2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6节 指数与指数函数 教案 (2).doc

第六节指数与指数函数最新考纲1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型1根式(1)n次方根的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：(2)根式的性质()na(nN*，n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数y (a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0且a1)，则mn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.由题意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1).2化简(x0，y0)_.答案2x2y3已知，则a，b，c的大小关系是_考点1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一考点2指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解(1)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲线y|3x1|与直线ym有两个不同交点，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(0,1)(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.故选D.(2)曲线y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线ym的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|3x1|与直线ym有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)母题探究1(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|1m有两个不同实根，则实数m的取值范围是_(0，)作出函数y3|x|1与ym的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，)2(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_(，1作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1应用指数函数图象的技巧(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论1.函数f(x)1e|x|的图象大致是()ABCDAf(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0，符合条件的图象只有A.2函数yaxb(a0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是_(0,1)因为函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以函数yaxb单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上令x0，则ya0b1b，由题意得解得故ab(0,1)3已知实数a，b满足等式2 019a2 020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_(填序号)作出y2 019x及y2 020x的图象如图所示，由图可知ab0，ab0或ab0时，有2 019a2 020b，故不可能成立考点3指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0a1和a1进行分类讨论比较指数式的大小(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()AabcBacbCcab Dbca(2)设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是()AMN BMNCMN DMN(1)A(2)D(1)由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc.因为a20.21，b0.40.21，所以ab.综上，abc.(2)因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a1)0.21，N0.11，所以MN.故选D.指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)解简单的指数方程或不等式(1)已知函数f(x)a的图象过点，若f(x)0，则实数x的取值范围是_(2)方程4x|12x|11的解为_(1)(2)xlog23(1)f(x)a的图象过点，a，即a.f(x).f(x)0，0，24x13，即14x2，0x.(2)当x0时，原方程化为4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0，2x3，即xlog23.当x0时，原方程化为4x2x100.令t2x，则t2t100(0t1)由求根公式得t均不符合题意，故x0时，方程无解(1)af(x)ag(x)f(x)g(x)(2)af(x)ag(x)，当a1时，等价于f(x)g(x)；当0a1时，等价于f(x)g(x)(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题与指数函数有关的复合函数的单调性函数f(x)的单调减区间为_(，1设ux22x1，y在R上为减函数，所以函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所以f(x)的减区间为(，1逆向问题已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_(，4令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断指数函数性质的综合应用(1)函数f(x)a(a，bR)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)(2)若不等式12x4x·a0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_(1)A(2)(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)a0，函数图象过点，则f(ln 3)a.结合可得a1，b2，则f(x)1.因为ex0，所以ex11，所以02，所以111，即函数f(x)的值域为(1,1)(2)从已知不等式中分离出实数a，得a.因为函数y和y在R上都是减函数，所以当x(，1时，所以，从而得.故实数a的取值范围为a.指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化1.函数y的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)C设tx22x1，则y.因为01，所以y为关于t的减函数因为t(x1)222，所以0y24，故所求函数的值域为(0,42已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_当a1时，41a21，所以a；当a1时，代入可知不成立，所以a的值为.3设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_(3,1)当a0时，不等式f(a)1可化为71，即a8，即，a3.又a0，3a0.当a0时，不等式f(a)1可化为1.0a1，综上，a的取值范围为(3,1)11