2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案.doc

1 第二节第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养 2了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1公理公理 13 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 公理公理1 如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那么这在一个平面内，那么这条直线在此平面内条直线在此平面内 AlBlAB l 公理公理2 过过不在一条直线上不在一条直线上的三的三点，有且只有一个平面点，有且只有一个平面 A，B，C 三点不共线三点不共线有且只有一个平面有且只有一个平面 ， 使， 使A，B，C 公理公理3 如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它有一个公共点，那么它们有且只有们有且只有一条一条过该点过该点的公共直线的公共直线 P，且，且 Pl，且，且 Pl 提醒提醒 公理公理 1 是判断一条直线是否在某个平面内的依据， 公理是判断一条直线是否在某个平面内的依据， 公理 2 及其推论是判断或证明及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理点、线共面的依据，公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据是证明三线共点或三点共线的依据 2公理公理 2 的三个推论的三个推论 推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论推论 2：经过两条：经过两条相交相交直线有且只有一个平面；直线有且只有一个平面； 推论推论 3：经过两条：经过两条平行平行直线有且只有一个平面直线有且只有一个平面 3空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：位置关系分类： 位置关系位置关系 共面直线共面直线 相交相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在异面直线：不同在任何一个平面任何一个平面内，没有公共点内，没有公共点. (2)平行公理平行公理(公理公理 4)和等角定理：和等角定理： 2 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补相等或互补 4异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点，经过空间任一点 O 作直线作直线 aa，bb，把，把 a与与 b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线 a 与与 b 所成的角所成的角(或夹角或夹角) (2)范围：范围： 0，2. 5空间中直线与平面、平面与平面的位置关系空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内在平面内三种情况三种情况 (2)平面与平面的位置关系有平面与平面的位置关系有平行平行、相交相交两种情况两种情况 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系)已知已知 a，b 是异面直线，直线是异面直线，直线 c 平行于直线平行于直线 a，那么，那么 c 与与 b( ) A一定是异面直线一定是异面直线 B一定是相交直线一定是相交直线 C不可能是平行直线不可能是平行直线 D不可能是相交直线不可能是相交直线 解析：解析：选选 C 假设假设 cb，又因为，又因为 ca，所以，所以 ab，这与，这与 a，b 是异面直线矛盾，故是异面直线矛盾，故 c 与与 b不可能平行不可能平行 2(确定平面的依据确定平面的依据)下列命题正确的是下列命题正确的是( ) A经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面 B经过一条直线和一个点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面 C四边形确定一个平面四边形确定一个平面 D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 解析：解析：选选 D A 选项考查公理选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空选项中的四边形有可能是空间四边形，只有间四边形，只有 D 是正确的是正确的 3(异面直线所成角异面直线所成角)如图所示，在正方体如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，中，E，F 分别分别是是 AB，AD 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 B1C 与与 EF 所成角的大小为所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 解析：解析：选选 C 连接连接 B1D1，D1C(图略图略)，则，则 B1D1EF，故，故D1B1C 为所求的角，又为所求的角，又 B1D1B1CD1C， D1B1C60 . 4(平面的基本性质及推论平面的基本性质及推论)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是四边形一定是( ) 3 A梯形梯形 B矩形矩形 C菱形菱形 D正方形正方形 解析：解析：选选 B 如图所示，易证四边形如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形，因为为平行四边形，因为 E，F 分分别为别为 AB，BC 的中点，所以的中点，所以 EFAC，又，又 FGBD，所以，所以EFG 或其补角或其补角为为 AC 与与 BD 所成的角，而所成的角，而 AC 与与 BD 所成的角为所成的角为 90 ，所以，所以EFG90 ，故四边形故四边形 EFGH 为矩形为矩形 二、易错点练清二、易错点练清 1(误解异面直线的概念误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法正确的是下列关于异面直线的说法正确的是( ) A若若 a，b，则，则 a 与与 b 是异面直线是异面直线 B若若 a 与与 b 异面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面异面 C若若 a，b 不同在平面不同在平面 内，则内，则 a 与与 b 异面异面 D若若 a，b 不同在任何一个平面内，则不同在任何一个平面内，则 a 与与 b 异面异面 解析：解析：选选 D A、B、C 中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知 D 说法说法正确正确 2 (忽视直线在平面内忽视直线在平面内)若直线若直线ab， 且直线且直线a平面平面， 则直线， 则直线b与平面与平面的位置关系是的位置关系是( ) Ab Bb Cb 或或 b Db 与与 相交或相交或 b 或或 b 解析：解析：选选 D 将直线与平面放在正方体中，易知将直线与平面放在正方体中，易知 b 与与 相交或相交或 b 或或 b 都可以都可以 3 (忽视异面直线所成角的范围忽视异面直线所成角的范围)如图所示， 已知在长方体如图所示， 已知在长方体 ABCD- EFGH 中，中，AB2 3，AD2 3，AE2，则，则 BC 和和 EG 所成角的大小是所成角的大小是_；AE 和和 BG 所成角的大小是所成角的大小是_ 解析：解析：BC 与与 EG 所成的角等于所成的角等于 EG 与与 FG 所成的角，即所成的角，即EGF，tanEGFEFFG1，EGF45 .AE 与与 BG 所成的角等于所成的角等于 BF 与与 BG 所成的角，即所成的角，即GBF，tanGBFGFBF2 32 3，GBF60 . 答案：答案：45 60 考点一考点一 平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用 典例典例 如图，在正方体如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，中，E，F 分别是分别是 AB 和和 AA1的中点求证：的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面；四点共面； 4 (2)CE，D1F，DA 三线共点三线共点 证明证明 (1)如图所示，连接如图所示，连接 CD1，EF，A1B，因为，因为 E，F 分别是分别是 AB和和 AA1的中点，的中点， 所以所以 EFA1B 且且 EF12A1B. 又因为又因为 A1D1綊綊 BC， 所以四边形所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以是平行四边形，所以 A1BCD1， 所以所以 EFCD1， 所以所以 EF 与与 CD1确定一个平面确定一个平面 . 所以所以 E，F，C，D1，即，即 E，C，D1，F 四点共面四点共面 (2)由由(1)知知 EFCD1且且 EF12CD1， 所以四边形所以四边形 CD1FE 是梯形，是梯形， 所以所以 CE 与与 D1F 必相交，设交点为必相交，设交点为 P， 则则 PCE平面平面 ABCD， 且且 PD1F平面平面 A1ADD1， 所以所以 P平面平面 ABCD，且，且 P平面平面 A1ADD1. 又因为平面又因为平面 ABCD平面平面 A1ADD1AD， 所以所以 PAD，所以，所以 CE，D1F，DA 三线共点三线共点 方法技巧方法技巧 1证明点或线共面问题的证明点或线共面问题的 2 种方法种方法 (1)首先由所给条件中的部分线首先由所给条件中的部分线(或点或点)确定一个平面，然后再证其余的线确定一个平面，然后再证其余的线(或点或点)在这个平面在这个平面内；内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 2证明点共线问题的证明点共线问题的 2 种方法种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线如某两个平面的交线)上上 3证明线共点问题的常用方法证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 针对训练针对训练 1.如图所示，如图所示，ABCD- A1B1C1D1是长方体，是长方体，O 是是 B1D1的中点，直线的中点，直线 A1C交平面交平面 AB1D1于点于点 M，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ) AA，M，O 三点共线三点共线 BA，M，O，A1不共面不共面 5 CA，M，C，O 不共面不共面 DB，B1，O，M 共面共面 解析：解析：选选 A 连接连接 A1C1，AC，则，则 A1C1AC， A1，C1，A，C 四点共面，四点共面， A1C平面平面 ACC1A1， MA1C，M平面平面 ACC1A1， 又又 M平面平面 AB1D1， M 在平面在平面 ACC1A1与平面与平面 AB1D1的交线上的交线上 同理同理 A，O 在平面在平面 ACC1A1与平面与平面 AB1D1的交线上，的交线上， A，M，O 三点共线三点共线 2.如图，在空间四边形如图，在空间四边形 ABCD 中，中，E，F 分别是分别是 AB，AD 的中点，的中点，G，H分别在分别在 BC，CD 上，且上，且 BGGCDHHC12. (1)求证：求证：E，F，G，H 四点共面；四点共面； (2)设设 EG 与与 FH 交于点交于点 P，求证：，求证：P，A，C 三点共线三点共线 证明：证明：(1)E，F 分别为分别为 AB，AD 的中点，的中点，EFBD. 在在BCD 中，中，BGGCDHHC12， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面四点共面 (2)EGFHP， PEG，EG平面平面 ABC， P平面平面 ABC.同理同理 P平面平面 ADC. P 为平面为平面 ABC 与平面与平面 ADC 的公共点的公共点 又平面又平面 ABC平面平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线三点共线 考点二考点二 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 典例典例 (1)(多选多选)下列结论正确的是下列结论正确的是( ) A在空间在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行中，若两条直线不相交，则它们一定平行 B平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行 C一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交 D空间中四条直线空间中四条直线 a，b，c，d，如果，如果 ab，cd，且，且 ad，那么，那么 bc (2)已知已知 是一个平面，是一个平面，m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线，A 是一个点，若是一个点，若 m ，n，且，且 Am，A，则，则 m，n 的位置关系不可能是的位置关系不可能是( ) A垂直垂直 B相交相交 6 C异面异面 D平行平行 解析解析 (1)若两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面，若两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面，A 错误；由公理错误；由公理 4 可知可知 B正确；若一条直线和两条平行正确；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面，面，C 错误；由平行直线的传递性可知错误；由平行直线的传递性可知 D 正确故选正确故选 B、D. (2) 是一个平面，是一个平面，m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线，A 是一个点，是一个点，m ，n，且，且 Am，A，A 在平面在平面 内，内，m 与平面与平面 相交相交 Am，A，A 是是 m 和平面和平面 的交点，的交点，m 和和 n 异面或相交异面或相交(特殊情况可垂直特殊情况可垂直)，但一，但一定不平行定不平行 答案答案 (1)BD (2)D 方法技巧方法技巧 空间两直线位置关系的判定方法空间两直线位置关系的判定方法 针对训练针对训练 1(多选多选)(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中中( ) AAECD BCHBE CDGBH DBGDE 解析：解析：选选 BCD 还原正方体直观图如图，还原正方体直观图如图， 可知可知 AE 与与 CD 为异面直线，故选项为异面直线，故选项 A 不正确；不正确； 由由 EH 綊綊 BC，可得，可得 CHBE，故选项，故选项 B 正确；正确； 正方体中易得正方体中易得 DG平面平面 BCH，所以有，所以有 DGBH， 故选项故选项 C 正确；正确； 因为因为 BGAH 且且 DEAH，所以，所以 BGDE，故选项，故选项 D 正确正确 2(多选多选)如图是正四面体的平面展开图，如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为分别为 DE， 7 BE，EF，EC 的中点，则在这个正四面体中的中点，则在这个正四面体中( ) AGH 与与 EF 平行平行 BBD 与与 MN 为异面直线为异面直线 CGH 与与 MN 成成 60 角角 DDE 与与 MN 垂直垂直 解析：解析：选选 BCD 还原成正四面体还原成正四面体 A- DEF 如图所示，其中如图所示，其中 H 与与 N 重重合，合，A，B，C 三点重合，易知三点重合，易知 GH 与与 EF 异面，异面，BD 与与 MN 异面连异面连接接 GM，GMH 为等边三角形，为等边三角形，GH 与与 MN 成成 60 角由图易得角由图易得DEAF，又，又 MNAF，MNDE，因此正确的选项是，因此正确的选项是 B、C、D. 考点三考点三 异面直线所成的角异面直线所成的角 典例典例 (1)在正三棱柱在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，若中，若 AA12AB，D 是是 AA1的中点，则的中点，则 BD 与与 A1C1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ) A.12 B.24 C.22 D.2 23 (2)(2021 岳阳联考岳阳联考)在四面体在四面体 ABCD 中，中，BDAD，CDAD，BDBC，BDAD1，BC2，则异面直线，则异面直线 AB 与与 CD 所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ) A.105 B.3 1010 C.155 D.1010 解析解析 (1)如图如图，取取 CC1的中点的中点 M，连接连接 DM，BM.由于由于 D 为为 AA1的中点的中点，所以所以DMA1C1， 所以所以BDM或其补角为异面直线或其补角为异面直线BD与与A1C1所成的角 设所成的角 设AA12AB2，则则 ADAB1.因为三棱柱因为三棱柱 ABC- A1B1C1为正三棱柱为正三棱柱，所以所以BD 2，DM1，BM 2. 在在BDM 中中，cosBDMBD 2DM 2BM 22BD DM 2 212 2 22 2124，故选故选 B. (2)如图如图，在平面在平面 BCD 内内，过点过点 D 作作 BC 的平行线与过点的平行线与过点 B 所作所作 CD 的的平行线相交于平行线相交于 E，连接连接 AE，则四边形则四边形 BCDE 为平行四边形为平行四边形，所以所以 DEBC2， 且且ABE 或其补角为异面直线或其补角为异面直线 AB 与与 CD 所成的角 因为所成的角 因为 ADBD， ADCD， BDCDD， 所以所以 AD平面平面 BCD， 则则 ADDE， 所以所以 AE AD2DE2 5，易知易知 AB AD2BD2 2.因为因为 BDBC，所以所以 DC BD2BC2 5，则则 BECD 5，于是在于是在ABE 中中，由余弦定理由余弦定理， 8 得得 cosABEAB2BE2AE22AB BE2552 2 51010， 故选故选 D. 答案答案 (1)B (2)D 方法技巧方法技巧 平移法求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的步骤 平移平移 平移的方法一般有三种类型：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点利用特殊点(线段线段的端点或中点的端点或中点)作平行线平移；作平行线平移；(3)补形平移补形平移 证明证明 证明所作的角是异面直线所成的角或其补角证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 寻找寻找 在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 取舍取舍 因为异面直线所成角因为异面直线所成角 的取值范围是的取值范围是 0 90 ，所以所作的角为钝角时，应取它，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角的补角作为异面直线所成的角 针对训练针对训练 1在长方体在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，中，AB1，AD2，AA13，则异面直线，则异面直线 A1B1与与 AC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为( ) A.1414 B.8 314 C.1313 D.13 解析：解析：选选 A C1D1A1B1，异面直线异面直线 A1B1与与 AC1所成的角即为所成的角即为 C1D1与与 AC1所成的角，所成的角，即即AC1D1或其补角或其补角 连接连接 AD1，易知，易知 AD1C1D1.在在 RtAC1D1中，中，C1D11，AD1 2232 13，AC1122232 14，cosAC1D1C1D1AC11141414. 2已知已知 A，B 两点都在以两点都在以 PC 为直径的球为直径的球 O 的表面上，的表面上，ABBC，AB2，BC4.若球若球 O的体积为的体积为 8 6，则异面直线，则异面直线 PB 与与 AC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_ 解析：解析：由题意得三棱锥由题意得三棱锥 P- ABC，如图所示，其中，如图所示，其中 PAAC，PBBC，ABBC. 过点过点 A 作作 BC 的平行线，过点的平行线，过点 B 作作 AC 的平行线，两线交于点的平行线，两线交于点 D， 则异面直线则异面直线 PB 与与 AC 所成角为所成角为PBD(或其补角或其补角) 由由 PBBC， ABBC， PBABB， 得， 得 BC平面平面 PAB， 即， 即 BCPA， 又， 又 PAAC， BCACC， PA平面平面 ACBD，PAAD. 计算可得计算可得 AC2 5BD， 9 设球设球 O 的半径为的半径为 R，则，则43R38 6， R 6，PC2 6，PA2， PB2 2，PD2 5. 取取 PB 的中点的中点 E，连接，连接 DE，PDBD，DEPB， cosPBDBEBD22 51010， 即异面直线即异面直线 PB 与与 AC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1010. 答案：答案：1010 创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 异面直线所成角的解法探究异面直线所成角的解法探究 典例典例 正方体正方体 ABCD- A1B1C1D1中，中，P 为为 BC1的中点，的中点，Q 为为 A1D 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 DP与与 C1Q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_ 思路点拨思路点拨 在正方体中求异面直线所成角的余弦值，考虑到正方体的特征，可以用平移直在正方体中求异面直线所成角的余弦值，考虑到正方体的特征，可以用平移直线法求解；或建立空间直角坐标系，利用坐标法求解；或利用基向量法求解；或利用三余线法求解；或建立空间直角坐标系，利用坐标法求解；或利用基向量法求解；或利用三余弦定理法求解弦定理法求解 解析解析 法一：平移直线法法一：平移直线法 如图所示，连接如图所示，连接 CB1，QB1， 因为四边形因为四边形 BCC1B1为正方形，为正方形，P 为为 BC1的中点，所以的中点，所以 B1P12B1C. 因为因为 A1B1CD 且且 A1B1CD， 所以四边形所以四边形 CDA1B1为平行四边形，为平行四边形， 所以所以 B1CA1D 且且 B1CA1D， 又又 Q 为为 A1D 的中点，所以的中点，所以 B1PQD 且且 B1PQD， 所以四边形所以四边形 DPB1Q 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 B1QDP， 所以所以B1QC1或其补角为异面直线或其补角为异面直线 DP 与与 C1Q 所成的角所成的角 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2，在，在 RtB1A1Q 中，中， B1QA1Q2A1B21 24 6； 同理可得同理可得 C1Q 6. 在在B1C1Q 中，中，cosB1QC1B1Q2C1Q2B1C212B1QC1Q6642 6 623， 10 故异面直线故异面直线 DP 与与 C1Q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23. 法二：坐标法法二：坐标法 以以 D 为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD1 的方向为的方向为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz. 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2，则各点的坐标为，则各点的坐标为 D(0,0,0)，P(1,2,1)，Q(1,0,1)，C1(0,2,2)， 所以所以 DP (1,2,1)，C1Q (1，2，1)， 所以所以 cos DP ，C1Q DP C1Q | DP |C1Q |1416 623. 所以异面直线所以异面直线 DP 与与 C1Q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23. 法三：基向量法法三：基向量法 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2，DA a a，DC b b，DD1 c c， 则则 DP b b12(a ac c)12a ab b12c c， C1Q b b12(a ac c)12a ab b12c c. 由直线由直线 DA，DC，DD1两两垂直得两两垂直得 a a b bb b c ca a c c0， 所以所以 DP C1Q 12a2 b12c2 14a a2b b214c c214222214224， | DP | 14a2b214c2 6， |C1Q | 14a2b214c2 6， 所以所以 cos DP ，C1Q DP C1Q | DP |C1Q |46 623. 所以异面直线所以异面直线 DP 与与 C1Q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23. 法四：三余弦定理法法四：三余弦定理法 如图所示，连接如图所示，连接 AD1，PQ，AP，B1C，易知四边形，易知四边形 ABC1D1为平行四为平行四边形，且边形，且 DQ平面平面 ABC1D1， 即即 PQ 为为 DP 在平面在平面 ABC1D1上的射影，上的射影， 11 易知易知 APC1Q，所以，所以APD 或其补角为异面直线或其补角为异面直线 DP 与与 C1Q 所成的角所成的角 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1， 易知易知 cosAPQ63，cosDPQ63， 由三余弦定理得由三余弦定理得 cosAPDcosAPQcosDPQ636323， 即异面直线即异面直线 DP 与与 C1Q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23. 答案答案 23 名师微点名师微点 法一可通过平行四边形找法一可通过平行四边形找平行线达到平移的目的，将两条异面直线所成的角转化为两条相平行线达到平移的目的，将两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角求解，这时往往将平移后的角置于一个三角形中，通过解三角形获得角的交直线所成的角求解，这时往往将平移后的角置于一个三角形中，通过解三角形获得角的三角函数值；法二可考虑到当载体是正方体或长方体时，建立空间直角坐标系，利用坐标三角函数值；法二可考虑到当载体是正方体或长方体时，建立空间直角坐标系，利用坐标去求角，这种方法往往比较简单；法三也可以利用空间向量基本定理，选取一组基向量，去求角，这种方法往往比较简单；法三也可以利用空间向量基本定理，选取一组基向量，然后利用基向量解决其他向量的夹角问题然后利用基向量解决其他向量的夹角问题 方法提炼方法提炼 两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法 (1)利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解 (2)向量法有两种，一是建立空间直角坐标系，利用坐标向量法有两种，一是建立空间直角坐标系，利用坐标结合向量数量积的性质求解，二是结合向量数量积的性质求解，二是利用基向量结合向量数量积的性质求解利用基向量结合向量数量积的性质求解 (3)三余弦定理法的关键是找到两条异面直线中的一条在包含另一条三余弦定理法的关键是找到两条异面直线中的一条在包含另一条直线的平面内的射影直线的平面内的射影 如图所示，如图所示，OA 是与平面是与平面 相交的一条斜线，相交的一条斜线，OA 在平面在平面 内的射影内的射影为为 AB， AC 是平面是平面 内的一条直线，内的一条直线， OAC， OAB1， BAC2， 则， 则 cos cos 1cos 2. 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1(多选多选)下列推断中，正确的是下列推断中，正确的是( ) AAl，A，Bl，Bl BA，A，B，BAB Cl ，AlA DA，B，C，A，B，C，且，且 A，B，C 不共线不共线， 重合重合 解析：解析：选选 ABD 直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以所以 C 错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选 A、B、D. 2已知直线已知直线 a 和平面和平面 ，l，a ，a ，且，且 a 在在 ， 内的射影分别为直线内的射影分别为直线 b 和和 c， 12 则直线则直线 b 和和 c 的位置关系是的位置关系是( ) A相交或平行相交或平行 B相交或异面相交或异面 C平行或异面平行或异面 D相交、平行或异面相交、平行或异面 解析：解析：选选 D 依题意，直线依题意，直线 b 和和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D. 3下列命题中，错误命题的个数为下列命题中，错误命题的个数为( ) 直线直线 a 与平面与平面 不平行，则直线不平行，则直线 a 与平面与平面 内的所有直线都不平行；内的所有直线都不平行； 直线直线 a 与平面与平面 不垂直，则直线不垂直，则直线 a 与平面与平面 内的所有直线都不垂直；内的所有直线都不垂直； 异面直线异面直线 a，b 不垂直，则过直线不垂直，则过直线 a 的任何平面与直线的任何平面与直线 b 都不垂直；都不垂直； 若直线若直线 a 和和 b 共面，直线共面，直线 b 和和 c 共面，则直线共面，则直线 a 和和 c 共面共面 A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 C 对于对于，若直线，若直线 a 在平面在平面 内，这时直线内，这时直线 a 和平面和平面 不平行，但是平面内存不平行，但是平面内存在直线和在直线和 a 是平行的，故是平行的，故错误；对于错误；对于，若直线，若直线 a 在平面在平面 内，这时内，这时直线直线 a 和平面和平面 不不垂直，但是平面内存在直线和直线垂直，但是平面内存在直线和直线 a 是垂直的，故是垂直的，故错误；对于错误；对于，根据线面垂直的定义，根据线面垂直的定义可知，可知，是正确的；对于是正确的；对于，直线，直线 a，c 有可能是异面直线，故有可能是异面直线，故错误综上所述，有错误综上所述，有 3 个个命题是错误命题，故选命题是错误命题，故选 C. 4如果两条异面直线称为如果两条异面直线称为“一对一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A12 对对 B24 对对 C36 对对 D48 对对 解析：解析：选选 B 如图所示，与如图所示，与 AB 异面的直线有异面的直线有 B1C1，CC1，A1D1，DD1四四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线算，共有异面直线124224(对对) 5已知已知 A，B，C，D 是空间四点，命题甲：是空间四点，命题甲：A，B，C，D 四点不共面，命题乙：直线四点不共面，命题乙：直线 AC和和 BD 不相交，则甲是乙成立的不相交，则甲是乙成立的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 若若 A，B，C，D 四点不共面，则直线四点不共面，则直线 AC 和和 BD 不共面，所以不共面，所以 AC 和和 BD 不相不相交；若直线交；若直线 AC 和和 BD 不相交，当直线不相交，当直线 AC 和和 BD 平行时，平行时，A，B，C，D 四点共面，所以甲四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件是乙成立的充分不必要条件 6.(2021 临沂模拟临沂模拟)如图，四边形如图，四边形 ABCD 和四边形和四边形 ADPQ 均为正方形，它们均为正方形，它们所在的平面所在的平面互相垂直，则异面直线互相垂直，则异面直线 AP 与与 BD 所成的角为所成的角为_ 解析：解析： 13 如图，将原图补成正方体如图，将原图补成正方体 ABCD- QGHP，连接，连接 GP，则，则 GPBD，所以，所以APG 为异面直线为异面直线AP 与与 BD 所成的角，在所成的角，在AGP 中，中，AGGPAP， 所以所以APG3. 答案：答案：3 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1(2021 威海一中月考威海一中月考)设设 ， 为不重合的两个平面，为不重合的两个平面，m，n 为不重合的两条直线，则下列为不重合的两条直线，则下列命题正确的是命题正确的是( ) A若若 ，n，mn，则，则 m B若若 m，n，mn，则，则 C若若 m，n，mn，则，则 D若若 n，n，m，则，则 m 解析：解析：选选 D 对于对于 A，若，若 ，n，mn，则，则 m 与与 有可能相交，也有可能有可能相交，也有可能 m，故故 A 错误；对于错误；对于 B，若，若 m，n，mn，则，则 与与 有可能相交，也有可能平行，故有可能相交，也有可能平行，故 B错误；对于错误；对于 C，若，若 m，n，mn，则，则 与与 有可能平行，也有可能相交，有可能平行，也有可能相交，故故 C 错误；错误；对于对于 D，由于，由于 m，n，所以，所以 mn，又知，又知 n，所以，所以 m，故，故 D 正确故选正确故选 D. 2若若 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列说法中正确的是是三个不同的平面，则下列说法中正确的是( ) A，m，n mn B， C，mn，mn Dm，n，mn 解析：解析：选选 C 对于对于 A，由，由 ，m，n，可知，可知 m，n 无公共点，无公共点，则则 m 与与 n 平行或异面，故平行或异面，故 A 错误；对于错误；对于 B，由，由 ，可知，可知 与与 可能平行，也可能相交，故可能平行，也可能相交，故 B 错误；对于错误；对于 C，由于，由于 mn，m，所以所以 n，又知，又知 ，所以，所以 n，故，故 C 正确；对于正确；对于 D，如图所示，如图所示，m，n，mn，但，但 与与 相交，故相交，故 D 错误故选错误故选 C. 3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，中，AA12AB2，则异面直线，则异面直线 A1B 与与 AD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ) 14 A.15 B.25 C.35 D.45 解析解析：选选 D 连接连接 BC1，易证，易证 BC1AD1，则，则A1BC1(或其补角或其补角)即为异面直即为异面直线线 A1B 与与 AD1所成的角所成的角 连接连接 A1C1，由，由 AB1，AA12，则，则 A1C1 2，A1BBC1 5， 在在A1BC1中，由余弦定理得中，由余弦定理得 cosA1BC15522 5 545. 4若平面若平面 ， 的公共点多于两个，则的公共点多于两个，则 ， 平行；平行；， 至少有三个公共点；至少有三个公共点；， 至少有一条公共直线；至少有一条公共直线；， 至多有一至多有一条公共直线条公共直线 以上四个判断中不成立的个数为以上四个判断中不成立的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：选选 C 由条件知，当平面由条件知，当平面 ， 的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则 ，相交；若公共点不共线，则相交；若公共点不共线，则 ， 重合故重合故一定不成立；一定不成立；成立；成立；成立；成立；不成立不成立 5 (2021 沈阳模拟沈阳模拟)如图， 在三棱柱如图， 在三棱柱ABC- A1B1C1中， 侧棱中， 侧棱AA1底面底面A1B1C1，底面三角形底面三角形 A1B1C1是正三角形，是正三角形，E 是是 BC 的中点，则下列叙述正确的是的中点，则下列叙述正确的是( ) ACC1与与 B1E 是异面直线是异面直线 BAC平面平面 ABB1A1 CAE，B1C1为异面直线且为异面直线且 AEB1C1 DA1C1平面平面 AB1E 解析：解析：选选 C CC1与与 B1E 在同一个侧在同一个侧面中，故不是异面直线，所以面中，故不是异面直线，所以 A 错误；由题意知，