高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.2 函数的单调性与最值 Word版含答案_20210103224747.doc

淘宝店铺：漫兮教育第二节函数的单调性与最值1函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义2函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间易误提醒求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结必记结论1单调函数的定义有以下若干等价形式：设x1，x2a，b，那么>0f(x)在a，b上是增函数；<0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)>0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0f(x)在a，b上是减函数2复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数自测练习1下列函数中，在区间(0，)上单调递减的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析：根据函数的图象知，函数f(x)在(0，)上单调递减，故选A.答案：A2函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析：要使ylog5(2x1)有意义，则2x1>0，即x>，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x>时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：3已知函数f(x)在R上为增函数，则a的取值范围是()A3,0) B3，2C(，2 D(，0)解析：要使函数在R上是增函数，则有解得3a2，即a的取值范围是3，2答案：B知识点二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值自测练习4函数f(x)(xR)的值域是()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1解析：因为1x21,0<1，所以函数值域是(0,1，选B.答案：B5已知函数f(x)x22x(2x1且xZ)，则f(x)的值域是()A0,3 B1,3C0,1,3 D1,0,3解析：依题意，f(2)f(0)0，f(1)1，f(1)3，因此f(x)的值域是1,0,3，选D.答案：D考点一函数单调性的判断|1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：当x>0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.答案：C2判断函数g(x)在(1，)上的单调性解：法一：定义法任取x1，x2(1，)，且x1<x2，则g(x1)g(x2)，因为1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数法二：导数法g(x)>0，g(x)在(1，)上是增函数给出解析式函数单调性的两种判定方法1定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)2导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)考点二函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x2>0，则x<1或x>2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0)B.C0，) D.解析：y|x|(1x)画出函数的草图，如图由图易知原函数在上单调递增答案：B考点三函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容归纳起来，常见的命题探究角度有：1求函数的值域或最值2比较两个函数值或两个自变量的大小3解函数不等式4求参数的取值范围或值探究一求函数的值域或最值1(2015·高考浙江卷)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析：由题知，f(3)1，f(1)0，即f(f(3)0.又f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以f(x)minminf(0)，f()23.答案：023探究二比较两个函数值或两自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0 Bf(x1)<0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0 Df(x1)>0，f(x2)>0解析：函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)<f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)>f(2)0，即f(x1)<0，f(x2)>0.答案：B探究三解函数不等式3(2015·西安一模)已知函数f(x)若f(2x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析：当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x>0时，f(x)ln(x1)也是增函数，且当x1<0，x2>0时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)>f(x)等价于2x2>x，即x2x2<0，解得2<x<1，故选D.答案：D探究四利用单调性求参数的取值范围4(2015·江西新余期末质检)已知f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是()A. B.C(1,2) D(1，)解析：依题意，f(x)是在R上的增函数，于是有解得a<2，故选A.答案：A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式【典例】(12分)函数f(x)对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，且当x>0时，有f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(2t1)f(1t)<2.思路点拨(1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“f”的不等式f(2t1)f(1t)<2转化为f(m)<f(n)的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解规范解答(1)证明：设x1，x2R且x1<x2，则x2x1>0，f(x2x1)>1.(2分)根据条件等式有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)1>0，f(x1)<f(x2)，f(x)是R上的增函数(6分)(2)由f(ab)f(a)f(b)1，得f(ab)f(a)f(b)1，f(2t1)f(1t)f(t2)1，(8分)f(2t1)f(1t)<2，即f(t2)1<2，f(t2)<3.又f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，f(t2)<3f(2)(10分)f(x)是R上的增函数，t2<2，t<4，故不等式的解集为(，4)(12分)模板形成A组考点能力演练1(2015·吉林二模)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex ByxCyln x Dy|x|解析：因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B.答案：B2(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数：y3x；y；yx22x10；y其中值域为R的函数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：依题意，注意到y3x与函数y的值域均是R，函数y的值域是(0,1，函数yx22x10(x1)211的值域是11，)，因此选B.答案：B3若函数f(x)x22ax与函数g(x)在区间1,2上都是减函数，则实数a的取值范围为()A(0,1)(0,1) B(0,1)(0,1C(0,1) D(0,1解析：注意到f(x)(xa)2a2；依题意得即0<a1，故选D.答案：D4已知函数f(x)则不等式f(a24)>f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)>f(3a)，可得a24<3a，整理得a23a4<0，即(a1)(a4)<0，解得1<a<4，所以不等式的解集为(1,4)答案：B5(2016·浦东一模)如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0，C0,1 D1，解析：因为函数f(x)x2x的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，x1，令g(x)x1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数x1在区间1，上单调递减，故“缓增区间”I为1，答案：D6已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x20，)(x1x2)，有<0，则f(3)，f(2)，f(1)的大小关系为_解析：由x1，x2(0，)时，<0，f(x)在(0，)上为减函数又f(2)f(2)，1<2<3，f(1)>f(2)>f(3)即f(1)>f(2)>f(3)答案：f(1)>f(2)>f(3)7设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)8(2015·长春二模)已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是_解析：因为函数f(x)在(，a)上是单调函数，所以a1，解得a1.答案：(，19已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)f(x)1，当a>0时，f(x)在(，a)，(a，)上是减函数，又f(x)在(1，)上单调递减，0<a1，故实数a的取值范围为(0,110已知函数g(x)1，h(x)，x(3，a，其中a为常数且a>0，令函数f(x)g(x)·h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a时，求函数f(x)的值域解：(1)f(x)g(x)·h(x)(1)，f(x)，x0，a(a>0)(2)函数f(x)的定义域为，令1t，则x(t1)2，t，f(x)F(t).t时，t±2，又t时，t单调递减，F(t)单调递增，F(t).即函数f(x)的值域为.B组高考题型专练1(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)解析：y(x1)2仅在1，)上为增函数，排除B；y2xx为减函数，排除C；因为ylog0.5t为减函数，tx1为增函数，所以ylog0.5(x1)为减函数，排除D；y和tx1均为增函数，所以y为增函数，故选A.答案：A2(2013·高考安徽卷)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由二次函数的图象和性质知f(x)|(ax1)x|在(0，)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，)上与x轴无交点，即a0或<0，整理得a0，而当a0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0，)上为增函数故a0是f(x)在(0，)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3(2015·高考福建卷)若函数f(x)(a>0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_解析：因为f(x)所以当x2时，f(x)4；又函数f(x)的值域为4，)，所以解得1<a2，所以实数a的取值范围为(1,2答案：(1,24(2015·高考湖北卷)a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间0,1上的最大值记为g(a)当a_时，g(a)的值最小解析：f(x)，其在区间0,1上的最大值必在x0，x1，x处产生，即g(a)maxmaxmax，在同一坐标系中分别画出y|1a|，y的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1a，则a22(22舍去)答案：22