2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 教案.doc

1 第三节第三节 平面向量的数量积与平面向量应平面向量的数量积与平面向量应用举例用举例 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是：0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b| cos_ 叫做 a 与 b的数量积，记作 a b 投影 |a|cos_ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos_ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_ 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a bb a； (2)数乘结合律：(a) b(a b)a (b)； (3)分配律：a (bc)a ba c 4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 结论 几何表示 坐标表示 2 模 |a| a a |a|x21y21 数量积 a b|a|b|cos a bx1x2y1y2 夹角 cos a b|a|b| cos x1x2y1y2x21y21 x22y22 ab a b0 x1x2y1y20 |a b|与|a|b|的关系 |a b|a|b| |x1x2y1y2|x21y21 x22y22 常用结论 1平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab) (ab)a2b2； (2)(a b)2a22a bb2. 2两个向量 a，b 的夹角为锐角a b0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角a b0 且 a，b 不共线 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( ) (3)由 a b0 可得 a0 或 b0.( ) (4)(a b)ca(b c)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1已知 a b12 2，|a|4，a 和 b 的夹角为 135，则|b|为( ) A12 B6 C3 3 D3 B a b|a|b|cos 13512 2，所以|b|12 24（22）6. 2已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_ 2 由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos 4cos 1203 2. 3已知|a|2，|b|6，a b6 3，则 a 与 b 的夹角 _ 56 cos a b|a| |b|6 32632. 又因为 0，所以 56. 4已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m_ 8 a(1，m)，b(3，2)， ab(4，m2)，由(ab)b 可得 (ab) b122m4162m0，即 m8. 考点 1 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的 3 种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a b|a|b|cosa，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解 (1)(2019 全国卷)已知AB(2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则AB BC( ) A3 B2 C2 D3 (2)一题多解如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，CD2，BAD4，若AB AC2AB AD，则AD AC_ (1)C (2)12 (1)BCACAB(1，t3)， |BC|12（t3）21，t3， AB BC(2，3) (1，0)2. (2)法一：(定义法)因为AB AC2AB AD，所以AB ACAB ADAB AD，所4 以AB DCAB AD. 因为 ABCD，CD2，BAD4，所以 2|AB|AB| |AD|cos 4，化简得|AD|2 2.故AD ACAD (ADDC)|AD|2AD DC(2 2)22 22cos 412. 法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系 xAy. 依题意，可设点 D(m，m)，C(m2，m)，B(n，0)，其中 m0， n0， 则由AB AC2AB AD， 得(n， 0) (m2，m)2(n，0) (m，m)，所以 n(m2)2nm，化简得 m2.故AD AC(m，m) (m2，m)2m22m12. 逆向问题 已知菱形 ABCD 的边长为 6，ABD30，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC2BE，CDCF.若AE BF9，则 的值为( ) A2 B3 C4 D5 B 依题意得AEABBE12BCBA，BFBC1BA，因此AE BF12BCBA (BC1BA)12BC21BA2121 BC BA，于是有12162121 62cos 609，由此解得 3，故选 B. 解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路： 一是定义法，二是坐标法， 定义法可先利用向量的加、 减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补； 坐标法要建立合适的坐标系 1.(2019 昆明模拟)在ABCD 中，|AB|8，|AD|6，N 为 DC 的中点，BM2MC，则AM NM_ 24 法一：(定义法)AM NM(ABBM) (NCCM)(AB23AD) (12AB13AD)12AB229AD21282296224. 法二：(特例图形)：若ABCD 为矩形，建立如图所示5 坐标系， 则 N(4，6)，M(8，4) 所以AM(8，4)，NM(4，2) 所以AM NM(8，4) (4，2)32824. 2在ABC 中，AB4，BC6，ABC2，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上，且 AEBD，则AE BC( ) A16 B12 C8 D4 A 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)设 E(0，b)，因为 AEBD，所以AE BD0，即(4，b) (2，3)0，所以 b83， 所以 E0，83，AE4，83， 所以AE BC16，故选 A. 考点 2 平面向量数量积的应用 平面向量的模 求向量模的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a2a a|a|2或|a| a a； (2)|a b|（a b）2 a2 2a bb2； (3)若 a(x，y)，则|a| x2y2. (1)一题多解(2019 昆明调研)已知向量 a(1，2)，b(1，3)，则|2ab|( ) A. 2 B2 C. 10 D10 (2)已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a| 3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 中点，则|AD|等于( ) 6 A2 B4 C6 D8 (3)已知在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_ (1)C (2)A (3)5 (1)法一：因为 a(1，2)，所以 2a(2，4)，因为 b(1，3)，所以 2ab(3，1)，所以|2ab| 10，故选 C. 法二：在直角坐标系 xOy 中作出平面向量 a，2a，b，2ab，如图所示，由图易得|2ab| 10，故选 C. (2)因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b， 所以|AD|24(ab)24(a22b ab2)4(322 3cos 64)4，则|AD|2. (3)建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2，0)，设 P(0，y)，C(0，b)，则 B(1，b)，则PA3PB(2，y)3(1，by)(5，3b4y) 所以|PA3PB| 25（3b4y）2(0yb) 当 y34b 时，|PA3PB|min5. 在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a b)2|a|2|b|22a b，(abc)2|a|2|b|2|c|22(a bb ca c)的灵活运用另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法 (1)定义法：当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 ，需求出 a b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由 cos a b|a|b|求得 7 (2)坐标法： 若已知 a(x1， y1)与 b(x2， y2)， 则 cos a， b x1x2y1y2x21y21x22y22，a，b0， (3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 (1)一题多解(2019 全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为( ) A.6 B.3 C.23 D.56 (2)一题多解(2019 全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 a b0，若 c2a 5b，则 cosa，c_ (1)B (2)23 (1)法一：因为(ab)b，所以(ab) ba b|b|20，又因为|a|2|b|，所以 2|b|2cosa，b|b|20，即 cosa，b12，又知a，b0，所以a，b3，故选 B. 法二：如图，令OAa，OBb，则BAOAOBab，因为(ab)b，所以OBA90， 又|a|2|b|，所以AOB3，即a，b3.故选 B. (2)法一：|a|b|1，a b0， a ca (2a 5b)2a2 5a b2， |c|2a 5b|（2a 5b）2 4a25b24 5a b3. cosa，ca c|a|c|23. 法二：不妨设 a(1，0)，b(0，1)， 则 c2(1，0) 5(0，1)(2， 5)， cosa，c21323. 逆向问题 若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的8 夹角为钝角，则 k 的取值范围是_ (，92)(92，3) 因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角， 所以(2a3b) c0，即(2k3，6) (2，1)0， 所以 4k660，所以 k3.若 2a3b 与 c 反向共线，则2k326，解得 k92，此时夹角不是钝角，综上所述，k 的取值范围是(，92)(92，3) (1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是 0或 180；求角时，注意向量夹角的取值范围是0，180；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式 cos x1x2y1y2x21y21 x22y22求解 (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 说明不共线的两向量的夹角为钝角如本例的逆向问题 两向量垂直问题 aba b0 x1x2y1y20. 已知向量AB与AC的夹角为 120， 且|AB|3， |AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_ 712 因为APBC，所以AP BC0. 又APABAC，BCACAB， 所以(ABAC) (ACAB)0， 即(1)AC ABAB2AC20， 所以(1)|AC|AB|cos 120940. 所以(1)32(12)940.解得 712. 1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；9 然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 1.(2019 南宁模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为3，且|a|1，|b|12，则 a2b 与 b 的夹角是( ) A.6 B.56 C.4 D.34 A 因为|a 2b|2|a|24|b|24a b114112cos 33，所以|a2b| 3. 又(a2b) ba b2|b|2112cos 3214141234， 所以 cosa2b，b（a2b） b|a2b|b|3431232， 所以 a2b 与 b 的夹角为6.故选 A. 2 (2019 青岛模拟)已知向量|OA|3， |OB|2， OCmOAnOB， 若OA与OB的夹角为 60，且OCAB，则实数mn的值为( ) A.16 B.14 C6 D4 A 因为向量|OA|3，|OB|2，OCmOAnOB，OA与OB夹角为 60，所以OA OB32cos 603， 所以AB OC(OBOA) (mOAnOB) (mn)OA OBm|OA|2n|OB|2 3(mn)9m4n6mn0，所以mn16，故选 A. 3设向量 a，b 满足|a|2，|b|ab|3，则|a2b|_ 4 2 因为|a|2，|b|ab|3， 所以(ab)2|a|22a b|b|2492a b9， 10 所以 a b2， 所以|a2b|（a2b）2|a|24a b4|b|2 48364 2. 考点 3 平面向量的应用 平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解 (1)在ABC 中， 已知向量AB(2， 2)， |AC|2， AB AC4， 则ABC的面积为( ) A4 B5 C2 D3 (2)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点， 则PA (PBPC)的最小值是( ) A2 B32 C43 D1 (1)C (2)B (1)AB(2，2)，|AB|2 2， AB AC|AB|AC|cos A 2 22cos A4， cos A22， 又 A(0，)，sin A22， SABC12|AB|AC|sin A2，故选 C. (2)建立坐标系如图所示， 则 A， B， C 三点的坐标分别为 A(0，3)，B(1，0)，C(1，0) 设 P 点的坐标为(x，y)，则PA(x， 3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)， PA (PBPC)(x， 3y) (2x，2y) 11 2(x2y2 3y)2x2y32234 23432. 当且仅当 x0，y32时，PA (PBPC)取得最小值，最小值为32.故选 B. 用向量法解决平面(解析)几何问题的 2 种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知，模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 1.平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，AB AD4，点 P 在边 CD上，则PA PB的取值范围是( ) A1，8 B1，) C0，8 D1，0 A 由题意得AB AD|AB| |AD|cosBAD4，解得BAD3.以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系(图略)， 则 A(0， 0)， B(4， 0)， C(5，3)， D(1， 3)， 因为点 P 在边 CD 上， 所以不妨设点 P 的坐标为(a， 3)(1a5)，则PA PB(a， 3) (4a， 3)a24a3(a2)21，则当 a2 时，PA PB取得最小值1；当 a5 时，PA PB取得最大值 8，故选 A. 2已知向量 a，b 满足|a|b|a b2 且(ac) (bc)0，则|2bc|的最大值为_ 71 |a|b|a b2， cosa，ba b|a|b|12， a，b60. 设OAa(2，0)，OBb(1， 3)，OCc， (ac) (bc)0， 12 CACB， 点 C 在以 AB 为直径的圆 M 上，其中 M32，32，半径 r1. 延长 OB 到 D，使得OD2b(图略)， 则 D(2，2 3) 2bcODOCCD， |2bc|的最大值为 CD 的最大值 DM23222 3322 7， CD 的最大值为 DMr 71.