2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程.doc

第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程 一、知识梳理 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 (3)范围：直线 l 的倾斜角的范围是0，) 2直线的斜率 (1)直线 l 的倾斜角为 2，则 l 的斜率 ktan_ (2)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1x2x1 3直线方程的五种形式 名称 方程形式 适用条件 点斜式 yy0k(xx0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 ykxb 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不能表示平行于坐标轴的直线 截距式 xayb1 不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线 一般式 AxByC0(A，B 不同时为零) 可以表示所有类型的直线 常用结论 1直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 (2)不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 ktan ，当 0，2时， 越大，斜率 k就越大，同样 2， 时也是如此，但当 0，)且 2时就不是了 2识记几种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y0. (2)y 轴：x0. (3)平行于 x 轴的直线：yb(b0) (4)平行于 y 轴的直线：xa(a0) (5)过原点且斜率存在的直线：ykx. 二、教材衍化 1经过点 P(2，3)，倾斜角为 45 的直线方程为_ 答案：xy50 2经过点 A(1，0)，B(2，2)两点的直线方程为_ 答案：2x3y20 3若过点 M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为_ 解析：由题意得m42m1，解得 m1. 答案：1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (2)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( ) (4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示( ) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对倾斜角的取值范围不清楚； (2)忽略截距为 0 的情况 1直线 x 3y10 的倾斜角是( ) A6 B3 C23 D56 解析：选 D由直线的方程得直线的斜率为 k33，设倾斜角为 ，则 tan 33， 所以 56. 2过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 解析：当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x2y0；当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得 a5.所以直线方程为 xy50. 答案：3x2y0 或 xy50 考点一 直线的倾斜角与斜率(基础型) 复习指导| 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 核心素养：数学抽象，数学运算 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( ) A)0， B0，434， C0，4 D0，42， (2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ 【解析】 (1)设直线的倾斜角为， 则有tan sin .因为sin 1， 1， 所以1tan 1，又 0，)，所以 04或34，故选 B (2)如图，因为 kAP10211，kBP3001 3， 所以直线 l 的斜率 k(， 3 )1， . 【答案】 (1)B (2)(， 3 )1， 【迁移探究 1】 (变条件)若本例(1)的条件变为：直线 2xcos y306，3的倾斜角的变化范围为_ 解析：直线 2xcos y30 的斜率 k2cos .由于 6，3，所以12cos 32，因 此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3由于 0，)，所以4，3，即倾斜角的变化范围是4，3. 答案：4，3 【迁移探究 2】 (变条件)若将本例(2)中 P(1，0)改为 P(1，0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解：因为 P(1，0)，A(2，1)，B(0， 3)，所以 kAP102(1)13，kBP300(1) 3. 由图可知，直线 l 斜率的取值范围为13， 3 . (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 求出斜率 ktan 的取值范围； 利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围 求倾斜角时要注意斜率是否存在 (2)斜率的求法 定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 求斜率； 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率 1若点 A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则 a 的值为_ 解析：因为 kAC53641，kABa354a3. 由于 A，B，C 三点共线， 所以 a31，即 a4. 答案：4 2 若直线l的斜率为k， 倾斜角为， 且6，423， ， 则k的取值范围是_ 解析：当 6，4时，ktan 33，1 ； 当 23， 时，ktan 3，0) 综上得 k 3，0)33，1 . 答案： 3，0)33，1 考点二 直线的方程(基础型) 复习指导| 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系 核心素养：数学运算 (1)若直线过点 A(1，3)，且斜率是直线 y4x 的斜率的13，则该直线的方程为_ (2)若直线经过点 A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为_ 【解析】 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k41343.又直线经过点 A(1，3)，因此所求直线的方程为 y343(x1)，即 4x3y130. (2)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5，2)代入 ykx中，得 k25，此时，直线方程为 y25x，即 2x5y0. 当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x2aya1， 将(5，2)代入所设方程，解得 a12，此时，直线方程为 x2y10. 综上所述，所求直线的方程为 x2y10 或 2x5y0. 【答案】 (1)4x3y130 (2)x2y10 或 2x5y0 巧设直线方程的方法 (1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况； (3)当题目涉及直线在 x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在 x 轴、y 轴上的截距为 0 的情况； (4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程 注意 (1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为 0 时，可将直线方程设为 xmya； (2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为 ykxa； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为 ykx. 1已知ABC 的三个顶点坐标为 A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为 AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( ) A2xy120 B2xy120 C2xy80 D2xy80 解析：选 C由题知 M(2，4)，N(3，2)，中位线 MN 所在直线的方程为y424x232，整理得 2xy80. 2经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为_ 解析：由题意可知，所求直线的斜率为 1. 又过点(3，4)，由点斜式得 y4 (x3) 所求直线的方程为 xy10 或 xy70. 答案：xy10 或 xy70 考点三 直线方程的综合应用(综合型) 复习指导| 求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值 (一题多解)已知直线 l 过点 M(2，1)，且分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A，B 两点，O 为原点，当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程 【解】 法一： 设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)， A21k，0 ， B(0， 12k)， SAOB12(12k)21k124(4k)1k12(44)4，当且仅当4k1k，即 k12时，等号成立故直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y40. 法二：设直线 l：xayb1，且 a0，b0，因为直线 l 过点 M(2，1)，所以2a1b1，则 12a1b22ab，故 ab8，故 SAOB的最小值为12ab1284，当且仅当2a1b12时取等号，此时 a4，b2，故直线 l 为x4y21，即 x2y40. 【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程 解：由本例法二知，2a1b1，a0，b0， 所以|OA|OB|ab(ab)2a1b 3ab2ba32 2， 当且仅当 a2 2，b1 2时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x 2y2 2. 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_ 解析：直线方程可化为x2y1，故直线与 x 轴的交点为 A(2，0)，与 y 轴的交点为 B(0，1)， 由动点 P(a，b)在线段 AB 上， 可知 0b1，且 a2b2， 从而 a22b，故 ab(22b)b2b22b2b12212， 由于 0b1， 故当 b12时，ab 取得最大值12. 答案：12 基础题组练 1倾斜角为 120 ，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是( ) A 3xy10 B 3xy 30 C 3xy 30 D 3xy 30 解析：选 D由于倾斜角为 120 ，故斜率 k 3.又直线过点(1，0)，所以方程为 y 3(x1)，即 3xy 30. 2直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足( ) Aab0，bc0 Bab0，bc0 Cab0，bc0 Dab0，bc0 解析：选 A由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为 yabxcb.易知ab0 且cb0，故 ab0，bc0. 3 (多选)过点 A(1， 2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零， 则该直线方程可能为( ) Axy10 Bxy30 C2xy0 Dxy10 解析：选 AC当直线过原点时，可得斜率为20102，故直线方程为 y2x，即 2xy0.当直线不过原点时，设直线方程为xaya1，代入点(1，2)，可得1a2a1，解得 a1，所以直线方程为 xy10，故所求直线方程为 2xy0 或 xy10.故选 AC 4直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是( ) A2，2 B(，22，) C2，0)(0，2 D(，) 解析：选 C令 x0，得 yb2， 令 y0，得 xb， 所以所求三角形的面积为12b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以 b 的取值范围是2，0)(0，2 5在等腰三角形 MON 中，MOMN，点 O(0，0)，M(1，3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为( ) A3xy60 B3xy60 C3xy60 D3xy60 解析：选 C因为 MOMN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以 kMNkMO3，所以直线 MN 的方程为 y33(x1)，即 3xy60，选 C 6已知三角形的三个顶点 A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为_ 解析：BC 的中点坐标为32，12，所以 BC 边上中线所在直线方程为y0120 x5325，即 x13y50. 答案：x13y50 7直线 l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为 B(1，4)，D(5，0)， 则直线 l 的方程为_ 解析：直线 l 平分ABCD 的面积，则直线 l 过 BD 的中点(3，2)，则直线 l：y23x. 答案：y23x 8 设点A(1， 0)， B(1， 0)， 直线2xyb0与线段AB相交， 则b的取值范围是_ 解析：b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 A(1，0)和点 B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值所以 b 的取值范围是2，2 答案：2，2 9已知ABC 的三个顶点分别为 A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解：(1)因为直线 BC 经过 B(2，1)和 C(2，3)两点， 所以 BC 的方程为y131x222， 即 x2y40. (2)由(1)知，直线 BC 的斜率 k112， 则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22. 因为 BC 边的垂直平分线 DE 经过 BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为 y22(x0)， 即 2xy20. 10已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(3，4)； (2)斜率为16. 解：(1)设直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是4k3，3k4，由已知，得(3k4)4k3 6，解得 k123或 k283. 故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y16xb，它在 x 轴上的截距是6b， 由已知，得|6b b|6， 所以 b 1. 所以直线 l 的方程为 x6y60 或 x6y60. 综合题组练 1直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A1k15 Bk1 或 k12 Ck15或 k1 Dk12或 k1 解析：选 D设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，令 y0，得直线 l 在 x轴上的截距为 12k， 则312k3，解得 k12或 k1. 2若直线 l：kxy24k0(kR)交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，则当AOB 的面积取最小值时直线 l 的方程为( ) Ax2y40 Bx2y80 C2xy40 D2xy80 解析：选 B由 l 的方程，得 A24kk，0 ，B(0，24k) 依题意得24kk0，24k0，解得k0.因为S12|OA| |OB|1224kk |24k|12(24k)2k1216k4k16 12(2816)16，当且仅当 16k4k，即 k12时等号成立此时 l 的方程为x2y80.3.已知实数 x，y 满足 yx22x2(1x1)，则y3x2的最大值为_，最小值为_ 解析： 如图， 作出 yx22x2(1x1)的图象(曲线段 AB)， 则y3x2表示定点 P(2，3)和曲线段 AB 上任一点(x，y)的连线的斜率 k，连接 PA，PB，则 kPAkkPB. 易得 A(1，1)，B(1，5)，所以 kPA1(3)1(2)43，kPB5(3)1(2)8，所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43. 答案：8 43 4已知直线 l：xmy 3m0 上存在点 M 满足与两点 A(1，0)，B(1，0)连线的斜率 kMA与 kMB之积为 3，则实数 m 的取值范围是_ 解析：设 M(x，y)，由 kMAkMB3，得yx1yx13，即 y23x23. 联立xmy 3m0，y23x23，得1m23 x22 3mx60. 要使直线 l：xmy 3m0 上存在点 M 满足与两点 A(1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与 kMB之积为 3，则 2 3m2241m23 0，即 m216.所以实数 m 的取值范围是，6666， . 答案：，6666， 5已知直线 l 过点(2，1)，且在 x，y 轴上的截距相等 (1)求直线 l 的一般方程； (2)若直线 l 在 x，y 轴上的截距不为 0，点 P(a，b)在直线 l 上，求 3a3b的最小值 解：(1)截距为 0 时，k102012， 所以 l：y12x，即 x2y0； 截距不为 0 时，设直线方程为xtyt1，将(2，1)代入，计算得 t3，则直线方程为 xy30. 综上，直线 l 的方程为 x2y0 或 xy30. (2)由题意得 l 的方程为 xy30， 因为点 P(a，b)在直线 l 上，所以 ab3， 所以 3a3b2 3a3b2 3ab6 3， 当且仅当 ab32时等号成立， 所以 3a3b的最小值是 6 3. 6(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量 AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 E(30，0)，F(0，20)， 所以直线 EF 的方程为x30y201(0 x30) 易知当矩形草坪的一个顶点在 EF 上时，可取最大值， 在线段 EF 上取点 P(m，n)，作 PQBC 于点 Q，PRCD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S， 则 S|PQ| |PR|(100m)(80n) 又m30n201(0m30)， 所以 n2023m. 所以 S(100m)802023m 23(m5)218 0503(0m30) 所以当 m5 时，S 有最大值，这时|EP|PF|51. 所以当矩形草坪的两边在 BC，CD 上，一个顶点在线段 EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成 51 时，草坪面积最大