专题6.1 平面向量的概念及其运算 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题6.1 平面向量的概念及其运算新课程考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多.（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现【知识清单】知识点1向量的概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点2平面向量的线性运算一向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.2运算律：设，是两个实数，则：；.知识点3共线向量共线向量定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.知识点4两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0°180°a与b同向时，夹角0°；a与b反向时，夹角180°.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作ab.知识点5平面向量的数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|·cos 叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0·a0.当ab时，90°，这时a·b0.2a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点6数量积的运算律1交换律：a·bb·a.2分配律：(ab)·ca·cb·c.3对R，(a·b)(a)·ba·(b)知识点7向量数量积的性质1如果e是单位向量，则a·ee·a.2aba·b0.3a·a|a|2，.4cos .(为a与b的夹角)5|a·b|a|b|.【考点分类剖析】考点一 向量的有关概念【典例1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：若，则；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若,，则；的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）ABCD【答案】A【解析】对于，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故错误；对于，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故正确；对于，若,，则；显然正确，故正确；对于，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故不正确,故选：A【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ）A向量的长度与向量的长度相等B零向量与任意非零向量平行C长度相等方向相反的向量共线D方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.【易错提醒】1有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定【变式探究】1. （2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（）A若，则B若，则是平行四边形C若，则D若，则【答案】D【解析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取、四点共线可判断B选项的正误，取可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，若，但、方向不相同时，A选项错误；对于B选项，若、四点共线且，则、无法构成四边形，B选项错误；对于C选项，取，虽然有，但、不一定平行，C选项错误；对于D选项，若，则，D选项正确.故选：D.2. 设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|·a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是()A0B1C2 D3【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.【总结提升】(1)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，是与a反方向的单位向量(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件（4）几个重要结论向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量考点二 平面向量的线性运算【典例3】（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）ABCD【答案】C【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【典例4】（2020·湖南衡阳·三模（文）在平行四边形中，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】.故选： D.【规律方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解【变式探究】1. （2018年新课标I卷理）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（ ）A 34AB-14AC B 14AB-34ACC 34AB+14AC D 14AB+34AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故选A.2.（2019·广东高考模拟（理）已知，三点不共线，且点满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】已知，三点不共线，且点满足，所以= +=） （）+=，所以 ,故选：A【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解考点三 利用向量线性运算求参数【典例5】（2020·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中（文）设，是两个不共线的向量，若向量(kR)与向量共线，则（ ）Ak0Bk1Ck2Dk【答案】D【解析】根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.【详解】由共线向量定理可知存在实数，使，即，又与是不共线向量，解得故选：D【典例6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，AP与CD交于点E，若，则= .【答案】.【解析】由题作图如图所示，.故答案为：.【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求【变式探究】1.（2019·山东高考模拟（文）在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选：B2.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量不共线,若,则_,_.【答案】 【解析】因为向量不共线，所以向量均不为零向量，解得故答案为：；考点四 共线向量及其应用【典例7】（2020·全国高一课时练习）设，是平面内不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则_.【答案】【解析】求出，利用三点共线，得到，求出和k.【详解】由题意，又，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得成立，即，则，解得.故答案为：.【典例8】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值【答案】【解析】由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数使，即()，所以(1)，故x1，y，即xy1【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线(1t)·t(O为平面内任一点，tR)【变式探究】1.（2020·全国高二课时练习）若，与的方向相反，且，则_.【答案】【解析】直接利用向量共线进行计算即可.【详解】，且与的方向相反，所以.故答案为：.2.（2020·上海高三专题练习）设是不共线的两个向量,已知，若A、B、D三点共线,求k的值.【答案】k=1【解析】由A、B、C三点共线，存在实数，使得 故又a,b不共线 =1，k=1【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合考点五 平面向量数量积的运算【典例9】（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【典例10】（2018·天津高考真题（文）在如图的平面图形中，已知OM=1.ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为A-15 B-9C-6 D0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由BM=2MA,CN=2NA 可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点，则BC=3MN=3ON-OM，由题意可知：OM2=12=1，OMON=1×2×cos120=-1，结合数量积的运算法则可得：BCOM=3ON-OMOM=3ONOM-3OM2=-3-3=-6.本题选择C选项.【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b|a|b|cos(是a与b的夹角)(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解【变式探究】1（2018·全国高考真题（理）已知向量a，b满足|a|=1，ab=-1，则a(2a-b)=（ ）A4 B3 C2 D0【答案】B【解析】因为a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3,所以选B.2.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形中，点，分别是边，的中点，且，若，则_.【答案】【解析】取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得，即有，即有，解得，所以，故答案为：2.【总结提升】 知向量a，b的模及夹角，利用公式a·b|a|b|cos求解；对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算考点六 平面向量的夹角问题【典例11】（2020·全国高考真题（理）已知向量 ，满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，.，因此，.故选：D.【典例12】（2019·全国高考真题（理）已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【答案】.【解析】因为，所以，所以，所以 【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cosa，b.提醒：a，b0，【变式探究】1.（2020·陕西西安市·西安一中高三月考（文）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）ABCD【答案】D【解析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角【详解】解：，设与的夹角为，故选：D2（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为_.【答案】【解析】因为,所以当时，即，因为，所以当时，即，所以，所以.故答案为：考点七 平面向量的模的问题【典例13】（2021·全国高考真题（文）若向量满足，则_.【答案】【解析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】.故答案为：.【典例14】（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是_；最大值是_.【答案】0 【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，0，要使的最小，只需要，此时只需要取此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正.比如则.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解(2)求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决【变式探究】1（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（）A0，1BC1，2D0，2【答案】D【解析】设，则，（）22|224，所以可得：，配方可得，所以，又 则0，2故选：D2（2020·全国高二课时练习）已知 ，则_【答案】【解析】根据和向量数量积运算可得答案【详解】解： ，所以故答案为：考点八 平面向量垂直的条件【典例15】（2020·全国高考真题（文）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）ABC D【答案】D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【典例16】（2020·全国高考真题（理）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=_.【答案】【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数【变式探究】1（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知非零向量、满足，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知条件可得出，由已知条件可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.【详解】因为，则，所以，因为，则，解得.故选：A.2（2020·全国高二课时练习）已知，则_【答案】【解析】由向量垂直的数量积表示和向量数量积的定义计算可得答案【详解】解：由，得，所以，所以，即460，所以故答案为：