2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点15 对数函数（解析版）.docx

考点15 对数函数【命题解读】1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题【基础知识回顾】 1、对数函数ylogax(a>0，且a1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga10当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论2、反函数指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大1、函数f(x)log2(x22)的值域为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得x22>0，即x22(0，2得所求函数值域为.故选B.2、当a>1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象为()【答案】C来源:学。科。网【解析：yax，a>1，0<<1，则yax在(，)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数ylogax在(0，)上是增函数，过定点(1，0).故选C.3、不等式log(2x3)<log(5x6)的解集为()A.(，3) B. C. D.【答案】 D【解析：由题意可得解得<x<3.4、(2018苏州期末）已知4a2，logax2a，则正实数x的值为_【答案】【解析】由4a2，得22a21，所以2a1，即a.由logx1，得x.5、(2018盐城三模）函数的定义域为 【答案】【解析】由题意，即，即，解得.6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的x35689lg x2abac11abc3(1ac)2(2ab)试将错误的对数值加以改正为_【答案】lg 5ac【解析：由2ablg 3，得lg 92lg 32(2ab)，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5ac1错误，由得所以lg 51lg 2ac因此lg 5ac1错误，正确结论是lg 5ac考向一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数y的定义域是（ ）A. B. C. D. （2）设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_（3）若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_【答案】（1） A （2）(1，0)(1，) （3） 1，2)【解析】（1） 由2log2x0，得log2x2log222，解得0x4所求定义域是(0，4（2）由题意可得或解得a1或1a0a的取值范围是(1，0)(1，)（3）令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴xa，要使函数在上(，1递减，则有，即，解得1a2，即a1，2)变式1、（1）函数的定义域为（ ）ABCD（2）已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcba Dcab（3）设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)【答案】（1）B（2）D（3）C【解析】（1）由已知得，解得.故选B（2）因为cloglog23>log2ea，所以ca.因为bln 21log2ea，所以ab.所以cab.（3）由题意得或解得a1或1a0.故选C.变式2、（1）已知是偶函数，则（）ABCD（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，则（ ）ABCD【答案】（1） C （2）C【解析】（1）是偶函数， ，函数为增函数， 故选：C（2）：，且，所以，故.故选：C方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等(1)对数值大小比较的主要方法：化为同底数后利用函数的单调性；化为同真数后利用图像比较；借用中间量(0或1等)进行估值比较(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 对数函数的图像及其应用例1、（1）已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，给出以下结论正确的是（ ）Aa1，c1 Ba1，0c1；C0a1，c1 D0a1，0c1（2）当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. （3）若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_【答案】（1） C （2）B （3）1a2【解析】（1） 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a1又当x0时，y0，即logac0，所以0c1（2） 由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点把点代入函数ylogax，得a若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是（3）由题意f(x)的图象如下图，则1a2变式1、函数yln(2|x|)的大致图象为()【答案】A【解析】令f(x)ln(2|x|)，易知函数f(x)的定义域为x|2x2，且f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y2|x|的单调性知A正确变式2、关于函数下列描述正确的有A函数在区间上单调递增B函数的图象关于直线对称C若，但，则D函数有且仅有两个零点【答案】【解析】函数的图象如下图所示：由图可得：函数在区间上单调递增，正确；函数的图象关于直线对称，正确；若，但，则，错误；函数有且仅有两个零点，正确故选：变式3、（2020·浙江月考）已知函数y=sinax+b(a>0)的图像如图所示，则函数y=loga(x+b)的图像可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论详解：由函数的图象可得，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解考向三 对数函数的综合及应用例3、关于函数f (x)ln ，下列说法中正确的有( )Af (x)的定义域为(，1)(1，)Bf (x)为奇函数Cf (x)在定义域上是增函数D对任意x1，x2(1,1)，都有f (x1)f (x2)f 【答案】 BD【解析】 函数f (x)ln ln，其定义域满足(1x)(1x)0，解得1x1，定义域为x|1x1A不对由f (x)ln ln1ln f (x)，是奇函数，B对函数y1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，f (x)在定义域内是减函数，C不对f (x1)f (x2)ln ln lnf .D对变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)2x的图象关于直线yx对称，令h(x)f (1|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )Ah(x)的图象关于原点对称 Bh(x)的图象关于y轴对称Ch(x)的最大值为0 Dh(x)在区间(1,1)上单调递增【答案】 BC【解析】 函数f (x)的图象与g(x)2x的图象关于直线yx对称，f (x)log2x，h(x)log2(1|x|)，为偶函数，不是奇函数，A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；1|x|1，h(x)log210，故C正确变式2、已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x(1)当x1,4时，求函数h(x)f(x)1·g(x)的值域；(2)如果对任意的x1,4，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围【解析】 (1)h(x)(42log2x)·log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2，故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(34log2x)(3log2x)>k·log2x，令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)>k·t对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；当t(0,2时，k<恒成立，即k<4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3，综上，k(，3)变式3、已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解析】(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，即a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，即函数f(x)的定义域为(1，3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1，1)，单调递减区间是(1，3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a，使f(x)的最小值为0.方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解1、(2018全国卷)设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得又，所以，所以故选B2、(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）ABCD【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B3、（2017新课标）已知函数，则A在单调递增 B在单调递减C的图像关于直线对称 D的图像关于点对称【答案】C【解析】由，知，在上单调递增，在上单调递减，排除A、B；又，所以的图象关于对称，C正确4、（2017新课标）函数的单调递增区间是A B C D【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为选D5、（2020全国理9）设函数，则（ ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确故选D6、(2018全国卷)已知函数，若，则=_【答案】【解析】由得，所以，即7、(2018全国卷)已知函数，则_【答案】【解析】由，得，所以8、已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集【解析】(1)要使函数f(x)有意义则解得1<x<1故所求函数f(x)的定义域为x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域x|1<x<1内是增函数，(4) 所以f(x)>0>1，解得0<x<1所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<1