专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版.docx

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质新课程考试要求1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2. 掌握公理、判定定理和性质定理.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明.（2）利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.（3）本节是高考的必考内容预测2020年高考将以直线、平面垂直的判定及其性质为重点，涉及线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用，题型为解答题中的一问，或与平行相结合进行命题的判断.以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力【知识清单】知识点1直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.ab知识点2平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.AB知识点3线面、面面垂直的综合应用1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行2斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面【考点分类剖析】考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2021·全国高考真题（文）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【典例2】（2021·河北易县中学高一月考）在三棱锥中，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.（1）求证：PO平面ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.【规律方法】 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【变式探究】1（2020·云南省下关第一中学高二月考（文）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面.（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点(1)求证：平面；(2)若是的中点，求三棱锥的体积考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，APC=90°（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积.【典例4】（2020·全国高考真题（文）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：AA1/MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO/平面EB1C1F，且MPN=，求四棱锥BEB1C1F的体积【规律方法】1.判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)2证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理【变式探究】1.在四边形中，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面2.（2020·贵溪市实验中学月考（文）如图所示，在四棱锥中，平面，是线段的中垂线，与交于点，（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离【总结提升】在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文）设m，n是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，m，则m；若mn，m，则n；若，l，m，ml，则m其中正确的是（ ）ABCD【典例6】（2021·浙江）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且（）现给出两个条件：；为中点从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；（）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积【规律方法】1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直4.垂直关系的转化：【变式探究】1. （2020·安徽省太和第一中学开学考试）四面体中，其余棱长均为4，分别为，上的点（不含端点），则（ ）A不存在，使得B存在，使得C存在，使得平面D存在，使得平面平面2.（2021·唐山市第十一中学高一月考）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为的中点，点F为的中点（1）求证：；（2）求证：平面平面考点四： 平行、垂直的综合应用【典例7】（2020·全国高考真题（理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【典例8】（2021·江苏省镇江中学高一月考）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，底面，点、分别是棱、的中点.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点2证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决【变式探究】1.（2019·云南高三月考（文）如图，在ABC中，B90°，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA1，E是A1C的中点（1）若P为AB的中点，证明：DE平面PBA1（2）若平面PDA1平面PDA，且DE平面CBA1，求四棱锥A1PBCD的体积2.如图(1)所示，在RtABC中，ABC90°，D为AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF.(2)求证：BDA1F.(3)若平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由考点五： 距离问题【典例9】（2020·赣州市第一中学高二月考（文）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，为等边三角形.（1）证明：平面平面；（2）若的面积为，求点到平面的距离.【总结提升】空间距离的求法：直接法、等体积法、空间向量法【变式探究】（2019·河南南阳中学高三开学考试（文）如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且 (1)若为的中点，证明:平面(2)求点到平面的距离.