高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.11 导数在函数研究中的应用 Word版含答案.doc

淘宝店铺：漫兮教育第十一节导数在函数研究中的应用1函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)知识点一利用导数研究函数的单调性1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若f(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的(2)若f(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的(3)若f_(x)0，则f(x)在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f_(x)(2)在定义域内解不等式f_(x)>0或f_(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间易误提醒1在某个区间(a，b)上，若f(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数2若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立自测练习1函数f(x)xeln x的单调递增区间为()A(0，) B(，0)C(，0)和(0，) DR解析：函数定义域为(0，)，f(x)1>0，故单调增区间是(0，)答案：A2若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：知识点二利用导数研究函数的极值1函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点易误提醒f(x0)0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点；又如f(x)|x|，x0是它的极小值点，但f(0)不存在自测练习3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个C3个 D4个解析：导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2 B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3×(3)22×(3)a30，解得a5.答案：D考点一利用导数研究函数的单调性|(2015·高考全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(0，)单调递增若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在单调递增，在单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f>2a2等价于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)单调递增，g(1)0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在区间内f(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零1已知函数f(x)mln xx2(mR)，求函数f(x)的单调区间解：函数f(x)mln xx2的定义域是(0，)f(x)x.当m0时，f(x)x<0，函数f(x)mln xx2在(0，)上为减函数当m>0时，令f(x)0，得：x或(舍去)当x(0，)时，f(x)>0，f(x)在(0，)上是增函数当x(，)时，f(x)<0，f(x)在(，)上是减函数综上所述，当m0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，当m>0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)考点二已知单调性求参数范围|(2015·福州模拟)已知函数f(x)ax(aR)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1,1上为单调函数，求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x，f(x)(ex)23ex2(ex1)(ex2)，令f(x)0，得ex1或ex2，即x0或xln 2；令f(x)>0，得x<0或x>ln 2；令f(x)<0，则0<x<ln 2.f(x)在(，0，ln 2，)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减(2)f(x)a，令ext，由于x1,1，t.令h(t)，h(t)，当t时，h(t)<0，函数h(t)为单调减函数；当t(，e时，h(t)>0，函数h(t)为单调增函数故h(t)在上的极小值点为t.又h(e)<he，h(t)e.函数f(x)在1,1上为单调函数，若函数在1,1上单调递增，则a对t恒成立，所以a；若函数f(x)在1,1上单调递减，则a对t恒成立，所以ae，综上可得a 或ae.已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)，都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 2已知函数f(x)exax(aR，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a1，函数g(x)(xm)f(x)exx2x在(2，)上为增函数，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa.当a0时，f(x)>0，f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f(x)0得xln a，则当x(，ln a)时，f(x)<0，函数f(x)在(，ln a)上为减函数，当x(ln a，)时，f(x)>0，函数f(x)在(ln a，)上为增函数(2)当a1时，g(x)(xm)(exx)exx2x，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)xexmexm10在(2，)上恒成立，即m在(2，)上恒成立，令h(x)，x(2，)，h(x).令L(x)exx2，L(x)ex1>0在(2，)上恒成立，即L(x)exx2在(2，)上为增函数，即L(x)>L(2)e24>0，h(x)>0，即h(x)在(2，)上为增函数，h(x)>h(2)，m.考点三利用导数研究极值|设函数f(x)x2axb.讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，<x<.f(sin x)(2sin xa)cos x，<x<.因为<x<，所以cos x>0，2<2sin x<2.a2，bR时，函数f(sin x)单调递增，无极值a2，bR时，函数f(sin x)单调递减，无极值对于2<a<2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0a.<xx0时，函数f(sin x)单调递减；x0x<时，函数f(sin x)单调递增因此，2<a<2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb.3(2015·太原一模)已知函数f(x)(x2axa)exx2，aR.(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x0处取得极小值，求a的取值范围解：(1)由题意得f(x)x(x2a)ex2xex，xR，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)0在(0，)上恒成立，x2a在(0，)上恒成立，又函数g(x)x2在(0，)上单调递增，ag(0)0，a的取值范围是(，0(2)由(1)得f(x)xex，xR，令f(x)0，则x0或x2a0，即x0或g(x)a，g(x)x2在(，)上单调递增，其值域为R，存在唯一x0R，使得g(x0)a，若x0>0，当x(，0)时，g(x)<a，f(x)>0；当x(0，x0)时，g(x)<a，f(x)<0，f(x)在x0处取得极大值，这与题设矛盾若x00，当x(，0)时，g(x)<a，f(x)>0；当x(0，)时，g(x)>a，f(x)>0，f(x)在x0处不取极值，这与题设矛盾若x0<0，当x(x0,0)时，g(x)>a，f(x)<0；当x(0，)时，g(x)>a，f(x)>0，f(x)在x0处取得极小值综上所述，x0<0，ag(x0)<g(0)0，a的取值范围是(，0)8.分类讨论思想在导数中的应用【典例】(2015·贵阳期末)已知函数f(x)(aR，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围思维点拨(1)求f(x)后判断f(x)在(，)上的单调性，可求极值(2)分类讨论f(x)在(，)的单调性，利用极值建立所求参数a的不等式求解解(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a<0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)1>0，解得a>e2，所以此时e2<a<0；当a>0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极大值因为F(2)>F(1)>0，且F<<0，所以此时函数F(x)总存在零点(或：当x>2时，F(x)1>1，当x<2时，令F(x)1<0，即a(x1)ex<0，由于a(x1)ex<a(x1)e2，令a(x1)e20，得x1，即x1时，F(x)<0，即F(x)存在零点)综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)思想点评分类讨论思想在导数研究函数的应用中运用普遍常见的分类讨论点有：(1)f(x)0是否有根(2)若f(x)0有根，根是否在定义域内(3)若f(x)0有两根，两根大小比较问题.A组考点能力演练1(2015·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3 Byln(x)Cyxex Dyx解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.答案：D2(2016·厦门质检)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(0,1) B(0,1C(1，) D(0,2)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0<x1，所以函数的单调递减区间为(0,1答案：B3.已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx()A. B.C. D.解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1·x2，所以xx(x1x2)22x1·x24，故选C.答案：C4已知函数f(x)x，若f(x1)<f(x2)，则()Ax1>x2 Bx1x20Cx1<x2 Dx<x解析：因为f(x)xxf(x)，所以f(x)为偶函数由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)(*)又f(x)exx，当x0时，e2x(x1)x1e0(01)010，所以f(x)0，所以f(x)在0，)上为增函数，由(*)式得|x1|<|x2|，即x<x，故选D.答案：D5若函数f(x)x3tx23x在区间1,4上单调递减，则实数t的取值范围是()A. B(，3C. D3，)解析：f(x)3x22tx3，由于f(x)在区间1,4上单调递减，则有f(x)0在1,4上恒成立，即3x22tx30，即t在1,4上恒成立，因为y在1,4上单调递增，所以t，故选C.答案：C6(2016·九江一模)已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a，即a.答案：7设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是_解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法由f(x)3x24axa20得x1，x2a.又x1<2<x2，2<a<6.答案：(2,6)8(2015·兰州一模)若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2exax，f(x)2xexa，函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解，设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，解得xln 2，则当x<ln 2时，g(x)>0，g(x)单调递增，当x>ln 2时，g(x)<0，g(x)单调递减，当xln 2时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22.答案：(，2ln 22)9已知函数f(x)x2ln x1，g(x)ex(2ln xx)(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值解：(1)由题意得x>0，f(x)1.由函数f(x)在定义域上是增函数，得f(x)0，即a2xx2(x1)21(x>0)因为(x1)211(当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1，)(2)g(x)ex，由(1)得a2时，f(x)x2ln x1，且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x(0,1)时，f(x)<0，当x(1，)时，f(x)>0.所以，当x(0,1)时，g(x)>0，当x(1，)时，g(x)<0.故当x1时，g(x)取得最大值e.10(2015·安徽六校联考)设函数f(x)(x1)exkx2(其中kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k0，)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点解：(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2ln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的单调递减区间为0，ln 2，单调递增区间为(，0，ln 2，)f(x)的极大值为f(0)1，极小值为f(ln 2)(ln 2)22ln 22.(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，当x<1时，f(x)<0，所以f(x)在(，1)上无零点故只需证明函数f(x)在1，)上有且只有一个零点若k，则当x1时，f(x)0，f(x)在1，)上单调递增f(1)k0，f(2)e24ke22e>0，f(x)在1，)上有且只有一个零点若k，则f(x)在1，ln 2k上单调递减，在ln 2k，)上单调递增f(1)k<0，f(k1)kek1k(k1)2kek1(k1)2，令g(t)ett2，tk1>2，则g(t)et2t，g(t)et2，t>2，g(t)>0，g(t)在(2，)上单调递增g(t)>g(2)e24>0，g(t)在(2，)上单调递增g(t)>g(2)e24>0.f(k1)>0.f(x)在1，)上有且只有一个零点综上，当k0，)时，f(x)在R上有且只有一个零点B组高考题型专练1(2015·高考重庆卷)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，所以3a·2·0，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x<4时，g(x)<0，故g(x)为减函数；当4<x<1时，g(x)>0，故g(x)为增函数；当1<x<0时，g(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g(x)>0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数2(2015·高考安徽卷)已知函数f(x)(a>0，r>0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解：(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当x<r或x>r时，f(x)<0，当r<x<r时，f(x)>0，因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)上的极大值为f(r)100.3(2016·宁夏银川一中联考)函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)2x，令f(x)0，x>0，x1.x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减1单调递增f(x)的极小值为1，无极大值(2)k(x)f(x)h(x)2ln xxa，k(x)1.若k(x)0，则x2.当x1,2)时，k(x)<0；当x(2,3时，k(x)>0.故k(x)在x1,2)上单调递减，在x(2,3上单调递增实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3