为()； 6分(2)由(1)知，对任意的、，； 8分， 9分， 10分故由得。 12分21（12分）直角坐标系中，已知椭圆：的左，有焦点分别为、，为的中点，过作直线交椭圆于、两点，过作另直线交椭圆于、两点。(1)判断以为直径的圆是否经过，若经过，请求出此时的斜率，若不经过请说明理由；(2)若、三点共线，设直线与直线的斜率存在且分别为、，试问是否为常数，若是，求出常数的值；若不是，请说明理由。【解析】(1)由题意可知，右焦点， 1分当斜率不存在时，方程为，以为直径的圆不经过， 2分当斜率存在时，设点、，设直线方程为， 3分联立得：，恒成立，则， 4分假设以为直径的圆经过，则，即，整理得：，即，解得，综上，存在以为直径的圆经过，且此时的斜率为， 6分(2)设、，则的方程为， 7分联立得：，可得， 9分即，同理可得，、三点共线，整理得， 10分，综上，为常数，常数为。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，点为曲线上任意一点，求的取值范围。【解析】(1)直线的普通方程为， 2分由，得，由、 、得：，曲线的直角坐标方程为； 4分(2)由题意，得点，点，曲线的参数方程为(为参数)， 5分设，则， 6分， 7分， 8分，故的取值范围是。 10分23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数。(1)当时，解不等式；(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：，即， 2分，解得，不等式的解为； 4分(2)由得，设，则不等式的解集非空，等价于， 6分由得，由题意知存在，使得上式成立， 8分而函数在上的最大值为，即的取值范围是。 10分