通用版2020版高考数学大一轮复习第20讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用学案理新人教A版20190313361_20210103224753.docx

第20讲函数y=Asin(x+)的图像及三角函数模型的简单应用1.y=Asin(x+)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(x+)(A>0,>0),x0,+)AT= f=1T=    2.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:x     x+     y=Asin(x+)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(x+)的图像的步骤图3-20-1题组一常识题1.教材改编 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是. 2.教材改编 某函数的图像向右平移2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sinx+4,则原函数的解析式是. 3.教材改编 函数y=cos2x-2的周期为,单调递增区间为. 4.教材改编 已知简谐运动f(x)=2sin3x+|<2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相为. 题组二常错题索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中的值.5.为得到函数y=cos2x+3的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度. 6.设>0,若函数f(x)=12sin x在区间-2,2上单调递增,则的取值范围是. 7.若f(x)=2sin(x+)+m对任意实数t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,则实数m=. 图3-20-28.已知函数f(x)=sin(x+)>0,|<2的部分图像如图3-20-2所示,则=. 探究点一函数y=Asin(x+)的图像变换例1 (1)将函数f(x)=sin2x+4的图像沿x轴向左平移8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为()A.y=cos 2xB.y=-cos 2xC.y=sin2x+38D.y=sin2x-8(2)若由函数y=sin2x+2的图像变换得到y=sinx2+3的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin2x+2图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x轴()A.向右平移3个单位长度B.向右平移512个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向左平移512个单位长度   总结反思 由y=sin x的图像变换到y=Asin(x+)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|(>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.变式题 (1)2018·江西八所重点中学联考 将函数y=sinx-6的图像上所有的点向右平移4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为()A.y=sin2x-512B.y=sinx2+12C.y=sinx2-512D.y=sinx2-524(2)为了得到函数y=sin 3x的图像,可以将y=cos 3x的图像()A.向右平移6个单位长度B.向左平移6个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向左平移3个单位长度探究点二函数y=Asin(x+)的图像与解析式例2 (1)已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,|<)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f(x)的图像向右平移4个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=2sin 2xB.g(x)=2sin2x+8C.g(x)=2sin2x+4D.g(x)=2sin2x-4图3-20-3 (2)已知函数y=sin(x+)(>0,-<)的部分图像如图3-20-4所示,则=. 图3-20-4   总结反思 利用图像求函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出的值.(3)求的常用方法如下:代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.五点法:确定的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.图3-20-5变式题 已知函数f(x)=2sin(x+)(>0,|<)的部分图像如图3-20-5所示,且A2,1,B(,-1),则的值为. 探究点三函数y=Asin(x+)的图像与性质例3 2018·湖北八市联考 函数f(x)=sin(x+)>0,|<2在它的某一个周期内的单调递减区间是512,1112.将y=f(x)的图像先向左平移4个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在区间0,4上的最大值和最小值.    总结反思 三角函数图像与性质综合问题的求解思路:(1)将函数整理成y=Asin(x+)+B(>0)的形式;(2)把x+看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sin x的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.变式题 (1)2018·益阳调研 将函数f(x)=cos(2x+)|<2的图像向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图像,若g(x)的图像关于直线x=4对称,则=()A.6B.12C.-6D.-12(2)2018·葫芦岛二模 已知函数f(x)=Asin(x+)A>0,>0,2<<的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是()图3-20-6A.函数f(x)的周期为B.函数y=f(x-)为奇函数C.函数f(x)在-,2上单调递增D.函数f(x)的图像关于点34,0对称探究点四三角函数模型的简单应用例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设AA1H1=.图3-20-7(1)试用表示AA1H1的面积;(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时的大小.     总结反思 三角函数模型在实际问题中的应用体现在两个方面:(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的含义及自变量与函数之间的对应法则;(2)把实际问题抽象转化成三角函数模型问题,关键是利用三角函数表示实际问题中的有关量,建立模型.变式题 某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ,12月份的平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温为. 第20讲函数y=Asin(x+)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出函数y=Asin(x+)的图像,了解参数A,对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.22x+2.-2-32-2-023223.|对点演练1.y=2sin x解析 根据函数图像变换法则可得.2.y=sinx+34解析 函数y=sinx+4的图像向左平移2个单位长度后得到y=sinx+2+4=sinx+34的图像,即原函数的解析式为y=sinx+34.3.-4+k,4+k(kZ)解析 y=cos2x-2=sin 2x,所以函数的周期T=22=.由-2+2k2x2+2k(kZ),得-4+kx4+k(kZ),故函数的单调递增区间为-4+k,4+k(kZ).4.6解析 将点(0,1)代入函数解析式,可得2sin =1,即sin =12.|<2,=6.5.左512解析 y=cos2x+3=sin2+2x+3=sin2x+56.故要得到y=sin2x+56=sin 2x+512的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移512个单位长度.6.(0,1解析 因为函数f(x)=12sin x在区间-2,2上单调递增,所以T2=2+2=,所以1,又因为>0,所以(0,1.7.-5或-1解析 由f8+t=f8-t得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=8.故当x=8时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-6解析 由图像可知,T=4×712-3=,所以=2=2.因为f3=sin23+=1,所以23+=2+2k(kZ),即=-6+2k(kZ),又|<2,所以=-6.【课堂考点探究】例1思路点拨 根据图像平移“左加右减”的规则以及平移量确定结果.(1)A(2)A解析 (1)由题意知,将f(x)=sin2x+4的图像向左平移8个单位长度后,得到y=sin2x+8+4=sin2x+2=cos 2x的图像,故选A.(2)把y=sin2x+2图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,得到函数y=sinx2+2的图像,再把所得图像沿x轴向右平移3个单位长度,可以得到y=sin12x-3+2=sin12x+3的图像.故选A. 变式题(1)C(2)A解析 (1)将函数y=sinx-6的图像向右平移4个单位长度,得到y=sinx-512的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx2-512的图像,故选C.(2)由题意知,y=cos 3x=sin3x+2=sin 3x+6,将函数y=sin 3x+6的图像向右平移6个单位长度,得到y=sin 3x+6-6=sin 3x的图像,故选A.例2思路点拨 (1)先根据图像确定A,T,再根据平移得函数g(x)的解析式;(2)结合函数的图像首先确定的值,然后确定的值即可.(1)D(2)910解析 (1)由题图得,A=2,T=78-8=,=2T=2.当x=38-82=8时,y=2,2×8+=2+2k(kZ),=4+2k(kZ),又|<,=4,f(x)=2sin2x+4,g(x)=2sin2x-4+4=2sin2x-4,故选D.(2)由题意可知,函数的最小正周期T=2×2-34=52,则=2T=252=45.当x=2时,x+=45×2+=2k+2(kZ),则=2k-1110(kZ),由于-<,故=910.变式题-56解析 根据函数f(x)=2sin(x+)(>0,|<)的图像,且A2,1,B(,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即12×2=-2,=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式,可得2sin2×2+=-2sin =1,2sin(2×+ )=2sin =-1,sin =-12,=2k-6或=2k-56,kZ.再结合“五点作图法”,可得=-56.例3思路点拨 (1)根据已知求得的值,然后求出的值,从而可求出f(x)的解析式,进而得到g(x)的解析式;(2)确定g(x)的单调性,然后求出最值.解:(1)由题意可知,T2=1112-512=2,=2,又sin2×512+=1,|<2,=-3,f(x)=sin2x-3,g(x)=sin4x+6.(2)由(1)可知,g(x)在0,12上为增函数,在12,4上为减函数,g(x)max=g12=1,又g(0)=12,g4=-12,g(x)min=g4=-12,故函数g(x)在0,4上的最大值和最小值分别为1和-12. 变式题(1)A(2)B解析 (1)由题意知,g(x)=cos2x-3+=cos2x-23+,令2x-23+=k(kZ),则函数g(x)的图像的对称轴为直线x=3-2+k2(kZ),令3-2+k2=4(kZ),则=6+k(kZ),又|<2,所以=6.故选A.(2)观察图像可得,函数的最小值为-2,所以A=2.由图像可知函数过点(0,3),所以3=2sin ,又因为2<<,所以=23.由图像可知,54·+23=32+2k,kZ,解得=23+85k,kZ,又T2=>54,所以0<<45,所以=23,则f(x)=2sin23x+23.显然A选项错误;对于B,f(x-)=2sin23(x-)+23=2sin23x,是奇函数,故B选项正确;对于C,观察图像可知,f(x)在-,2上不单调,故C选项错误;对于D,f34=2sin23×34+23=2sin760,故D选项错误.故选B.例4思路点拨 (1)注意到BA1=AA1,AH1=H1H,从而知AA1H1的周长为4,设AH1=x,从而可求得SAA1H1;(2)令t=sin +cos ,用t表示SAA1H1,根据t(1,2可求得最大值.解:(1)设AH1=x,由题意知,x+xsin+xtan=4,x=4sinsin+cos+1,SAA1H1=12·x2tan=8sincos(sin+cos+1)2,0,2.(2)令t=sin +cos ,0,2,t(1,2.当八角形所覆盖的面积最大时,SAA1H1取得最大值.由(1)可知,SAA1H1=4(t2-1)(t+1)2=4-8t+1,当t=2,即=4时,SAA1H1取得最大值,此时八角形所覆盖的面积最大,设为S,则S=16+4×4-82+1=64-322,八角形所覆盖面积的最大值为64-322.变式题20.5解析 因为当x=6时,y=a+A=28,当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=23+5cos6(x-6),所以当x=10时,y=23+5cos6×4=23-5×12=20.5.【备选理由】 例1考查正切函数的图像,是对例题中正弦、余弦函数图像问题的补充;例2重点考查函数的对称性,对正弦函数图像的对称轴与对称中心加深理解;例3主要考查了三角函数图像与性质的综合应用问题,着重考查了推理与运算能力;例4是实际应用题目,要根据条件转化为数学中的知识.例1配合例2使用 已知函数f(x)=Atan(x+)>0,|<2的部分图像如图所示,则f12=()A.3B.3C.1D.33解析 A由题可知,T2=512-6=4,T=2,=T=2.由图像可知,512×2+=k(kZ),得=-56+k(kZ),又|<2,=6,f(x)=Atan2x+6.又f(0)=Atan6=1,A=3,f(x)=3tan2x+6,f12=3tan6+6=3tan3=3.故选A.例2配合例3使用 2018·长沙长郡中学二模 已知函数f(x)=sin(x+)>0,|<2,其图像相邻两条对称轴之间的距离为4,将函数y=f(x)的图像向左平移316个单位长度后,得到的图像关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图像()A.关于点-16,0对称B.关于点16,0对称C.关于直线x=16对称D.关于直线x=-4对称解析 B函数y=f(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为4,函数的周期T=2,=2T=4,f(x)=sin(4x+).将函数y=f(x)的图像向左平移316个单位长度后, 得到函数y=sin4x+316+的图像,所得图像关于y轴对称,4×316+=k+2,kZ,即=k-4,kZ,又|<2,=-4,f(x)=sin4x-4.令4x-4=k,kZ,解得x=k4+16,kZ,令k=0,得f(x)的图像关于点16,0对称.故选B.例3配合例3使用 已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若x-38,4,求函数f(x)的值域.解:(1)由图像可知,T2=38-8=2,T=,=2T=2.又函数的最大值为2,且A>0,A=2.f-8=2,2×-8+=2+2k,kZ,=34+2k,kZ,又|<,=34,f(x)=2sin2x+34.由-2+2k2x+342+2k,kZ,得-58+kx-8+k,kZ,函数f(x)的单调递增区间为-58+k,-8+k,kZ.(2)x-38,4,2x+340,54,当2x+34=54,即x=4时,f(x)min=-2,当2x+34=2,即x=-8时,f(x)max=2, 函数f(x)在-38,4上的值域为-2,2.例4配合例4使用 一根长a cm的线一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cosgat+3,t0,+),则小球摆动的周期为s. 答案 2ag解析 小球的位移s与时间t的函数关系式为s=3cosgat+3,t0,+),小球摆动的周期T=2ga=2ag.13