2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第 2 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识梳理 1四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围：0，2 注意 两直线垂直有两种情况异面垂直和相交垂直 (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 a 在平面 内 a 有无数个 公共点 直线在 平面外 直线 a 与平面 平行 a 没有公共点 直线在 平面外 直线 a 与平面 斜交 aA 有且只有一个公共点 直线 a 与平面 垂直 a (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 没有公共点 两平面相交 斜交 l 有一条公共直线 垂直 且 a 常用结论 1公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 2异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线 二、教材衍化 1若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则下列结论成立的是( ) A 内的所有直线与 a 异面 B 内不存在与 a 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 a 平行 D 内的直线与 a 都相交 解析：选 B若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则线面相交，A 选项不正确， 内存在直线与 a 相交；B 选项正确， 内的直线与直线 a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C 选项不正确，因为 内的直线与直线 a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确， 内只有过直线 a 与平面的交点的直线与 a 相交故选 B 2.如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线B1C 与 EF 所成角的大小为_ 解析：连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 为所求，又 B1D1B1CD1C，所以D1B1C60 . 答案：60 3如图，在三棱锥 A- BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则 (1)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形； (2)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形 解析：(1)因为四边形 EFGH 为菱形， 所以 EFEH，故 ACBD. (2)因为四边形 EFGH 为正方形， 所以 EFEH 且 EFEH， 因为 EF12AC，EH12BD， 所以 ACBD 且 ACBD. 答案：(1)ACBD (2)ACBD 且 ACBD 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 P 且 l 是 ， 的交线，则 Pl.( ) (2)三点 A，B，C 确定一个平面( ) (3)若直线 abA，则直线 a 与 b 能够确定一个平面( ) (4)若 Al，Bl 且 A，B，则 l.( ) (5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对异面直线的概念理解有误； (2)对等角定理条件认识不清致误； (3)对平面的性质掌握不熟练，应用不灵活 1已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解析：选 C假设 cb，又因为 ca，所以 ab，这与 a，b 是异面直线矛盾，故 c 与 b 不可能平行 2若AOBA1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 解析：选 D两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选 D 3如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ABCD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_ 解析：EF 与正方体左、右两侧面均平行所以与 EF 相交的平面有 4 个 答案：4 考点一 平面的基本性质(基础型) 复习指导| 了解可以作为推理依据的公理和定理 核心素养：逻辑推理 如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：E，C，D1，F 四点共面 【证明】 如图所示，连接 CD1，EF，A1B， 因为 E，F 分别是 AB 和 AA1的中点， 所以 EFA1B 且 EF12A1B. 又因为 A1D1BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形， 所以 A1BCD1，所以 EFCD1， 所以 EF 与 CD1确定一个平面 ， 所以 E，F，C，D1， 即 E，C，D1，F 四点共面 【迁移探究】 (变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA 交于一点”？ 证明：如图，由本例知 EFCD1，且 EF12CD1， 所以四边形 CD1FE 是梯形， 所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则 PCE，且 PD1F， 又 CE平面 ABCD， 且 D1F平面 A1ADD1， 所以 P平面 ABCD， 且 P平面 A1ADD1. 又平面 ABCD平面 A1ADD1AD，所以 PAD， 所以 CE，D1F，DA 三线交于一点 共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明点或线共面，首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； 将所有条件分为两部分， 然后分别确定平面， 再证两平面重合 (2)证明点共线，先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上 (3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 提醒 点共线、线共点等都是应用公理 3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上 1 (多选)(2021 预测)用一个平面去截正方体， 关于截面的形状， 下列判断正确的是( ) A直角三角形 B正五边形 C正六边形 D梯形 解析：选 CD画出截面图形如图： 可以画出三角形但不是直角三角形，故 A 错误；如图 1 经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故 B 错误；正方体有六个面，如图 2 用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故 C 正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故 D 正确 2.如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD上，且 BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EFBD. 在BCD 中，BGGCDHHC12，所以 GHBD，所以 EFGH. 所以 E，F，G，H 四点共面 (2)因为 EGFHP，PEG，EG平面 ABC， 所以 P平面 ABC.同理 P平面 ADC. 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， 所以 PAC，所以 P，A，C 三点共线 考点二 空间两直线的位置关系(基础型) 复习指导| 认识和理解空间点、线、面的位置关系 核心素养：逻辑推理、直观想象 (2019 高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( ) ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 【解析】 如图，取 CD 的中点 F，连接 EF，EB，BD，FN，因为CDE 是正三角形，所以 EFCD.设 CD2，则 EF 3.因为点 N 是正方形 ABCD 的中心，所以 BD2 2，NF1，BCCD.因为平面 ECD平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD，BC平面 ECD，所以EFNF，BCEC，所以在 RtEFN 中，EN2，在 RtBCE 中，EB2 2，所以在等腰三角形 BDE 中，BM 7，所以 BMEN.易知 BM，EN 是相交直线故选 B 【答案】 B 1已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则( ) Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析：选 D在如图所示的长方体中，m，n1与 l 都异面，但是 mn1，所以 A，B 错误；m，n2与 l 都异面，且 m，n2也异面，所以 C 错误故选 D 2.如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论是_(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误 答案： 考点三 异面直线所成的角(基础型) 复习指导| 求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决 (1)(2020 成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱 ABC- A1B1C1中，已知 M 是棱 BB1的中点，N 是棱 AC 的中点，则异面直线 A1M 与 BN 所成角的正切值为( ) A 3 B1 C63 D22 (2)四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点若 BD，AC 所成的角为 60 ，且 BDAC1，则 EF 的长为_ 【解析】 (1)如图，取 AA1的中点 P，连接 PN，PB，则由直三棱柱的性质可知 A1MPB， 则PBN 为异面直线 A1M 与 BN 所成的角(或其补角) 设三棱柱的棱长为 2， 则 PN 2，PB 5，BN 3，所以 PN2BN2PB2，所以PNB90 ，在 RtPBN 中，tanPBNPNBN2363，故选 C (2)如图，取 BC 的中点 O，连接 OE，OF， 因为 OEAC，OFBD， 所以 OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角， 而 AC， BD 所成角为 60 ，所以EOF60 或EOF120 .当EOF60 时，EFOEOF12. 当EOF120 时，取 EF 的中点 M，则 OMEF， EF2EM23432. 【答案】 (1)C (2)12或32 平移法求异面直线所成角的步骤 具体步骤如下： 1. (2020 广东省七校联考)如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，异面直线 AC 与 A1B 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 解析：选 C如图，连接 CD1，AD1则 A1BCD1，所以ACD1是异面直线 AC 与 A1B所成的角或其补角易知ACD1是等边三角形所以ACD160 ，所以异面直线 AC 与A1B 所成的角为 60 .故选 C 2(2020 济南市学习质量评估)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点，将四边形 CDFE 沿 EF 翻折，使得平面 CDFE平面 ABEF，则异面直线 BD 与 CF所成角的余弦值为_ 解析：如图，连接 DE 交 FC 于点 O， 取 BE 的中点 G，连接 OG，CG， 则 OGBD 且 OG12BD， 所以COG 为异面直线 BD 与 CF 所成的角或其补角 设正方形 ABCD 的边长为 2， 则 CEBE1，CFDE CD2CE2 5， 所以 CO12CF52. 易得 BE平面 CDFE，所以 BEDE， 所以 BD DE2BE2 6， 所以 OG12BD62. 易知 CE平面 ABEF，所以 CEBE， 又 GE12BE12，所以 CG CE2GE252. 在COG 中，由余弦定理得， cosCOGOC2OG2CG22OCOG522622522252623010，所以异面直线 BD 与 CF所成角的余弦值为3010. 答案：3010 基础题组练 1已知直线 a 和平面 ，l，a，a，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析：选 D依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面故选 D 2(多选)下列命题正确的是( ) A梯形一定是平面图形 B若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 C两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 解析：选 AC对于 A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故 A 正确；对于 B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故 B 错误；对于 C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故 C 正确；对于 D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故 D 错误 3已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 选 A 若直线 a， b 相交， 设交点为 P， 则 Pa， Pb.又 a， b， 所以 P，P，故 ， 相交反之，若 ， 相交，则 a，b 可能相交，也可能异面或平行故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件 4. (多选)如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是 DB 的中点，直线 A1C 交平面 C1BD于点 M，则下列结论正确的是( ) AC1，M，O 三点共线 BC1，M，O，C 四点共面 CC1，O，A1，M 四点共面 DD1，D，O，M 四点共面 解析：选 ABC连接 A1C1，AC，则 ACBDO，又 A1C平面 C1BDM，所以三点C1，M，O 在平面 C1BD 与平面 ACC1A1的交线上，所以 C1，M，O 三点共线，所以选项 A，B，C 均正确，选项 D 错误 5. (2020 内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AC，BD 的中点，若 CD2AB4，EFBA，则 EF 与 CD 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 解析：选 A取 CB 的中点 G，连接 EG，FG.则 EGAB，FGCD.所以 EF 与 CD 所成的角为EFG(或其补角)，因为 EFAB，所以 EFEG. EG12AB1，FG12CD2， 所以在 RtEFG 中，sinEFG12，所以 EF 与 CD 所成的角为 30 .故选 A 6已知棱长为 a 的正方体 ABCD- ABCD中，M，N 分别为 CD，AD 的中点，则 MN与 AC的位置关系是_ 解析：如图，由题意可知 MNAC.又因为 ACAC，所以 MNAC. 答案：平行 7给出下列四个命题： 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； 若平面 内的一条直线 a 与平面 内的一条直线 b 相交，则 与 相交； 若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； 若三条直线两两相交，则这三条直线共面 其中真命题的序号是_ 解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点正确，a，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面， 又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上， 所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内 答案： 8如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与 BD 所成的角为_ 解析：如图，将原图补成正方体 ABCD- QGHP， 连接 AG， GP， 则 GPBD，所以APG为异面直线 AP 与 BD 所成的角，在AGP 中，AGGPAP，所以APG3. 答案：3 9如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为直线 B1D 与平面 ACD1的交点求证：D1，H，O 三点共线 证明：如图，连接 BD，B1D1，则 BDACO， 因为 BB1DD1， 所以四边形 BB1D1D 为平行四边形， 又 HB1D， B1D平面 BB1D1D， 则 H平面 BB1D1D， 因为平面 ACD1平面 BB1D1DOD1， 所以 HOD1.即 D1，H，O 三点共线 10.如图，在三棱锥 P- ABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点已知BAC2，AB2，AC2 3，PA2.求： (1)三棱锥 P- ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解：(1)SABC1222 32 3， 三棱锥 P- ABC 的体积为 V13SABCPA132 324 33. (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角 在ADE 中，DE2，AE 2，AD2，cosADE2222222234. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为34. 综合题组练 1(创新型)如图，已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面，B，C 是圆上的两点，H 是点B 在 AC 上的射影，当点 C 运动时，点 H 运动的轨迹( ) A是圆 B是椭圆 C是抛物线 D不是平面图形 解析：选 A如图，过点 B 作圆的直径 BD，连接 CD，AD，则 BCCD，再过点 B 作BEAD 于点 E，连接 HE，因为 AB平面 BCD，所以 ABCD.又 BCCD，且 ABBCB，所以 CD平面 ABC，所以 CDBH. 又 BHAC，且 ACCDC，所以 BH平面 ACD，所以 BHAD，BHHE. 又注意到过点 B 与直线 AD 垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点 B，E 位置，可知，当点 C 运动时，点 H 运动的轨迹是以 BE 为直径的圆故选 A 2. (多选)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，AD 的中点，将ABF 沿 BF 所在的直线进行翻折， 将CDE 沿 DE 所在的直线进行翻折， 在翻折的过程中，下列说法正确的是( ) A无论旋转到什么位置，A，C 两点都不可能重合 B存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 60 C存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 90 D存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 所成的角为 90 解析：选 ABC在 A 中，A 与 C 恒不重合，故 A 正确；在 B 中，存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 60 ，故 B 正确；在 C 中，存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 90 ，故 C 正确；在 D 中，直线 AB 与直线 CD 不可能垂直，故 D 不成立故选 ABC 3一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题： AFGC；BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60 ；BDMN；BG 与平面 ABCD所成的角为 45 . 其中正确的是_(填序号) 解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示) 对于，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故正确； 对于，BD 与 GC 显然成异面直线如图，连接 EB，ED，则 BEGC，所以EBD即为异面直线 BD 与 GC 所成的角(或其补角)在等边BDE 中，EBD60 ， 所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60 ，故正确； 对于，BD 与 MN 为异面垂直，故错误； 对于，由题意得，GD平面 ABCD，所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但在 RtBDG 中，GBD 不等于 45 ，故错误综上可得正确 答案： 4(2020 河南安阳调研四)在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，点 E平面 AA1B1B，点 F 是线段 AA1的中点，若 D1ECF，则当EBC 的面积取得最小值时，SEBCS四边形ABCD_ 解析： 如图所示， 连接 B1D1， 取 AB 的中点 G， 连接 D1G， B1G.由题意得 CF平面 B1D1G， 所以当点 E 在直线 B1G 上时，D1ECF， 设 BCa，则 SEBC12EB BC12EB a， 当EBC 的面积取最小值时，线段 EB 的长度为点 B 到直线 B1G 的距离，所以线段 EB长度的最小值为a5，所以SEBCS四边形ABCD12a5aa2510. 答案：510 5.如图所示，A 是BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点 (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 ACBD，ACBD，求 EF 与 BD 所成的角 解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线 (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 ACFG，EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角 又因为 ACBD，则 FGEG. 在 RtEGF 中，由 EGFG12AC， 求得FEG45 ，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45 . 6. (综合型)如图， E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点， 且 AEEBAHHDm，CFFBCGGDn. (1)证明：E，F，G，H 四点共面； (2)m，n 满足什么条件时，四边形 EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若 ACBD，试证明：EGFH. 解：(1)证明：因为 AEEBAHHD，所以 EHBD. 又 CFFBCGGD， 所以 FGBD.所以 EHFG. 所以 E，F，G，H 四点共面 (2)当 EHFG，且 EHFG 时，四边形 EFGH 为平行四边形 因为EHBDAEAEEBmm1，所以 EHmm1BD. 同理可得 FGnn1BD，由 EHFG，得 mn. 故当 mn 时，四边形 EFGH 为平行四边形 (3)证明：当 mn 时，AEEBCFFB， 所以 EFAC， 又 EHBD， 所以FEH 是 AC 与 BD 所成的角(或其补角)， 因为 ACBD，所以FEH90 ， 从而平行四边形 EFGH 为矩形，所以 EGFH.