专题7.2 等差数列及其前n项和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题7.2 等差数列及其前n项和练基础1（2021·全国高三其他模拟（文）在等差数列中，已知，则公差（ ）A1B2C-2D-1【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得故选：B2（2020·湖北武汉高三其他（文）设等差数列的前项和为，若，则公差等于（ ）A0B1CD【答案】B【解析】，解得，所以故选：B.3.（2020·全国高三其他（理）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）A12B15C18D21【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B.4（2019·浙江高三会考）等差数列annN*的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】根据题意，等差数列an中，S3=S9， 则S9-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=0， 又由an为等差数列，则a4+a9=a5+a8=a6+a7=0， 又由a1>0，d<0，则a6>0，a7<0， 则当n=6时，Sn取得最大值； 故选：C5（2021·全国高三其他模拟（文）我国明代数学家程大位的算法统宗中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲乙丙丁戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）A30.8贯B39.2贯C47.6贯D64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲乙丙丁戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲乙丙丁戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列an为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=8.4，所以a5=64.433.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6（2020·全国高三课时练习（理）设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，中最大的项为（ ）A B C D【答案】D【解析】等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，若视为函数则对称轴在之间，Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d0，递减，前8项中递增，前8项中最大最小时有最大值，最大7（2019·全国高考真题（文）记为等差数列的前项和，若，则_.【答案】100【解析】得8.（2019·全国高考真题（理）记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以9.（2021·河南高三其他模拟（文）设Sn是等差数列an的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=_.【答案】64【解析】设an的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设an的公差为d.因为，即所以，所以.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16练提升TIDHNEG1（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论【详解】解：令，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，则，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，由，若数列单调，则，全为正或全为负，由，则，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项故选：B.2（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）A72万元B96万元C120万元D144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为，所以，所以在各个区间中的元素个数分别为：，所以当时，的值域为，集合中元素个数为：，所以，所以，故选：D.4（2021·全国高三其他模拟（理）已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为_.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，得出最小值.【详解】由于即,解得,故,作函数的图象， 故的最小值可能为，或，而，故的最小值为.故答案为：8.5（2021·全国高三其他模拟（理）已知数列，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则_.【答案】3【解析】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.【详解】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，故该数列的前项的和为，解得.故答案为：36（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，求出，进而可出数列的通项公式；（2）由（1）可得，从而可求出【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7（2021·全国高三其他模拟（理）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列的前项和为，可得，因为，所以，解得，所以，因为当时，所以.当时，符合上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，可得，所以，所以，又由，可得，当时，满足上式，所以.所以，所以.8（2021·全国高三其他模拟（理）已知各项均为正数的数列满足，且，（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数 得则，所以数列是等差数列；（2），则公差，.9（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.【详解】（1）令，则，可得，得；当时，由可得，两式相减得，即，由数列的各项为正，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列即数列的通项公式为；（2）由得，则有，因为，因此，.10（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，.（）求和；（）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】（）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（）因为，所以 ，当时， -可得，即，而也满足，故.令，则，即，因为，依据指数增长性质，整数的最小值是11.练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是_【答案】【解析】因为，所以即故答案为：.2（2020·海南省高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.3.（2019·北京高考真题（理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】0. -10. 【解析】等差数列中,得,公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.4.（2021·全国高考真题（文）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列.5.（2021·全国高考真题（理）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.6.（2019·全国高考真题（文）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a1>0，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：