2022届高三数学一轮复习（原卷版）第四节 椭圆 教案.doc

1 第四节第四节 椭圆椭圆 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养 2结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养题，凸显数学运算、直观想象的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1椭圆的定义椭圆的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于的距离的和等于常数常数(大于大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 集合集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中，其中 a0，c0，且，且 a，c 为常数为常数 (1)若若 ac，则集合，则集合 P 为椭圆为椭圆 (2)若若 ac，则集合，则集合 P 为线段为线段 (3)若若 ab0)， 3 所以所以 c1，ca13，c2a2b2，解得解得 a29，b28. 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为x29y281. 4(求参数求参数)椭圆椭圆 x2my21 的焦点在的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则倍，则 m_. 解析解析：椭圆：椭圆 x2my21 可化为可化为 x2y21m1，因为其焦点在，因为其焦点在 y 轴上，所以轴上，所以 a21m，b21，依题，依题意知意知 1m2，解得，解得 m14. 答案答案：14 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视椭圆定义中忽视椭圆定义中 2a|F1F2|) 到两定点到两定点 F1(2,0)和和 F2(2，0)的距离之和为的距离之和为 4 的点的轨迹的点的轨迹是是( ) A椭圆椭圆 B线段线段 C圆圆 D以上都不对以上都不对 答案：答案：B 2(忽视对焦点位置的讨论忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为若椭圆的方程为x210ay2a21，且此椭圆的焦距为，且此椭圆的焦距为 4，则实数，则实数a_. 解析：解析：当焦点在当焦点在 x 轴上时，轴上时，10a(a2)22，解得，解得 a4；当焦点在当焦点在 y 轴上时，轴上时，a2(10a)22，解得，解得 a8. 答案答案：4 或或 8 3(忽视椭圆上点的坐标满足的条件忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点已知点 P 是椭圆是椭圆x25y241 上上 y 轴右侧的一点，且以点轴右侧的一点，且以点P 及焦点及焦点 F1，F2为顶点的三角形的面积等于为顶点的三角形的面积等于 1，则点，则点 P 的坐标为的坐标为_ 解析解析：设：设 P(x，y)，由题意知，由题意知 c2a2b2541，所以，所以 c1，则，则 F1(1,0)，F2(1,0)由题由题意意可得点可得点 P 到到 x 轴的距离为轴的距离为 1，所以，所以 y 1，把，把 y 1 代入代入x25y241，得，得 x152，又，又 x0，所以所以 x152，所以，所以 P 点坐标为点坐标为 152，1 或或 152，1 . 答案答案： 152，1 或或 152，1 考点一考点一 椭圆定义的应用椭圆定义的应用 4 考法考法(一一) 利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程 例例 1 (2021 济南调研济南调研)已知两圆已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆，动圆 M 在圆在圆C1内部且和圆内部且和圆 C1相内切，和圆相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为的轨迹方程为( ) A.x264y2481 B.y264x2481 C.x248y2641 Dx264y2481 解析解析 设圆设圆 M 的半径为的半径为 r，则，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以所以 M 的轨迹是以的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为，故所求的轨迹方程为x264y2481. 答案答案 D 考法考法(二二) 求解求解“焦点三角形焦点三角形”问题问题 例例 2 椭圆椭圆 C：x2a2y21(a1)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上异于端点的任意为椭圆上异于端点的任意一点，一点，PF1，PF2的中点分别为的中点分别为 M，N，O 为坐标原点，四边形为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为的周长为 2 3，则，则PF1F2的周长是的周长是( ) A2( 2 3) B42 3 C. 2 3 D 22 3 解析解析 如图，由于如图，由于 O，M，N 分别为分别为 F1F2，PF1，PF2的中点，的中点， 所以所以 OMPF2，ONPF1，且，且 |OM|12|PF2|，|ON|12|PF1|， 所以四边形所以四边形 OMPN 为平行四边形，为平行四边形， 所以所以 OMPN 的周长为的周长为 2(|OM|ON|)|PF1|PF2|2a2 3， 所以所以 a 3，又知，又知 a2b2c2，b21， 所以所以 c2a212，所以，所以|F1F2|2c2 2， 所以所以PF1F2的周长为的周长为 2a2c2 32 22( 2 3)，故选，故选 A. 答案答案 A 考法考法(三三) 利用定义求最值利用定义求最值 例例 3 设点设点 P 是椭圆是椭圆 C：x28y241 上的动点，上的动点，F 为椭圆为椭圆 C 的右焦点，定点的右焦点，定点 A(2,1)，则，则|PA|PF|的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 如图所示， 设如图所示， 设 F是椭圆的左焦点， 连接是椭圆的左焦点， 连接 AF， PF， 则， 则 F(2,0)， 5 |AF| 4212 17. |PF|PF|2a4 2， |PA|PF|PA|2a|PF|2a|AF|4 2 17， |PA|PF|PA|2a|PF| 2a(|PF|PA|)2a|AF|4 2 17. |PA|PF|的取值范围是的取值范围是4 2 17，4 2 17 答案答案 4 2 17，4 2 17 方法技巧方法技巧 椭圆定义应用的类型椭圆定义应用的类型及方法及方法 求方程求方程 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程接求解其轨迹方程 焦点三角焦点三角形问题形问题 利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|PF2|2a 两边平方是常用技两边平方是常用技巧巧 求最值求最值 抓住抓住|PF1|与与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1| |PF2|的最的最值；利用定义值；利用定义|PF1|PF2|2a 转化或变形，借助三角形性质求最值转化或变形，借助三角形性质求最值 针对训练针对训练 1(多选多选)(2021 日照模拟日照模拟)已知已知 P 是椭圆是椭圆x29y241 上一点，椭圆的左、右焦点分别为上一点，椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，且，且 cosF1PF213，则，则( ) APF1F2的周长为的周长为 12 BSPF1F22 2 C点点 P 到到 x 轴的距离为轴的距离为2 105 DPF1 PF2 2 解析：解析： 选选 BCD 由椭圆方程知由椭圆方程知 a3， b2， 所以， 所以 c 5， 所以， 所以|PF1|PF2|6， 于是， 于是PF1F2的的周长为周长为 2a2c62 5，故，故 A 选项错误；选项错误； 在在PF1F2中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1| |PF2|cosF1PF2， 所以所以 20362|PF1| |PF2|23|PF1|PF2|，解得，解得|PF1|PF2|6， 故故 SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF21262 232 2，故，故 B 选项正确；选项正确； 设点设点 P 到到 x 轴的距离为轴的距离为 d，则，则 SPF1F212|F1F2| d122 5d2 2，解得，解得 d2 105，故，故 C 选选项正确；项正确； 6 PF1 PF2 |PF1 | |PF2 |cosF1PF26132，故，故 D 选项正确选项正确 2(2021 惠州调研惠州调研)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的短轴长为的短轴长为 2，上顶点为，上顶点为 A，左顶点为，左顶点为 B，左、，左、右焦点分别是右焦点分别是 F1， F2， 且， 且F1AB 的面积为的面积为2 32， 点， 点 P 为椭圆上的任意一点， 则为椭圆上的任意一点， 则1|PF1|1|PF2|的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由已知得由已知得 2b2，故，故 b1， a2c2b21. F1AB 的面积为的面积为2 32，12(ac)b2 32， ac2 3. 由由联立解得，联立解得，a2，c 3. 由椭圆的定义知由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4， 1|PF1|1|PF2|PF1|PF2|PF1|PF2|4|PF1| 4|PF1| 4|PF1|24|PF1|， 又又 2 3|PF1|2 3， 1|PF1|24|PF1|4，11|PF1|1|PF2|4， 即即1|PF1|1|PF2|的取值范围是的取值范围是1,4 答案：答案：1,4 考点二考点二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 例例 1 过点过点( 3， 5)，且与椭圆，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为有相同焦点的椭圆的标准方程为( ) A.x220y241 Bx22 5y241 C.y220 x241 Dx24y22 51 解析解析 法一：定义法法一：定义法 椭圆椭圆y225x291 的焦点为的焦点为(0，4)，(0,4)，即，即 c4. 由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，2a 30 2 54 2 30 2 54 2， 解得解得 a2 5. 由由 c2a2b2，可得，可得 b24. 所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.故选故选 C. 法二：待定系数法法二：待定系数法 7 设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为y225kx29k1(k9)， 将点， 将点( 3， ， 5)的坐标代入， 可得的坐标代入， 可得 5 225k 3 29k1， 解得解得 k5， 所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.故选故选 C. 答案答案 C 例例 2 如图，已知椭圆如图，已知椭圆 C 的中心为原点的中心为原点 O，F(5,0)为为 C 的左焦点，的左焦点，P 为为 C 上一点， 满足上一点， 满足|OP|OF|且且|PF|6， 则椭圆， 则椭圆 C 的标准方程为的标准方程为( ) A.x236y2161 B.x240y2151 C.x249y2241 Dx245y2201 解析解析 由题意可得由题意可得 c5，设右焦点为，设右焦点为 F， 连接连接 PF(图略图略)，由，由|OP|OF|OF|知，知， PFFFPO，OFPOPF， PFFOFPFPOOPF， FPOOPF90 ，即，即 PFPF. 在在 RtPFF中，由勾股定理，中，由勾股定理， 得得|PF| |FF|2|PF|2 102628， 由椭圆的定义，得由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814， 从而从而 a7，a249， 于是于是 b2a2c2492524， 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为x249y2241，故选，故选 C. 答案答案 C 方法技巧方法技巧 求椭圆标准方程的求椭圆标准方程的 2 种常用方法种常用方法 定义法定义法 根据椭圆的定义，确定根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系待定系 数法数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位；若焦点位置不明确，则需要分焦点在置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB) 针对训练针对训练 1若直线若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为标准方程为( ) 8 A.x25y21 B.x24y21 C.x25y21 或或x24y251 D以上答案都不正确以上答案都不正确 解析：解析：选选 C 直线与坐标轴的交点为直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在，由题意知当焦点在 x 轴上时，轴上时，c2，b1，所以，所以 a25，所求椭圆的标准方程为，所求椭圆的标准方程为x25y21；当焦点在；当焦点在 y 轴上时，轴上时，b2，c1，所，所以以 a25，所求椭圆的标准方程为，所求椭圆的标准方程为y25x241. 2 一个椭圆的中心在原点， 焦点 一个椭圆的中心在原点， 焦点 F1， F2在在 x 轴上，轴上， P(2， 3)是椭圆上一点， 且是椭圆上一点， 且|PF1|， |F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x28y261 Bx216y261 C.x28y241 Dx216y241 解析：解析：选选 A 设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点由点 P(2， 3)在椭圆上知在椭圆上知4a23b21.又又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即，即 2a2 2c，ca12，又，又 c2a2b2，联立得，联立得 a28，b26.所以椭圆方程为所以椭圆方程为x28y261. 考点三考点三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 考法考法(一一) 求椭圆的离心率求椭圆的离心率 例例 1 (1)(2021 武汉模拟武汉模拟)已知椭圆方程为已知椭圆方程为x2ay2b1，且，且 a，b，ab 成等差数列，成等差数列，a，b，ab 成等比数列，则此椭圆的离心率为成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.22 D32 (2)过椭圆过椭圆 C：x2a2y2b21()ab0 的左焦点的左焦点 F 的直线过的直线过 C 的上端点的上端点 B，且与椭圆相交于点且与椭圆相交于点 A，若若 BF 3 FA ，则则 C 的离心率为的离心率为( ) A.13 B33 C.32 D22 解析解析 (1)因为因为 a，b，ab 成等差数列成等差数列，所以所以 2baab，即即 b2a，又因为又因为 a，b，ab成等比数列成等比数列，b0，a0，所以所以 b2a ab，即即 ba2，所以所以 a2，b4，椭圆方程为椭圆方程为x22y24 9 1，c 42 2，所以离心率所以离心率 e22.故选故选 C. (2)由题意可得由题意可得 B(0，b)，F(c,0)， 由由 BF 3 FA ，得得 A 43c，b3， 又点又点 A 在椭圆上，则在椭圆上，则 43c2a2 b32b21， 整理可得整理可得169c2a289， e2c2a212，e22.故选故选 D. 答案答案 (1)C (2)D 方法技巧方法技巧 求椭圆离心率的求椭圆离心率的 3 种方法种方法 (1)直接求出直接求出 a，c 来求解来求解 e.通过已知条件列方程组，解出通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值的值 (2)构造构造 a，c 的齐次式，解出的齐次式，解出 e.由已由已知条件得出关于知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关的二元齐次方程，然后转化为关于离心率于离心率 e 的一元二次方程求解的一元二次方程求解 (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 提醒提醒 在解关于离心率在解关于离心率 e 的二次方程时， 要注意利用椭圆的离心率的二次方程时， 要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍，进行根的取舍，否则将产生增根否则将产生增根. 考法考法(二二) 求椭圆的离心率的范围求椭圆的离心率的范围 例例 2 (1)(2021 湛江模拟湛江模拟)已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21 (ab0)，直线，直线 yx 与椭圆相交于与椭圆相交于 A，B两点，若椭圆上存在异于两点，若椭圆上存在异于 A，B 两点的点两点的点 P 使得使得 kPA kPB 13，0 ，则离心率，则离心率 e 的取值范的取值范围为围为( ) A. 0，63 B 63，1 C. 0，23 D 23，1 (2)已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 F，短轴的一个端点为短轴的一个端点为 P，直线直线 l：4x3y0与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 A，B 两点若两点若|AF |BF 6，点点 P 到直线到直线 l 的距离不小于的距离不小于65，则椭圆离心则椭圆离心率的取值范围是率的取值范围是( ) A. 0，59 B 0，32 10 C. 0，53 D 13，32 解析解析 (1)设设 P(x0， y0)， 直线， 直线 yx 过原点， 由椭圆的对称性设过原点， 由椭圆的对称性设 A(x1， y1)， B(x1， y1)， kPAkPBy0y1x0 x1y0y1x0 x1y20y21x20 x21. 又又x20a2y20b21，x21a2y21b21，两式做差，代入上式得，两式做差，代入上式得 kPAkPBb2a2 13，0 ，故，故 0b2a213， 所以所以 e 1b2a2 63，1 . (2)如图所示，设如图所示，设 F为椭圆的左焦点，为椭圆的左焦点， 连接连接 AF，BF，则四边形，则四边形 AFBF是平行四边形，是平行四边形， 6|AF|BF|AF|AF|2a，a3.取取 P(0，b)， 点点 P 到直线到直线 l：4x3y0 的距离不小于的距离不小于65， |3b|16965，解得，解得 b2. c 94 5，0b0)上一点，则上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac 等，建立不等关系，或者等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的题设条件有明显的几何关系几何关系 直接法直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有出不等关系，直接转化为含有 a，b，c 的的不等关系式不等关系式 题设条件直接有不题设条件直接有不等关系等关系 11 考法考法(三三) 与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆性质有关的最值或范围问题 例例 3 如图，焦点在如图，焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆x24y2b21 的离心率的离心率 e12，F，A 分分别是椭圆的一个焦点和顶点，别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则是椭圆上任意一点，则 PF PA 的最大的最大值为值为( ) A1 B2 3 C4 D4 3 解析解析 设设 P 点坐标为点坐标为(x0，y0) 由题意知由题意知 a2，eca12，c1，b2a2c23. 椭圆方程为椭圆方程为x24y231.2x02， 3y0 3. 又又 F(1,0)，A(2,0)， PF (1x0，y0)， PA (2x0，y0)， PF PA x20 x02y2014x20 x0114(x02)2. 当当 x02 时，时， PF PA 取得最大值取得最大值 4.故选故选 C. 答案答案 C 方法技巧方法技巧 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围 (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围 (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围 (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围 提醒提醒 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时， 要结合图形进行分析， 当涉及顶点、 焦点、求解与椭圆几何性质有关的参数问题时， 要结合图形进行分析， 当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 针对训练针对训练 1(多选多选)已知椭圆已知椭圆 C：16x225y2400，则下述正确的是，则下述正确的是( ) A椭圆椭圆 C 的长轴长为的长轴长为 10 B椭圆椭圆 C 的两个焦点分别为的两个焦点分别为(0，3)和和(0,3) C椭圆椭圆 C 的离心率等于的离心率等于35 D若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 P，Q，则，则|PQ|325 12 解析：解析：选选 ACD 16x225y2400，x225y2161， a5，b4，c3，eca35， 长轴长长轴长 2a10，故，故 A、C 正确，正确，B 错误错误 对于选项对于选项 D，|PQ|2b2a325，正确故选，正确故选 A、C、D. 2已知椭圆已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，直线，直线 l 过焦点且倾斜角为过焦点且倾斜角为4，以椭圆的长轴为直径的圆，以椭圆的长轴为直径的圆截截 l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( ) A.23 B33 C.53 D63 解析解析：选选 D 直线直线 l 的方程为的方程为 yx c，以椭圆的长轴为直径的圆截以椭圆的长轴为直径的圆截 l 所得的弦为所得的弦为 AB，AB2c， 设设 OCAB， 垂足为垂足为 C， 则则 OC| c|222c， 在在 RtOAC 中中， OA2AC2OC2a2 12AB212c2a232c2c63ae63，故选故选 D. 3已知已知 F1，F2分别是椭圆分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点上存在点 P 使使F1PF2为钝角，则椭圆为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) A. 22，1 B 12，1 C. 0，22 D 0，12 解析：解析：选选 A 设设 P(x0，y0)，由题易知，由题易知|x0|a，因为，因为F1PF2为钝角，所以为钝角，所以PF1 PF2 x20y20有解，即有解，即 c2(x20y20)min，又，又 y20b2b2a2x20，x20b2，又，又 b2a2c2，所以，所以 e2c2a212，解得，解得 e22，又，又 0e0，n0，mn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上的两点，是椭圆上的两点， 把点把点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，代入椭圆方程， 13 得得 x21my21n1，x22my22n1，将两式作差并整理得将两式作差并整理得 x1x2 x1x2 m y1y2 y1y2 n0， 记弦记弦 AB 的中点为的中点为 M(x0，y0)， 若若 x1x2，则，则 y1y2 y1y2 x1x2 x1x2 nm， 即即y1y2x1x2y0 x0nm， 从而从而 kABy0 x0nm，即，即 kAB kOMnm. 应用体验应用体验 1已知椭圆已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点的右焦点 F(3，0)，过点，过点 F 的直线交的直线交 E 于于 A，B 两点，若两点，若AB 的中点坐标为的中点坐标为(1，1)，则，则 E 的方程为的方程为( ) A.x245y2361 B.x236y2271 C.x227y2181 Dx218y291 解析：解析：选选 D 设设 AB 的中点为的中点为 M(1，1)， 则则 kAB kOMb2a2， 而而 kABkMF0 1 3112，kOM1， 故故12(1)b2a2，故，故 a22b2， 又又 a2b29， 由由解得解得 a218，b29， 故椭圆故椭圆 E 的方程为的方程为x218y291. 2如果如果 AB 是椭圆是椭圆x2a2y2b21 的任意一条与的任意一条与 x 轴不垂直的弦，轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，为椭圆的中心，e 为椭圆的为椭圆的离心率，离心率，M 为为 AB 的中点，则的中点，则 kAB kOM的值为的值为( ) Ae1 B1e Ce21 D1e2 解析：解析：选选 C 易知易知 kAB kOMb2a2c2a21e21. 14 二、创新考查方式二、创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1阿基米德阿基米德(公元前公元前 287 年年公元前公元前 212 年年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用他利用“逼近法逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭椭圆圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆轴上，且椭圆 C 的离心率为的离心率为74，面积为，面积为 12，则椭圆，则椭圆C 的方程为的方程为( ) A.x29y2161 Bx23y241 C.x218y2321 Dx24y2361 解析：解析：选选 A 由题意可得由题意可得 ab12，ca74，a2b2c2，解得解得 a4，b3， 因为椭圆的焦点坐标在因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，轴上， 所以椭圆方程为所以椭圆方程为x29y2161. 2 (2021 宜昌夷陵中学模拟宜昌夷陵中学模拟)“嫦娥四号嫦娥四号”探测器于探测器于 2019 年年 1 月在月球月在月球背面成功着陆如图所示，假设背面成功着陆如图所示，假设“嫦娥四号嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆为一个焦点的椭圆轨道轨道绕月飞行，之后卫星在绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道为一个焦点的椭圆轨道绕月飞绕月飞行，若用行，若用 e1和和 e2分别表示椭圆轨道分别表示椭圆轨道和和的离心率，则的离心率，则( ) Ae1e2 Be1a20，c1c20，且，且 a1c1a2c2. 令令 a1c1a2c2t，t0，则，则 a1tc1，a2tc2. 所以所以1e1a1c1c1tc11tc1， 1e2a2c2c2tc21tc2. 因为因为 c1c20，t0，所以，所以tc1tc2， 所以所以1e1e2.故选故选 A. 15 3.如图，点如图，点 A，B 分别是椭圆分别是椭圆x225y2b21(0bb0)的离心率为的离心率为12，则，则( ) Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b 解析：解析：选选 B 因为椭圆的离心率因为椭圆的离心率 eca12， 所以所以 a24c2.又又 a2b2c2，所以所以 3a24b2. 3已知焦点在已知焦点在 y 轴上的椭圆轴上的椭圆 x210y2m1 的长轴长为的长轴长为 8，则，则 m( ) A4 B8 C16 D18 解析：解析：选选 C 椭圆的焦点在椭圆的焦点在 y 轴上，则轴上，则 ma2.由长轴长由长轴长 2a8 得得 a4，所以，所以 m16.故选故选C. 4已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，离心率为33，过，过 F2的直线的直线l 交交 C 于于 A，B 两点，若两点，若AF1B 的周长为的周长为 4 3，则，则 C 的方程为的方程为( ) A.x23y221 Bx23y21 C.x212y281 Dx212y241 解析：解析：选选 A AF1B 的周长为的周长为 4 3， 由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知 4a4 3， a 3，eca33，c1， 17 b2a2c22，C 的方的方程为程为x23y221，故选，故选 A. 5 (2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)椭圆椭圆x2m21y2m21(m0)的焦点为的焦点为 F1， F2， 上顶点为， 上顶点为 A，若若F1AF23，则，则 m( ) A1 B 2 C. 3 D2 解析：解析：选选 C c m21m21，bm，由，由F1AF23，得，得F1AO6， tanF1AO1m33，解得，解得 m 3，故选，故选 C. 6已知已知 F1，F2是椭圆是椭圆 C 的两个焦点，的两个焦点，P 是是 C 上的一点若上的一点若 PF1PF2，且，且PF2F160 ，则则 C 的离心率为的离心率为( ) A132 B2 3 C.312 D 31 解析解析：选选 D 由题设知由题设知F1PF290 ，PF2F160 ，|F1F2|2c，所以所以|PF2|c，|PF1| 3c.由椭圆的定义得由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即即 3cc2a，所以所以( 31)c2a，故椭圆故椭圆 C 的离心率的离心率eca231 31.故选故选 D. 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1椭圆以椭圆以 x 轴和轴和 y 轴为对称轴，经过点轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的标准方程倍，则椭圆的标准方程为为( ) A.x24y21 By216x241 C.x24y21 或或y216x241 Dx24y21 或或y24x21 解析：解析：选选 C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，即倍，即 a2b.因为椭圆经过点因为椭圆经过点(2,0)，所，所以若焦点在以若焦点在 x 轴上，则轴上，则 a2，b1，椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为x24y21；若焦点在；若焦点在 y 轴上，则轴上，则 a4，b2，椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为y216x241，故选，故选 C. 2 设 设 F1， F2分别是椭圆分别是椭圆x225y2161 的左、 右焦点，的左、 右焦点， P 为椭圆上一点，为椭圆上一点， M 是是 F1P 的中点，的中点， |OM|3，则，则 P 点到椭圆左焦点的距离为点到椭圆左焦点的距离为( ) A4 B3 18 C2 D5 解析：解析：选选 A 连接连接 PF2，由题意知，由题意知，a5，在，在PF1F2中，中，|OM|12|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.故选故选 A. 3与椭圆与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为的椭圆的标准方程为( ) A.x22y241 Bx2y261 C.x26y21 Dx28y251 解析：解析： 选选 B 椭圆椭圆 9x24y236 可化为可化为x24y291， 可知焦点在， 可知焦点在 y 轴上， 焦点坐标为轴上， 焦点坐标为(0， 5)， 故可设所求椭圆方程为故可设所求椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，则，则 c 5. 又又 2b2，即，即 b1，所以，所以 a2b2c26， 则所求椭圆的标准方程为则所求椭圆的标准方程为 x2y261. 4直线直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的的距离为其短轴长的14，则该椭，则该椭圆的离心率为圆的离心率为( ) A.13 B12 C.23 D34 解析：解析：选选 B 不妨设直线不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点和一个焦点 F(c,0)，则直线，则直线 l 的方程的方程为为xcyb1，即，即 bxcybc0.由题意知由题意知|bc|b2c2142b，解得，解得ca12，即，即 e12.故选故选 B. 5(多选多选)设椭圆设椭圆x29y231 的右焦点为的右焦点为 F，直线，直线 ym(0m 3)与椭圆交于与椭圆交于 A，B 两点，则两点，则下述结论正确的是下述结论正确的是( ) A|AF|BF|为定值为定值 BABF 的周长的取值范围是的周长的取值范围是6,12 C当当 m 2时，时，ABF 为直角三角形为直角三角形 D当当 m1 时，时，ABF 的面积为的面积为 6 解析：解析：选选 AD 设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为 F，则，则|AF|BF|， |AF|BF|AF|AF|6 为定值，为定值，A 正确；正确； ABF 的周长为的周长为|AB|AF|BF|， |AF|BF|为定值为定值 6，|AB|的取值范围是的取值范围是(0,6)， ABF 的周长的取值范围是的周长的取值范围是(6,12)，B 错误；错误； 19 将将 y 2与椭圆方程联立，可解得与椭圆方程联立，可解得 A( 3， 2)，B( 3， 2)， 又又F( 6，0)，BA BF (2 3，0) ( 6 3， 2)66 2|C1C2|6，即，即 P 在以在以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点的椭圆上，得点 P 的轨的轨迹方程为迹方程为x225y2161. 答案答案：x225y2161 10设设 F1，F2是椭圆是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，的两个焦点，P 为椭圆为椭圆 C 上的一个点，且上的一个点，且 PF1PF2，若，若PF1F2的面积为的面积为 9，周长为，周长为 18，则椭圆，则椭圆 C 的方程为的方程为_ 解析：解析：PF1PF2，PF1F2为直角三角形，为直角三角形， 又知又知PF1F2的面积为的面积为 9，12|PF1| |PF2|9， 得得|PF1| |PF2|18. 在在 RtPF1F2中，由勾股定理得中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，由椭圆定义知，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2， 即， 即 4a2364c2， a2c29， 即， 即 b29， 又知， 又知 b0，b3， PF1F2的周长为的周长为 18，2a2c18，即，即 ac9， 又知又知 a2c29，ac1. 由由得得 a5，c4，所求的椭圆方程为所求的椭圆方程为x225y291. 答案：答案：x225y291 11已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，点，点 P 是椭圆在第一象限上的点，是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、分别为椭圆的左、 21 右焦点，右焦点，O 是坐标原点，过是坐标原点，过 F2作作F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为的外角的平分线的垂线，垂足为 A，若，若|OA|2b，则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为_ 解析：解析：如图，延长如图，延长 F2A 交交 F1P 于点于点 M，由题意可知，由题意可知|PM|PF2|， 由椭圆定义可知由椭圆定义可知 |PF1|PF2|2a， 故有故有|PF1|PM|MF1|2a.连接连接 OA，知，知 OA 是是F1F2M 的中位线，的中位线，|OA|12|MF1|a， 由由|OA|2b，得，得 2ba，则，则 a24b24(a2c2)， 即即 c234a2，eca32. 答案：答案：32 12设椭圆设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦的左、右焦点分别为点分别为 F1，F2，上、下顶点分别为，上、下顶点分别为 A，B，直线，直线AF2与该椭圆交于与该椭圆交于 A，M 两点若两点若F1AF290 ，则直线，则直线 BM 的斜率为的斜率为_ 解析解析：F1AF290 ， a 2b，即椭圆方程为，即椭