高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.3 函数的奇偶性与周期性 Word版含答案_20210103224749.doc

淘宝店铺：漫兮教育第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的必记结论1函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2有关对称性的结论：(1)若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)关于xa对称若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)关于点(a,0)对称(2)若f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于xa对称若f(x)f(2ax)2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称自测练习1函数f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数答案：C2(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A B.C2 D2解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()log2，故选B.答案：B3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.答案：0知识点二函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期必记结论定义式f(xT)f(x)对定义域内的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，则函数f(x)的周期为T|ab|.若在定义域内满足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a>0)则f(x)为周期函数，且T2a为它的一个周期对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期自测练习4函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，x>0，故f(x)x2xf(x)；当x<0时，f(x)x2x，则当x>0时，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数函数奇偶性的判定的三种常用方法1定义法：2图象法：3性质法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 017)解(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(2)f(2 017)f(0)f(1)011.判断函数周期性的两个方法(1)定义法(2)图象法已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则求f(2 015)f(2 017)的值为_解析：当x0时，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期f(2 017)f(1)log221，f(2 015)f(2 015)f(3)1，f(2 015)f(2 017)0.答案：0考点三函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查归纳起来常见的命题探究角度有：1已知奇偶性求参数2利用单调性、奇偶性求解不等式3周期性与奇偶性综合4单调性、奇偶性与周期性相结合探究一已知奇偶性求参数1(2015·高考全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析：由题意得f(x)xln(x)f(x)xln(x)，所以x，解得a1.答案：1探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2(2015·高考全国卷)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)>f(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1，)C.D.解析：函数f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，又当x(0，)时，f(x)ln(1x)，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x1)f(|x|)>f(|2x1|)，|x|>|2x1|，解得<x<1，故选A.答案：A探究三周期性与奇偶性相结合3(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)<1，f(5)，<1，即<0，解得1<a<4，故选A.答案：A探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)解析：f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<f(80)<f(11)答案：D函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解解析易知f(x)1.设g(x)f(x)1，则g(x)是奇函数f(x)的最大值为M，最小值为m，g(x)的最大值为M1，最小值为m1，M1m10，Mm2.答案2方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题跟踪练习已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18C10 D10解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)为奇函数，F(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：AA组考点能力演练1(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)0”是“函数f(x)为奇函数”的()A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)在R上为奇函数f(0)0；f(0)0f(x)在R上为奇函数，如f(x)x2，故选A.答案：A2(2015·唐山一模)已知函数f(x)xlog21，则ff的值为()A2 B2C0 D2log2解析：由题意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x)1为奇函数，则f1f10，所以ff2.答案：A3设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)，则f()A0 B1C. D1解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以fff4×221，故选D.答案：D4在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，当0<x1时，f(x)2x，则f(2 015)()A2 B2C D.解析：由f(x3)f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)f(672×31)f(1)f(1)2，故选A.答案：A5设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)<0的解集为()Ax|1<x<0，或x>1Bx|x<1，或0<x<1Cx|x<1，或x>1Dx|1<x<0，或0<x<1解析：奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)<0，xf(x)<0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式xf(x)f(x)<0的解集为x|1<x<0或0<x<1，选D.答案：D6已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)1，且对任意的xR，都有f(x3)f(x)，则f(2 017)_.解析：由f(x3)f(x)得函数f(x)的周期T3，则f(2 017)f(1)f(2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)f(2)1.答案：17函数f(x)为奇函数，则a_.解析：由题意知，g(x)(x1)(xa)为偶函数，a1.答案：18已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x1是函数f(x)的一条对称轴；f(x2)f(x)；当1x1<x23时，f(x2)f(x1)(x2x1)<0，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)从大到小的顺序为_解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，由知f(x)在1,3上是减函数所以f(2 015)f(3)，f(2 016)f(0)f(2)，f(2 017)f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x<0，则x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x<0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a3，故实数a的取值范围是(1,310函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式f<0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若f<0f(1)，即0<x<1，解得<x<或<x<0.f<0f(1)，x<1，解得x.原不等式的解集是.B组高考题型专练1(2014·高考新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)·g(x)f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x<时，f(x)0，则f()A. B.C0 D解析：f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期T2，又当0x<时，f(x)0，f0，即ffsin0，f，fff.故选A.答案：A3(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay ByxCy2x Dyxex解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数答案：D4(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<c Ba<c<bCc<a<b Dc<b<a解析：由f(x)2|xm|1是偶函数得m0，则f(x)2|x|1，当x0，)时，f(x) 2x1递增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.答案：C5(2015·高考湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)lnln，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A