2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　函数及其表示.doc

第 1 讲 函数及其表示 一、知识梳理 1函数的概念 函数 两集合 A，B A，B 是两个非空数集 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应 名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记法 yf(x)，xA 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合 B的子集 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 注意 函数图象的特征： 与 x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象. 3分段函数 若函数在其定义域的不同子集上， 因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示， 这种函数称为分段函数 注意 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 常用结论 几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合 (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合 (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合 (4)若 f(x)x0，则定义域为x|x0 (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1. (6)正切函数 ytan x 的定义域为x|xk2，kZ . 二、教材衍化 1下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是( ) Ay( x1)2 By3x31 Cyx2x1 Dy x21 答案：B 2函数 yf(x)的图象如图所示，那么 f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_ 答案：3，02，3 1，5 1，2)(4，5 3函数 y x2 x2的定义域是_ 解析：x20，x20，x2. 答案：2，) 4已知函数 f(x)x1，x0，x2，x0，则 f(2)_，ff(2)_ 解析：f(2)(2)24，ff(2)f(4)415. 答案：4 5 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于函数 f：AB，其值域是集合 B( ) (2)函数 f(x)x22x 与 g(t)t22t 是同一函数( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)对分段函数解不等式时忘记范围； (3)换元法求解析式，反解忽视范围 1已知集合 Px|0 x4，Qy|0y2，下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 中不是函数的是_(填序号) f：xy12x；f：xy13x；f：xy23x；f：xy x. 解析：对于，因为当 x4 时，y23483Q，所以不是函数 答案： 2设函数 f(x)（x1）2，x1，4 x1，x1，则使得 f(x)1 的自变量 x 的取值范围为_ 解析：因为 f(x)是分段函数，所以 f(x)1 应分段求解当 x1 时，f(x)1(x1)21x2 或 x0， 所以 x2 或 0 x0，x11，解得1x0 或 00 且 1x1，解得 x1 且 x0，所以函数 g(x)的定义域为(0，1)，故选 B 【答案】 (1)B (2)B 求函数定义域的两种方法 方法 解读 适合题型 直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求 f(x)的定义域 转移法 若 yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)0，m24m0， 解得 00，2xx20， 解得 1x0， 所以 x1) (2)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)， 又 f(0)c3. 所以 f(x)ax2bx3， 所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2. 所以4a4，4a2b2， 所以a1，b1， 所以所求函数的解析式为 f(x)x2x3. (3)(解方程组法)因为 2f(x)f(x)2x， 将 x 换成x 得 2f(x)f(x)2x， 由消去 f(x)，得 3f(x)6x， 所以 f(x)2x. 【答案】 (1)f(x)lg2x1(x1) (2)f(x)x2x3 (3)f(x)2x 求函数解析式的 4 种方法 1(一题多解)已知二次函数 f(2x1)4x26x5，则 f(x)_ 解析：法一(换元法)：令 2x1t(tR)， 则 xt12， 所以 f(t)4t1226t125t25t9(tR)， 所以 f(x)x25x9(xR) 法二(配凑法)：因为 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以 f(x)x25x9(xR) 法三(待定系数法)：因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc. 因为 f(2x1)4x26x5， 所以4a4，4a2b6，abc5，解得a1，b5，c9， 所以 f(x)x25x9(xR) 答案：x25x9(xR) 2定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_ 解析：因为1x0，所以 0 x11，所以 f(x)12f(x1)12(x1)1(x1)12x(x1)故当1x0 时，f(x)12x(x1) 答案：12x(x1) 考点三 分段函数(基础型) 复习指导| 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 核心素养：数学抽象、数学运算 角度一 求分段函数的函数值 (1)(2020 合肥一检)已知函数 f(x)x1x2，x2，x22，x2，则 f(f(1)( ) A12 B2 C4 D11 (2)(2020 山西太原三中模拟)设函数 f(x)x21（x2），log2x（0 x2），若 f(m)3，则 f52m _ 【解析】 (1)因为 f(1)1223，所以 f(f(1)f(3)31324.故选 C (2)当 m2 时，m213，所以 m2 或 m2(舍)； 当 0m2 时，log2m3，所以 m8(舍) 所以 m2.所以 f52m f12log2121. 【答案】 (1)C (2)1 分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 角度二 分段函数与方程、不等式问题 (1)(一题多解)设 f(x)x，0 x0，则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是( ) A(，1 B(0，) C(1，0) D(，0) 【解析】 (1)法一：当 0a1 时，a11， 所以 f(a) a，f(a1)2(a11)2a. 由 f(a)f(a1)得 a2a， 所以 a14. 此时 f1af(4)2(41)6. 当 a1 时，a11， 所以 f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a. 由 f(a)f(a1)得 2(a1)2a，无解 综上，f1a6，故选 C 法二：因为当 0 x1 时，f(x) x，为增函数， 当 x1 时，f(x)2(x1)，为增函数， 又 f(a)f(a1)，所以 a2(a11)， 所以 a14. 所以 f1af(4)6. (2)法一：当x10，2x0，即 x1 时，f(x1)f(2x)即为 2(x1)22x，即(x1)2x，解得 x1. 因此不等式的解集为(，1 当x10，2x0时，不等式组无解 当x10，2x0，即1x0 时，f(x1)f(2x)即 122x，解得 x0.因此不等式的解集为(1，0) 当x10，2x0，即 x0 时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意 综上，不等式 f(x1)f(2x)的解集为(，0) 故选 D 法二：因为 f(x)2x，x0，1，x0， 所以函数 f(x)的图象如图所示 由图可知，当 x10 且 2x0 时，函数 f(x)为减函数，故 f(x1)f(2x)转化为 x12x. 此时 x1. 当 2x0 且 x10 时，f(2x)1，f(x1)1， 满足 f(x1)f(2x) 此时1x0. 综上，不等式 f(x1)f(2x)的解集为(，1(1，0)(，0) 故选 D 【答案】 (1)C (2)D 有关分段函数不等式问题， 要按照分段函数的“分段”进行分类讨论， 从而将问题转化为简单的不等式组来解 1已知函数 f(x)x2x，x0，3x，x0，则实数 a 的取值范围为( ) A(1，) B(2，) C(，1)(1，) D(，2)(2，) 解析：选 D当 a0 时，不等式 af(a)f(a)0 可化为 a2a3a0，解得 a2.当 a0 可化为a22a0，解得 a2.综上所述，a 的取值范围为(，2)(2，) 2 (2020 安徽安庆二模)已知函数 f(x)x1，1x0. 当 0a1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a. 解得 a14，则 f1af(4)8， 当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，无解 答案：8 考点四 函数的新定义问题(创新型) 复习指导| 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则， 或者给出一个抽象函数的性质等， 然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题 (2020 广东深圳 3 月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数 f(x)的图象恰好经过 n(nN*)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数给出下列函数： f(x)sin 2x；g(x)x3； h(x)13x；(x)ln x. 其中是一阶整点函数的是( ) A B C D 【解析】 对于函数 f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除 D； 对于函数 g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除 A； 对于函数 h(x)13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除 B故选 C 【答案】 C 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数 f(x)的图象恰好经过 1 个整点，问题便迎刃而解 1若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为 yx21，值域为1，3的同族函数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 C由 x211 得 x0，由 x213 得 x 2，所以函数的定义域可以是0, 2，0， 2，0， 2， 2，故值域为1，3的同族函数共有 3 个 2若函数 f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数” ： (1)xR，都有 f(x)f(x)0； (2)x1，x2R，且 x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20 且 x11.由此解得 x1 且 x2，即函数 y1ln（x1）的定义域是(1，2)(2，) 2已知 f12x1 2x5，且 f(a)6，则 a 等于( ) A74 B74 C43 D43 解析：选 B令 t12x1，则 x2t2， 所以 f(t)2(2t2)54t1， 所以 f(a)4a16，即 a74. 3(多选)下列四组函数中，f(x)与 g(x)是相等函数的是( ) Af(x)ln x2，g(x)2ln x Bf(x)x，g(x)( x)2 Cf(x)x，g(x)3x3 Df(x)x，g(x)logaax(a0 且 a1) 解析：选 CD对于选项 A，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项 B，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项 C，g(x)3x3x，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项 D，g(x)logaaxx，xR，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数 4已知 f(x)2x，x0，f（x1），x0，则 f43f43的值等于( ) A2 B4 C2 D4 解析：选 B由题意得 f4324383. f43f13f2322343. 所以 f43f434. 5(多选)函数 f(x)x1x2，x(，0)(0，)，则下列等式成立的是( ) Af(x)f1x Bf(x)f1x C1f（x）f1x Df(x)f(x) 解析： 选 AD 根据题意得 f(x)x1x2， 所以 f1x1x11x2x1x2， 所以 f(x)f1x； f(x)x1（x）2x1x2f(x)，所以 f(x)f(x)故 AD 正确，BC 错误 6已知函数 yf(2x1)的定义域是0，1，则函数f（2x1）log2（x1）的定义域是( ) A1，2 B(1，1 C12，0 D(1，0) 解析：选 D由 f(2x1)的定义域是0，1， 得 0 x1，故12x11， 所以函数 f(x)的定义域是1，1， 所以要使函数f（2x1）log2（x1）有意义， 需满足12x11，x10，x11，解得1x0. 7(创新型)定义 abab，ab0，ab，ab0，所以 f(2)2ln 22ln 2. 因为12ln120，所以 f12ln12122ln 2.则 f(2)f122ln 22ln 20. 8设 xR，定义符号函数 sgn x1，x0，0，x0，1，x0，则( ) A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x| C|x|x|sgn x D|x|xsgn x 解析：选 D当 x0 时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x) (1)x，排除 A，B，C，故选 D 9若函数 f(x)在闭区间1，2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_ 解析：由题图可知，当1x0 时，f(x)x1；当 0 x2 时，f(x)12x， 所以 f(x)x1，1x0，12x，0 x2. 答案：f(x)x1，1x0，x1，x0，若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于_ 解析：因为 f(1)2，且 f(1)f(a)0，所以 f(a)21，x2，x1，则 f(f(2)_，函数 f(x)的值域是_ 解析：因为 f(2)12， 所以 f(f(2)f1212252. 当 x1 时，f(x)(0，1)， 当 x1 时，f(x)3，)， 所以 f(x)3，) 答案：52 3，) 12设函数 f(x)ln x，x1，1x，x1，则实数 m 的取值范围是_ 解析：f(f(0)f(1)ln 10；如图所示，可得 f(x)ln x，x1，1x，x1，则实数 m 的取值范围是(，0)(e，) 答案：0 (，0)(e，) 综合题组练 1(2020 海淀期末)下列四个函数：y3x；y2x1(x0)；yx22x10；yx（x0），1x（x0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 By3x 的定义域与值域均为 R，y2x1(x0)的定义域为(0，)，值域为12， ， yx22x10 的定义域为 R， 值域为11， )， yx（x0），1x（x0）的定义域和值域均为 R.所以定义域与值域相同的函数是，共有 2 个，故选 B 2 (创新型)设 f(x)， g(x)都是定义在实数集上的函数， 定义函数(f g)(x)： xR， (f g)(x)f(g(x)若 f(x)x，x0，x2，x0，g(x)ex，x0，ln x，x0，则( ) A(f f)(x)f(x) B(f g)(x)f(x) C(g f)(x)g(x) D(g g)(x)g(x) 解析： 选 A 对于 A， (f f)(x)f(f(x)f（x），f（x）0，f 2（x），f（x）0，当 x0 时， f(x)x0， (f f)(x)f(x)x；当 x0，(f f)(x)f(x)x2；当 x0 时，(ff)(x)f 2(x)002，因此对任意的 xR，有(f f)(x)f(x)，故 A 正确，选 A 3 (2020 宁夏银川一中一模)已知函数 f(x)2x1，x0， x，x0，则 f(x1)90 的解集为_ 解析：因为 f(x)2x1，x0， x，x0， 所以当 x10 时，x1，2（x1）80， 解得4x1； 当 x10 时，x1， x190， 解得 x1. 综上，x4，即 f(x1)90 的解集为4，) 答案：4，) 4 (创新型)设函数 f(x)的定义域为 D， 若对任意的 xD， 都存在 yD， 使得 f(y)f(x)成立，则称函数 f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数： f(x)x2；f(x)1x1； f(x)ln(2x3)；f(x)2sin x1. 其中是“美丽函数”的序号有_ 解析：由已知，在函数定义域内，对任意的 x 都存在着 y，使 x 所对应的函数值 f(x)与 y所对应的函数值 f(y)互为相反数，即 f(y)f(x)故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件 中函数的值域为0，)，值域不关于原点对称，故不符合题意； 中函数的值域为(，0)(0，)，值域关于原点对称，故符合题意； 中函数的值域为(，)，值域关于原点对称，故符合题意； 中函数 f(x)2sin x1 的值域为3，1，不关于原点对称，故不符合题意故本题正确答案为. 答案：