高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.2 两直线的位置关系 Word版含答案.doc

淘宝店铺：漫兮教育第二节两直线的位置关系两条直线的位置关系(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(2)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(3)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知识点一两直线的位置关系斜截式一般式方程yk1xb1 yk2xb2A1xB1yC10(AB0) A2xB2yC20(AB0)相交k1k2A1B2A2B10垂直k1或k1·k21A1A2B1B20平行k1k2且b1b2或易误提醒两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况自测练习1已知直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，则实数m的取值为()AB.C2 D2解析：因为直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，所以0，解得m，故选A.答案：A2直线2xmy2m4与直线mx2ym2垂直的充要条件是()Am2 Bm2Cm0 DmR解析：由题意得，2m2m0，得m0.故选C.答案：C知识点二两直线的交点设两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立必记结论(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(3)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)自测练习3过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_解析：联立得交点P(1，3)设过点P且与直线3xy10平行的直线方程为3xym0，则3×13m0，解得m0.答案：3xy0知识点三几种距离1平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP| .2点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.易误提醒在解题过程中，点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式特别是在两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等自测练习4过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：当所求直线l与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大kOA2，kl.所求直线方程为：y2(x1)即x2y50.答案：A5已知两平行线l1：2x3y6，l2：2x3y10，则l1与l2间距离为_解析：d.答案：考点一两直线的位置关系|1(2016·安阳模拟)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：若a1，则直线l1：x2y10，直线l2：x2y40，故两直线平行；若直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行，则，解得a1或a2.故“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件答案：A2直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：由条件知kl，l：y2(x1)，即3x2y10，选A.答案：A3已知a0，直线ax(b2)y40与直线ax(b2)y30互相垂直，则ab的最大值为()A0 B2C4 D.解析：由直线垂直可得a2(b2)(b2)0，变形可得a2b24，由基本不等式可得4a2b22ab，ab2，当且仅当ab时取等号，ab的最大值为2.答案：B判断两直线平行或垂直的两个策略(1)设A2B2C20，两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的充要条件为.更一般地，两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的充要条件为A1B2A2B10，A1C2A2C10.(2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系，注意斜率不存在的情况不能忽略考点二距离问题|直线l经过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程解当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点A到直线l的距离为d11，点B到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在直线l过点P(2，5)，设直线l的方程为y5k(x2)即kxy2k50.点A(3，2)到直线l的距离d1，点B(1,6)到直线l的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为xy30和17xy290.求解距离问题的注意点解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在设a，b是关于x的方程x2sin xcos 20(R)的两个互异实根，直线l过点A(a，a2)，B(b，b2)，则坐标原点O到直线l的距离是()A2B2|tan |C. D2|sin cos |解析：由二元一次方程根与系数的关系可得直线l的斜率kab，故直线l的方程为ya2(ab)(xa)，即(ab)xyab0.故原点O到直线l的距离d2.答案：A考点三对称问题|对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型归纳起来常见的命题角度有：1点关于点对称2点关于线对称3线关于线对称4对称问题的应用探究一点关于点的对称问题1已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为()A11B10C9 D8解析：依题意a2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(2y，y)，故则A(4,8)，B(4,2)，所以|AB|10，故选B.答案：B探究二点关于线对称问题2已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小解：设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解方程组得故所求的点P的坐标为(2,3)探究三线关于线对称问题3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(2)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(2)在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(1，2)的对称点M，N均在直线l上易得M(3，5)，N(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3y90.探究四对称问题的应用4光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决18.忽视斜率不存在致误【典例】直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_解析法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案x3y50或x1易误点评易漏掉k不存在这一情形防范措施在求直线方程时，不论是平行、垂直还是距离问题都应数形结合判断直线的斜率是否存在跟踪练习已知点P(a,2)(a<2)到直线x2的距离为1，则点P到直线 xy20的距离为_解析：由已知2a1，解得a1.所以P(1,2)故点P到直线xy20的距离为d.答案：A组考点能力演练1(2016·南宁模拟)与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为3x4(y)50.即3x4y50.答案：A2(2015·浙江名校联考)已知直线l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若a1，则l1：x3y20，l2：3xy10，显然两条直线垂直；若l1l2，则(a2)a(a2)0，a1或a2，因此，“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3直线axby10在y轴上的截距为1，且与直线x3y10垂直，则ab等于()A. BC4 D2解析：由题意知解得所以ab4.答案：C4若三条直线x2y30,3x4y210,2x3yk0交于一点，则k的值等于()A13 B14C15 D16解析：由得交点P(3,3)，代入2x3yk0，得k15.答案：C5(2016·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A. B5C. D15解析：设P1P2中点P(x，y)，则x，y.x1y150，x2y2150.(x1x2)(y1y2)20即xy10.yx10.P(x，x10)P到原点的距离d 5.答案：B6若过点A(2，m)，B(m,4)的直线与直线2xy20平行，则m的值为_解析：过点A，B的直线平行于直线2xy20，kAB2，解得m8.答案：87(2016·重庆检测)已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析：直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案：8直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_解析：由解得直线l1与l的交点坐标为(2，1)，可设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，直线l2的方程为x2y0.答案：x2y09已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程解：设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)kPP·kl1，即×31.又PP的中点在直线3xy30上，3×30.由得(1)把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.10(2016·东营模拟)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a>1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l的方程解：(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a20，解得a2，此时直线l的方程为xy0，即xy0；当直线l不经过坐标原点，即a2且a1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M，N(0,2a)，因为a>1，所以SOMN××(2a)××2，当且仅当a1，即a0时等号成立此时直线l的方程为xy20.B组高考题型专练1(2014·高考福建卷)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析：依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y3x0，即xy30，故选D.答案：D2(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1C2 D.解析：由切线与直线axy10垂直，得过点P(2，2)与圆心(1,0)的直线与直线axy10平行，所以a，解得a2.答案：C3(2015·高考广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：设所求直线的方程为2xyc0(c1)，则，所以c±5，故所求直线的方程为2xy50或2xy50.答案：A4(2015·高考湖南卷)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r>0)相交于A，B两点，且AOB120°(O为坐标原点)，则r_.解析：圆x2y2r2的圆心为原点，则圆心到直线3x4y50的距离为1，在OAB中，点O到边AB的距离drsin 30°1，所以r2.答案：2