2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 教案.doc

1 第四节第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)三种位置关系：相交、相切、相离 (2)两种研究方法： 代数法 联立方程组消去x（y）得一元二次方程，b24ac0相交0相切0相离 几何法 圆心到直线的距离为d半径为r dr相交，弦长l2 r2d2dr相切dr相离 2圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20) 位置 关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 dr1r2 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含 0d|r1r2|(r1r2) 无解 常用结论 1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公2 切线)所在的直线方程 2圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2 (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2 (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( ) (4)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A3，1 B1，3 C3，1 D(，31，) C 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为 2， |a01|12（1）2 2，即|a1|2，解得3a1. 2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 B 两圆圆心分别为(2， 0)， (2， 1)， 半径分别为 2 和 3， 圆心距 d 4212 17. 32d0，所以直线 l 与圆相交 法二： (几何法)圆心(0， 1)到直线 l 的距离 d|m|m211 5.故直线 l 与圆相交 法三：(点与圆的位置关系法)直线 l：mxy1m0 过定点(1，1)，点(1，1)在圆 C：x2(y1)25 的内部，直线 l 与圆 C 相交 (2)圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心 C(1，1)，半径 r1.因为直线与圆相交，所以 d|1m2m|1m20 或 mr 或 dr 建立关于参数的等式或不等式求解； (2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解 1.已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 B 因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线axby1 的距离 d1a2b21.所以直线与圆相交 2若直线 l：xym 与曲线 C：y1x2有且只有两个公共点，则 m 的取值范围是_ 5 1， 2) 画出图象如图，当直线 l 经过点 A，B 时，m1，此时直线 l 与曲线 y 1x2有两个公共点；当直线 l 与曲线相切时，m 2，因此当 1m0)截直线 xy0 所得线段的长度是2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 B 由x2y22ay0，xy0，得两交点为(0，0)，(a，a) 6 圆 M 截直线所得线段长度为 2 2， a2（a）22 2.又 a0， a2. 圆 M 的方程为 x2y24y0， 即 x2(y2)24， 圆心 M(0，2)，半径 r12. 又圆 N：(x1)2(y1)21，圆心 N(1，1)，半径 r21， |MN|（01）2（21）2 2. r1r21，r1r23，1|MN|52，则|4a10|52a0 或 a5(舍)所以圆 C：x2y24. (2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 10 由x2y24yk（x1） 得，(k21)x22k2xk240， 所以 x1x22k2k21，x1x2k24k21. 若 x 轴平分ANB，则 kANkBNy1x1ty2x2t0k（x11）x1tk（x21）x2t02x1x2(t1)(x1x2)2t02（k24）k212k2（t1）k212t0t4， 所以当点 N 为(4，0)时，能使得ANMBNM 总成立 本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x 轴平分ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kANkBN” ，然后借助方程思想求解 教师备选例题 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2,4) (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l的方程 解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225， 圆心 M(6,7)， 半径 r5， 由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0) 且 662b72b5. 解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)kOA2，可设 l 的方程为 y2xm，即 2xym0. 又 BCOA 22422 5. 由题意，圆 M 的圆心 M(6,7)到直线 l 的距离为 d52BC22 2552 5. 11 即|267m|22122 5，解得 m5 或 m15. 直线 l 的方程为 y2x5 或 y2x15. 已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解 (1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点， 所以|2k31|1k21， 解得4 73k4 73. 所以 k 的取值范围为4 73，4 73. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21， 整理得(1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x24（1k）1k2，x1x271k2. OM ONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 4k（1k）1k28. 由题设可得4k（1k）1k2812， 解得 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|2.