2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点32 正弦定理、余弦定理的应用（原卷版）.docx

考点32 正弦定理、余弦定理的应用【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】 1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105°，BCA45°就可以计算出A，B两点的距离为_A20 mB30 mC40 mD50 m2 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_mA50B50C50D503 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile此船的航速是_n mile/hA16B32C64D1284 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时ABCD1考向一利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离 现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°(1) 求烟囱AB的高度；(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长变式2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(1) nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2 nmile的C处的缉私船奉命以10 nmile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？变式3、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上，此时到达C处(1) 求渔船甲的速度；(2) 求sin的值方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理考向二 正余弦定理在三角形中的运用例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在ABC中，D是BC上的一点已知B60°，AD2，AC，DC，则AB_. 变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在ABC中，AB3，AC2，BC4，点D在边BC上，BAD45°，则tanCAD的值为_变式2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）ABCD(第15题)如图，在中，已知点在边上，（1）求的值；（2）求的长变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，AD1，BD2，CAD，tanADC2.(1) 求CD的长；(2) 求BCD的面积变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB13，AC10，AD5，CD，·50.(1) 求cosBAC的值；(2) 求sinCAD的值；(3) 求BAD的面积 方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。1、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（ ）A50 mB100 mC120 mD150 m2、某小区有一个四边形草坪ABCD，BC120°，AB40 m，BCCD20 m，则该四边形ABCD的面积等于_m23、 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是_km4、 如图，一栋建筑物的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为_ m5、如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)6、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10海里处当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里(1) 求乙船每小时航行多少海里？(2) 在C处北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，暗礁E周围海里范围内为航行危险区域问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由7、【2020年江苏卷】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值