2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 等差数列及其前n项和 教案.doc

1 第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养 2与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养 3与二次函数相结合，掌握等差数列的前与二次函数相结合，掌握等差数列的前 n 项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养 4与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1等差数列的概念等差数列的概念 (1)如果一个数列从第如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数，那么这个数列就列就叫做等差数列叫做等差数列 数学语言表达式：数学语言表达式：an1and(nN N*，d 为常数为常数) (2)若若 a，A，b 成等差数列，则成等差数列，则 A 叫做叫做 a，b 的等差中项，且的等差中项，且 Aab2. 2等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前 n 项和公式项和公式 (1)若等差数列若等差数列an的首项是的首项是 a1，公差是，公差是 d，则其通项公式为，则其通项公式为 ana1(n1)d.通项公式的推通项公式的推广：广：anam(nm)d(n，mN N*) (2)前前 n 项和公式：项和公式：Snna1n n1 d2n a1an 2d2n2 a1d2n. 3等差数列的性质等差数列的性质 (1)若若an为等差数列，且为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN N*)，则，则 akalaman. (2)若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为 d，则，则 ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为是公差为 md 的等差数的等差数列列 (3)若若an，bn是等差数列，则是等差数列，则panqbn也是等差数列也是等差数列 (4)若若 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，则数列项和，则数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN N*)也是等差也是等差数列，公差为数列，公差为 m2d. (5)若若 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，则数列项和，则数列 Snn也为等差数列也为等差数列 4等差数列的相关结论等差数列的相关结论 (1)已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是 anpnq(其中其中 p，q 为常数为常数)，则数列，则数列an一定是等差数列，一定是等差数列，且公差为且公差为p. (2)在等差数列在等差数列an中，中，a10，d0，则，则 Sn存在最存在最大大值；若值；若 a10，则，则 Sn存在最存在最小小值值 2 (3)等差数列等差数列an的单调性：当的单调性：当 d0 时，时，an是递是递增增数列；当数列；当 d0 时，时，an是递是递减减数列；当数列；当 d0 时，时，an是是常数常数列列 (4)数列数列an是等差数列是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数为常数，A0) 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(求数列的项求数列的项)在等差数列在等差数列an中，若中，若 a24，a42，则，则 a6( ) A1 B0 C1 D6 解析：解析：选选 B an为等差数列，为等差数列， 2a4a2a6，a62a4a22240. 2(求公差求公差)已知等差数列已知等差数列an中，中，a21，前，前 5 项和项和 S515，则数列，则数列an的公差为的公差为( ) A3 B52 C2 D4 解析：解析：选选 D 设等差数列设等差数列an的首项为的首项为 a1，公差为，公差为 d， 因为因为 a21，S515，所以所以 a1d1，5a1542d15，解得解得 d4. 3(求项数求项数)已知等差数列已知等差数列an的公差的公差 d0，且，且 a3a9a10a8，若，若 an0，则，则 n_. 解析：解析：因为因为 a3a9a10a8， 所以所以 a12da18da19d(a17d)，解得，解得 a14d， 所以所以 an4d(n1)d(n5)d， 令令(n5)d0(d0)，可解得，可解得 n5. 答案：答案：5 4(等差数列的性质等差数列的性质)在等差数列在等差数列an中，若中，若 a3a4a5a6a7450，则，则 a2a8_. 解析：解析：由等差数列的性质，得由等差数列的性质，得 a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案：答案：180 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视数列中项为忽视数列中项为 0 的情况的情况)已知等差数列已知等差数列an中，中，|a3|a9|，公差，公差 d0，故使前，故使前 n 项和项和 Sn取最大值的正整数取最大值的正整数 n 是是 5 3 或或 6. 答案：答案：5 或或 6 2(忽视相邻项的符号忽视相邻项的符号)首项为首项为 28 的等差数列的等差数列an，从第，从第 8 项开始为负数，项开始为负数，则公差则公差 d 的取值的取值范围是范围是_ 解析：解析：由题意知数列由题意知数列an满足满足 a80，a70即即 287d0，286d0，解得解得143d0，若，若 Sn取得最大值，则取得最大值，则n 的值为的值为( ) A20 B21 C22 D23 解析解析 (1)由等差数列的性质知由等差数列的性质知 a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，则，则 2a1 2 a2 2 a102a1a2a1025(a5a6)254，所以，所以 log2(2a1 2 a2 2 a10)log225420. (2)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d，由，由 3a85a13可得可得 3(a17d)5(a112d)，即，即 a1392d，a10， d0， a21a120d12d0 时，时，n 的最大值为的最大值为 20 (2)在等差数列在等差数列an中， 已知中， 已知a113,3a211a6， 则数列， 则数列an的前的前n项和项和Sn的最大值为的最大值为_ 解析解析 (1)因为因为 S690，所以，所以 6a1652d90， 即即 2a15d30， 又因为又因为 a7是是 a3与与 a9的等比中项，所以的等比中项，所以 a27a3 a9， 所以所以(a16d)2(a12d)(a18d)，整理得整理得 a110d， 由由解得解得 a120，d2，故，故 A 错误，错误，B 正确；正确； 所以所以 Sn20nn n1 2(2)n221n n21224414， 又又 nN*，所以当，所以当 n10 或或 n11 时，时，Sn取得最大值，故取得最大值，故 C 正确；正确； 令令 Snn221n0，解得，解得 0n0，d0 时，满足时，满足 am0，am10的项数的项数 m 使得使得 Sn取得最大值为取得最大值为 Sm(当当 am10 时，时，Sm1也为最大值也为最大值)； 当当 a10 时，满足时，满足 am0，am10的项数的项数 m 使得使得 Sn取得最小值为取得最小值为 Sm(当当 am10 时，时，Sm1也为最小值也为最小值) 针对训练针对训练 1(多选多选)设设an是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前 n 项和，且项和，且 S5S8，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ) AdS5 DS6与与 S7均为均为 Sn的最大值的最大值 解析：解析：选选 ABD 由由an是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前 n 项和，且项和，且 S5S8，则，则 a6S6S50，a7S7S60，a8S8S70，a7a8S8S60，则数列，则数列an为递减数列，即选项为递减数列，即选项 A、B 正确；正确； 由由 S9S5a9a8a7a62(a8a7)0，得，得 S9a2a6a70a8a9，可得，可得 S6与与 S7均为均为 Sn的最大值，即选项的最大值，即选项 D 正确，故选正确，故选 A、B、D. 2设等差数列设等差数列an满足满足 a11，an0(nN N*)，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，若数列，若数列 Sn也为等差数列，也为等差数列，则则Sn10a2n的最大值是的最大值是_ 解析：解析：设数列设数列an的公差为的公差为 d，依题意得，依题意得 2 S2 S1 S3， 10 2 2a1d a1 3a13d， 把把 a11 代入求得代入求得 d2， an1(n1)22n1，Snnn n1 22n2， Sn10a2n n10 2 2n1 2 n102n12 12 2n1 2122n12 14 1212n12121. Sn10a2n的最大值是的最大值是 121. 答案：答案：121 创新考查方式创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传”其意思为：其意思为：“996 斤棉花，分别赠送给斤棉花，分别赠送给 8 个子女作旅费个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，使孝斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤”则第则第 3 个子女分得棉花个子女分得棉花( ) A65 斤斤 B82 斤斤 C99 斤斤 D106 斤斤 解析：解析：选选 C 设第一个孩子分配到设第一个孩子分配到 a1斤棉花，斤棉花， 则由题意得则由题意得 S88a187217996， 解得解得 a165. 则则 a36521799(斤斤) 2(多选多选)朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作 算学启蒙中涉及一些科学普及著作 算学启蒙中涉及一些“堆垛堆垛”问题，主要利用问题，主要利用“堆垛堆垛”研究数列以及研究数列以及数数列的求和问题现有列的求和问题现有 100 根相同的圆形铅笔，小明模仿根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛堆垛”问题，将它们全部堆放成问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的纵断面为等腰梯形的“垛垛”，要求层数不小于，要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1 根，则该根，则该“等腰梯形垛等腰梯形垛”应堆放的层数可以是应堆放的层数可以是( ) A4 B5 C7 D8 解析：解析：选选 BD 依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为 a1，公差，公差为为 d1，设一共放，设一共放 n(n2)层，则总根数为：层，则总根数为：Snna1n n1 d2na1n n1 2100，整，整 11 理得理得 2a1200n1n.因为因为 a1N*，所以，所以 n 为为 200 的因数，的因数，200n(1n)2 且为偶数，验证且为偶数，验证可知可知 n5,8 满足题意满足题意 3.(2020 全国卷全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石称为天心石)，环绕天心石砌，环绕天心石砌 9 块扇面块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块下一层的第一环比上一块下一层的第一环比上一层的最后一环多层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加块，向外每环依次也增加 9 块已知每层环数相同，且下层比中层多块已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板块，则三层共有扇面形石板(不含天心石不含天心石)( ) A3 699 块块 B3 474 块块 C3 402 块块 D3 339 块块 解析：解析：选选 C 由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为记为an，易知其首项，易知其首项 a19，公差，公差 d9，所以，所以 ana1(n1)d9n. 设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， 由等差数列的性质知由等差数列的性质知 Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列，也成等差数列， 所以所以 2(S2nSn)SnS3nS2n， 所以所以(S3nS2n)(S2nSn)S2n2Sn2n 918n 22n 99n 29n2729，得，得 n9， 所以三层共有扇面形石板的块数为所以三层共有扇面形石板的块数为 S3n3n 927n 239 9279 23 402，故选，故选 C. 4 已知函数 已知函数 f(x)log2(x1)2， 数列， 数列an是首项为是首项为 2， 公差为， 公差为 3 的等差数列， 则的等差数列， 则f an f an1 2与与 f anan12的大小关系是的大小关系是( ) A.f an f an1 2f anan12 B.f an f an1 2f anan12 C.f an f an1 2f anan12 D不确定不确定 解析：解析：选选 B 由图象并结合数列单调递增可知由图象并结合数列单调递增可知f an f an1 2f anan12，故，故选选 B. 5(2021 长沙雅礼中学模拟长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意意思是：思是：“现有一根金箠，长现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重尺，重 4 斤，在细斤，在细的一端截下的一端截下 1 尺，重尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，设该金箠由粗到细是均匀变化的， 12 其重量为其重量为 M，现将该金箠截成长度相等的，现将该金箠截成长度相等的 10 段，记第段，记第 i 段的重量为段的重量为 ai(i1,2，10)，且，且a1a2a10，若，若 48ai5M，则，则 i( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析：选选 C 由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为an，设公差为，设公差为 d， 则有则有 a1a22，a9a104 2a1d2，2a117d4 a11516，d18. 所以该金所以该金箠箠的总重量的总重量 M10151610921815. 因为因为 48ai5M，所以有，所以有 48 1516 i1 1875，解得，解得 i6，故选，故选 C. 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1已知数列已知数列an中中 a11，an1an1，则，则 a4等于等于( ) A2 B0 C1 D2 解析：解析：选选 D 因为因为 a11，an1an1，所以数列，所以数列an为等差数列，公差为等差数列，公差 d 为为1，所以，所以 a4a13d132，故选，故选 D. 2已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 a12，a8a1028，则，则 S9( ) A36 B72 C144 D288 解析：解析：选选 B 法一：法一：a8a102a116d28，a12， d32，S9929823272. 法二：法二：a8a102a928，a914， S99 a1a9 272. 3 公差不为零的等差数列 公差不为零的等差数列an中，中， a72a5， 则数列， 则数列an中第中第_项的值与项的值与 4a5的值相等的值相等 解析：解析：设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d，因为，因为 a72a5，所以，所以 a16d2(a14d)，则，则 a1 2d，所以，所以 ana1(n1)d(n3)d，而，而 4a54(a14d)4(2d4d)8da11，故数列，故数列an中第中第 11 项的值与项的值与 4a5的值相等的值相等 答案：答案：11 4(2019 江苏高考江苏高考)已知数列已知数列an(nN N*)是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前 n 项和若项和若 a2a5a80，S927，则，则 S8的值是的值是_ 13 解析：解析：设等差数列设等差数列an的首项为的首项为 a1，公差为，公差为 d. 法一法一：由：由 a2a5a80，S927， 得得 a1d a14d a17d0，9a1982d27，解得解得 a15，d2， S88a1872d8(5)28216. 法二法二：S927，S99 a1a9 29a527， a53，又，又 a2a5a80，则，则 3(33d)33d0. 解得解得 d2，S88 a1a8 24(a4a5)4(13)16. 答案：答案：16 5若等差数列若等差数列an的前的前 17 项和项和 S1751，则，则 a5a7a9a11a13_. 解析：解析：因为因为 S17a1a1721717a951，所以，所以 a93. 根据等差数列的性质知根据等差数列的性质知 a5a13a7a11， 所以所以 a5a7a9a11a13a93. 答案：答案：3 6设设 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，满足项和，满足 S2S6，S55S442，则，则 a1_，公差，公差 d_. 解析：解析：由由an为等差数列，得数列为等差数列，得数列 Snn是首项为是首项为 a1，公差为，公差为d2的等差数列，的等差数列，S55S442，d22d4，又，又 S2S62a146a16524a114. 答案：答案：14 4 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 Sm12，Sm0，Sm13，则，则 m 等于等于( ) A3 B4 C5 D6 解析：解析：选选 C 数列数列an为等差数列，且前为等差数列，且前 n 项和为项和为 Sn， 数列数列 Snn也为等差数列也为等差数列 Sm1m1Sm1m12Smm，即，即2m13m10， 解得解得 m5，经检验为原方程的解，故选，经检验为原方程的解，故选 C. 14 2已知数列已知数列an满足满足 a115，且，且 3an13an2.若若 ak ak10，则正整数，则正整数 k( ) A21 B22 C23 D24 解析：解析：选选 C 由由 3an13an2an1an23an是等差数列，则是等差数列，则 an47323n. ak ak10， 47323k 45323k 0，452k472， 又又kN*，k23. 3(2021 济南八校联考济南八校联考)设数列设数列an是等差数列，且是等差数列，且 a26，a66，Sn是数列是数列an的前的前 n项和，则项和，则( ) AS4S1 DS4S1 解析：解析：选选 B 设设an的公差为的公差为 d，由，由 a26，a66，得，得 a1d6，a15d6，解得解得 a19，d3.于于是，是，S19，S33(9)322318，S44(9)432318，所以，所以 S4S3，S4S1，故选，故选 B. 4(多选多选)设设an是无穷数列，是无穷数列，Ananan1(n1,2，)，则下面给出的四个判断中，正确，则下面给出的四个判断中，正确的有的有( ) A若若an是等差数列，则是等差数列，则An是等差数列是等差数列 B若若An是等差数列，则是等差数列，则an是等差数列是等差数列 C若若an是等比数列，则是等比数列，则An是等比数列是等比数列 D若若An是等差数列，则是等差数列，则a2n是等差数列是等差数列 解析：解析： 选选 AD 若若an是等差数列， 设公差为是等差数列， 设公差为 d， 则， 则 Ananan1a1(n1)da1nd2a12ndd，则，则 AnAn1(2a12ndd)2a12(n1)dd2d，所以，所以An是等差数列，是等差数列，故故 A 正确；若正确；若An是等差数列，设公差为是等差数列，设公差为 d，AnAn1anan1(an1an)an1an1d，即数列，即数列an的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故 B 不正确，不正确，D 正确；若正确；若an是等比数列，设公比为是等比数列，设公比为 q，当，当 q1 时，则时，则AnAn1anan1an1anan1qanqan1anq，当，当 q1 时，时，则则 Ananan10，故，故An不是等比数列，故不是等比数列，故 C 不正确故选不正确故选 A、D. 5在等差数列在等差数列an中，若中，若a9a80 时，时，n 的最小的最小值值为为( ) A14 B15 C16 D17 15 解析：解析：选选 C 数列数列an是等差数列，它的前是等差数列，它的前 n 项和项和 Sn有最小值，有最小值， 公差公差 d0，首项，首项 a10，an为递增数列为递增数列 a9a81，a8 a90， 由等差数列的性质知，由等差数列的性质知， 2a8a1a150. Snn a1an 2， 当当 Sn0 时，时，n 的最小值为的最小值为 16. 6 九章算术一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题齐去长安 九章算术一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题齐去长安三千里，今有良马三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行良马初日行一百五十五发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里问几日相遇里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里问几日相遇( ) A十日十日 B十一日十一日 C十二日十二日 D六十日六十日 解析：解析：选选 A 设良马每天行走的里数构成数列设良马每天行走的里数构成数列an，驽马每天行走的里数构成数列，驽马每天行走的里数构成数列bn，则，则an，bn均为等差数列，公差分别为均为等差数列，公差分别为 d1，d2.且且 a1155，d112，b1100，d22，设，设 n日相遇，则由题意知日相遇，则由题意知 155nn n1 212100nn n1 2(2)3 000，解得，解得 n10. 7已知已知an，bn均为等差数列，且均为等差数列，且 a24，a46，b33，b79，由，由an，bn的公共项组的公共项组成新数列成新数列cn，则，则 c10( ) A18 B24 C30 D36 解析：解析：选选 C 因为数列因为数列an为等差数列，且为等差数列，且 a24，a46， 所以其公差所以其公差 d164421，通项公式为，通项公式为 ann2. 因为数列因为数列bn为等差数列，且为等差数列，且 b33，b79， 所以其公差所以其公差 d2937332，通项公式为，通项公式为 bn3n232. 则则 a1b33 为数列为数列cn的第一项，的第一项，a4b56 为数列为数列cn的第二项，的第二项，a7b79 为数列为数列cn的的第三项，第三项，知，知cn为等差数列，为等差数列，cn的公差的公差 d3，且，且 cn3(n1) 33n， 则则 c1031030，故选，故选 C. 8已知数列已知数列an满足满足 5an125 5an，且，且 a2a4a69，则，则 log13(a5a7a9)( ) A3 B3 C13 D.13 16 解析：解析：选选 A 数列数列an满足满足 5 an125 5 an，an1an2，即，即 an1an2， 数列数列an是等差数列，公差为是等差数列，公差为 2. a2a4a69，3a49，a43. a1323，解得，解得 a13. a5a7a93a73(362)27， 则则 log13(a5a7a9)log13333.故选故选 A. 9(多选多选)(2021 青岛模青岛模拟拟)设设 d，Sn分别为等差数列分别为等差数列an的公差与前的公差与前 n 项和，若项和，若 S10S20，则，则下列论断中正确的有下列论断中正确的有( ) A当当 n15 时，时，Sn取最大值取最大值 B当当 n30 时，时，Sn0 C当当 d0 时，时，a10a220 D当当 d|a22| 解析：解析：选选 BC 因为因为 S10S20，所以，所以 10a11092d20a120192d，解得，解得 a1292d.因为无因为无法确定法确定 a1和和 d 的正负性，所以无法确定的正负性，所以无法确定 Sn是否有最大值，故是否有最大值，故 A 错误错误S3030a130292d30 292d 1529d0， 故， 故 B 正确正确 a10a222a162(a115d)2 292d15d d0，故故 C 正确正确a10a19d292d182d112d，a22a121d292d422d132d，因为，因为 d0，所以所以|a10|112d，|a22|132d，|a10|a22|，故，故 D 错误错误 10已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为2，前，前 n 项和为项和为 Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为该三角形有一个内角为 120 ，若，若 SnSm对任意的对任意的 nN N*恒成立，则实数恒成立，则实数 m( ) A7 B6 C5 D4 解析：解析：选选 B 等差数列等差数列an的公差为的公差为2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为一个内角为 120 ， a23a24a252a4 a5cos 120 ， 即即(a42)2a24(a42)22a4(a42)12， 化为化为 a245a40，又又 a40，解得解得 a45， a37，a53，a61，a71. SnSm对任意的对任意的 nN*恒成立，恒成立，实数实数 m6.故选故选 B. 11等差数列等差数列an，bn满足：对任意满足：对任意 nN N*，都有，都有anbn2n34n9，则，则a7b3b9a5b4b8_. 解析：解析：由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得 b3b9b4b82b6， a7a52a6. 17 a7b3b9a5b4b8a7a52b62a62b6a6b62634691. 答案：答案：1 12已知数列已知数列an满足递推关系式满足递推关系式 an12an2n1(nN N*)，且，且 an2n为等差数列，则为等差数列，则 的的值是值是_ 解析：解析：因为因为 an2n为等差数列，为等差数列，an12an2n1， 所以所以an12n1an2n2an2n12n1an2nan2n1212n12nan2n1212n12n是与是与 n 无无关的常数，关的常数， 则则12n12n0，即，即122n10，则，则 120， 解得解得 1. 答案：答案：1 13等差数列等差数列an中，中，Sn是它的前是它的前 n 项和，且项和，且 S6S8，给出下列结论：，给出下列结论： 数列数列an的公差的公差 d0；S9S6；S140；S7一定是一定是 Sn中的最大值中的最大值 其中正确的是其中正确的是_(填序号填序号) 解析：解析：S6S8， S6S6a7a8. a70，a7a80，a80. 数列数列an的公差的公差 d0，正确；，正确； 由由得得 a7a8a90，S6a7a8a9S6，S9S6，正确；，正确； S1414 a1a14 27(a7a8)0，正确；，正确； 显然正确显然正确 故正确的是故正确的是. 答案：答案： 14已知数列已知数列an中，中，a12，an21an1(n2，nN N*)，设，设 bn1an1(nN N*)求证：数求证：数列列bn是等差数列是等差数列 证明：证明：an21an1(n2)，an121an. bn1bn1an111an1121an11an1an1an11， 18 bn是首项为是首项为 b11211，公差为，公差为 1 的等差数列的等差数列 15已知等差数列的前三项依次为已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前，前 n 项和为项和为 Sn，且，且 Sk110. (1)求求 a 及及 k 的值；的值； (2)设数列设数列bn的通项公式的通项公式 bnSnn，证明：数列，证明：数列bn是等差数列，并求其前是等差数列，并求其前 n 项和项和 Tn. 解：解：(1)设该等差数列为设该等差数列为an，则，则 a1a，a24，a33a， 由已知有由已知有 a3a8，得，得 a1a2，公差，公差 d422， 所以所以 Skka1k k1 2 d2kk k1 22k2k， 由由 Sk110，得，得 k2k1100， 解得解得 k10 或或 k11(舍去舍去)，故，故 a2，k10. (2)证明：由证明：由(1)得得 Snn 22n 2n(n1)， 则则 bnSnnn1， 故故 bn1bn(n2)(n1)1，又，又 b1112， 所以数列所以数列bn是首项为是首项为 2，公差为，公差为 1 的等差数列，的等差数列， 所以所以 Tnn 2n1 2n n3 2. 16等差数列等差数列an中，公差中，公差 d0，a2a68，a3a57. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)记记 Tn为数列为数列bn前前 n 项的和，其中项的和，其中 bn|an|，nN N*，若，若 Tn1 464，求，求 n 的最小值的最小值 解：解：(1)等差数列等差数列an中，公差中，公差 da5， 解方程解方程 x28x70，得，得 a31，a57， a12d1，a14d7，解得解得 a15，d3. an5(n1)(3)3n8. (2)由由(1)知知an的前的前 n 项和项和 Sn5nn n1 2(3)32n2132n. bn|an|，b15，b22，b3|1|1，b4|4|4， 当当 n3 时，时，bn|an|3n8. 当当 n3 时，时，T15，T27； 当当 n3 时，时，TnSn2S23n2213n214. 19 Tn1 464，Tn3n2213n2141 464， 即即(3n100)(n29)0，解得，解得 n1003， n 的最小值为的最小值为 34.