2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　平面向量的概念及线性运算.doc

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 一、知识梳理 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 注意 (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向 (2)任意向量 a 的模都是非负实数，即|a|0. 2向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：abba； 结合律： (ab)ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量b的和的运算 aba(b) 数乘 求实数与向量a的积的运算 | a|a|，当 0 时，a与 a 的方向相同； 当 0 时， a 与 a 的方向相反； 当 0 时， a0 ( a)()a； ()aa_a； (ab)ab 3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba 常用结论 1两特殊向量 (1)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模是确定的，但方向不确定 (2)非零向量 a 的同向单位向量为a|a|. 2几个重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP12(OAOB) (2)OAOBOC(， 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 1. (3)若 G 为ABC 的重心，则有 GAGBGC0；AG13(ABAC) 二、教材衍化 1已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OAa，OBb，则DC_，BC_(用 a，b 表示) 解析：如图，DCABOBOAba，BCOCOBOAOBab. 答案：ba ab 2 在平行四边形 ABCD 中， 若|ABAD|ABAD|， 则四边形 ABCD 的形状为_ 解析：如图，因为ABADAC，ABADDB，所以|AC|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形 答案：矩形 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反( ) (3)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误 1对于非零向量 a，b， “ab0”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A若 ab0，则 ab，所以 ab.若 ab，则 ab0 不一定成立故前者是后者的充分不必要条件 2点 D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD( ) ABC12BA BBC12BA CBC12BA DBC12BA 答案：A 考点一 平面向量的有关概念(基础型) 复习指导| 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 核心素养：数学抽象 1给出下列命题： 向量AB的长度与向量BA的长度相等； 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； |a|b|ab|a 与 b 方向相同； 若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 ab 与 a，b 之一的方向相同 其中叙述错误的命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 C对于：当 a0 时，不成立；对于：当 a，b 之一为零向量时，不成立；对于：当 ab0 时，ab 的方向是任意的，它可以与 a，b 的方向都不相同故选 C 2设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件是( ) Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b| 解析：选 C因为向量a|a|的方向与向量 a 相同，向量b|b|的方向与向量 b 相同，且a|a|b|b|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D 当 a2b 时，a|a|2b|2b|b|b|，故 a2b 是a|a|b|b|成立的充分条件 3下列与共线向量有关的命题： 相反向量就是方向相反的向量； a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 其中错误命题的序号为_ 解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题是正确的 答案： 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆 (4)非零向量 a 与a|a|的关系：a|a|是与 a 同方向的单位向量 考点二 平面向量的线性运算(基础型) 复习指导| (1)掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义 (2)掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义 核心素养：数学运算 (1)(一题多解)(2020 合肥市第二次质量检测)在ABC 中，BD13BC，若ABa，ACb，则AD( ) A23a13b B13a23b C13a23b D23a13b (2)(2020 河南八市联考改编)在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC，点 E 是线段BC的中点，若AEABAD，则 _，_ 【解析】 (1)通解：如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 E，F，则四边形 AEDF 为平行四边形，所以ADAEAF.因为BD13BC，所以AE23AB，AF13AC，所以AD23AB13AC23a13b，故选 A 优解一：ADABBDAB13BCAB13(ACAB)23AB13AC23a13b，故选 A 优解二：由BD13BC，得ADAB13(ACAB)，所以ADAB13(ACAB)23AB13AC23a13b，故选 A (2)取 AB 的中点 F，连接 CF，则由题意可得 CFAD，且 CFAD 因为AEABBEAB12BCAB12(FCFB)AB12AD12AB34AB12AD， 所以34，12. 【答案】 (1)A (2)34 12 向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 1下列四个结论： ABBCCA0； ABMBBOOM0； ABACBDCD0； NQQPMNMP0. 其中一定正确的结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 CABBCCAACCA0，正确；ABMBBOOMABMOOMAB， 错； ABACBDCDCBBDDCCBBC0， 正确； NQQPMNMPNPPN0，正确故正确 2已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足PABPCP0，APPD，则实数 的值为_ 解析：因为 D 为边 BC 的中点，所以PBPC2PD， 又PABPCP0， 所以PAPBPC2PD， 所以AP2PD， 所以 2. 答案：2 考点三 平面向量共线定理的应用(基础型) 复习指导| 理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义 核心素养：逻辑推理 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 【解】 (1)证明：因为ABab，BC2a8b，CD3(ab)， 所以BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB， 所以AB，BD共线，又它们有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线 (2)因为 kab 与 akb 共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 kk10，所以 k210， 所以 k 1. 【迁移探究】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解：因为 kab 与 akb 反向共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)(0)， 所以k，k1，所以 k 1. 又 0，k，所以 k1. 故当 k1 时，两向量反向共线 提醒 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点 1已知向量 a 与 b 不共线，ABamb，ACnab(m，nR)，则AB与AC共线的条件是( ) Amn0 Bmn0 Cmn10 Dmn10 解析： 选 D 由ABamb， ACnab(m， nR)共线， 得 amb(nab)， 即1n，m，所以 mn10. 2.如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交对角线 AC 于点 K，其中AE25AB，AF12AD，AKAC，则 _ 解析：因为AE25AB，AF12AD， 所以AB52AE，AD2AF. 由向量加法的平行四边形法则可知， ACABAD， 所以AKAC(ABAD)52AE2AF 52AE2AF， 由 E，F，K 三点共线，可得 29. 答案：29 基础题组练 1(多选)下列命题正确的是( ) A若|a|b|，则 ab B若 A，B，C， D 是不共线的四点， 则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件 C若 ab，bc，则 ac D若 ab，bc，则 ac 解析：选 BCA 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 B 正确，由ABDC得|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC且方向相同，且|AB|DC|，因此ABDC.故“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件 C 正确，因为 ab，所以 a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，则 b，c 的长度相等且方向相同，所以 a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. D 不正确，当 b0 时不成立 2向量 e1，e2，a，b 在正方形网格中的位置如图所示，则 ab( ) A4e12e2 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解析：选 C结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故 abe13e2. 3已知平面内一点 P 及ABC，若PAPBPCAB，则点 P 与ABC 的位置关系是( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在ABC 外部 解析：选 C由PAPBPCAB，得PAPBPCPBPA，即PC2PA，故点 P 在线段 AC 上 4(2020 唐山二模)已知 O 是正方形 ABCD 的中心若DOABAC，其中 ，R，则( ) A2 B12 C 2 D 2 解析：选 ADODAAOCBAOABAC12ACAB12AC，所以 1，12，因此2. 5(多选)设 a，b 是不共线的两个平面向量，已知PQasin b，其中 (0，2)，QR2ab.若 P，Q，R 三点共线，则角 的值可以为( ) A6 B56 C76 D116 解析：选 CD因为 a，b 是不共线的两个平面向量，所以 2ab0.即QR0，因为 P，Q，R 三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数 ，使PQQR，所以 asin b2ab，所以12，sin ，解得 sin 12.又 (0，2)，故 可为76或116. 6已知平面内四点 A，B，C，D，若AD2DB，CD13CACB，则 的值为_ 解析：依题意知点 A，B，D 三点共线，于是有131，23. 答案：23 7若|AB|8，|AC|5，则|BC|的取值范围是_ 解析：BCACAB，当AB，AC同向时，|BC|853；当AB，AC反向时，|BC|8513；当AB，AC不共线时，3|BC|13.综上可知 3|BC|13. 答案：3，13 8已知 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BCa，CAb，给出下列命题：AD12ab；BEa12b；CF12a12b；ADBECF0. 其中正确命题的个数为_ 解析：BCa，CAb，AD12CBAC12ab，故错； BEBC12CAa12b，故正确； CF12(CBCA)12(ab) 12a12b，故正确； 所以ADBECFb12aa12b12b12a0.故正确 所以正确命题的序号为. 答案：3 9.在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB2GE，设ABa，ACb，试用 a，b 表示AD，AG. 解：AD12(ABAC)12a12b； AGABBGAB23BEAB13(BABC)23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b. 10如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上的两个三等分点，若ABa，BCb，AB2DC. (1)用 a，b 表示AM； (2)证明：A，M，C 三点共线 解：(1)ADABBCCD ab12a 12ab， 又 E 为 AD 中点， 所以AE12AD14a12b， 因为 EF 是梯形的中位线，且AB2DC， 所以EF12(ABDC)12a12a 34a， 又 M，N 是 EF 的三等分点， 所以EM13EF14a， 所以AMAEEM14a12b14a 12a12b. (2)证明：由(1)知MF23EF12a， 所以MCMFFC12a12bAM， 又MC与AM有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线 综合题组练 1.(一题多解)(2020 广东六校第一次联考)如图，在ABC 中，AN23NC，P 是 BN 上一点，若APtAB13AC，则实数 t 的值为( ) A23 B25 C16 D34 解析：选 C通解：因为AN23NC，所以AN25AC. 设NPNB，则APANNP25ACNB25AC(NAAB)25AC25ACABAB25(1)AC， 又APtAB13AC， 所以 tAB13ACAB25(1)AC，得t25（1）13，解得 t16，故选 C 优解：因为AN23NC， 所以AC52AN， 所以APtAB13ACtAB56AN， 因为 B，P，N 三点共线，所以 t561，所以 t16， 故选 C 2.(创新型)如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：OA2OB；12OA13OB；34OA13OB；34OA15OB；34OA15OB.若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( ) A B C D 解析： 选 B 在 ON 上取点 C， 使得 OC2OB， 以 OA， OC 为邻边作平行四边形 OCDA，则ODOA2OB，其终点不在阴影区域内，排除 A，C；取 OA 上一点 E，作 AE14OA，作 EFOB，交 AB 于点 F，则 EF14OB，由于 EF13OB，所以34OA13OB的终点不在阴影区域内，排除选项 D 3(2020 广州综合测试(一)设 P 是ABC 所在平面内的一点，且CP2PA，则PAB与PBC 的面积的比值是_ 解析：因为CP2PA，所以|CP|PA|21，又PAB 在边 PA 上的高与PBC 在边 PC 上的高相等，所以SPABSPBC|PA|CP|12. 答案：12 4如图，在扇形 OAB 中，AOB3，C 为弧 AB 上的动点，若OCxOAyOB，则 x3y 的取值范围是_ 解析：OCxOA3yOB3，如图，作OBOB3，则考虑以向量OA，OB为基底显然， 当 C 在 A 点时，经过 m1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m3 的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以 x3y 的取值范围是1，3 答案：1，3 5经过OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OPmOA，OQnOB，m，nR，求1n1m的值 解：设OAa，OBb，则OG13(ab)， PQOQOPnbma， PGOGOP13(ab)ma13m a13b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数 使得PQPG， 即 nbma13m a13b， 则m13m ，n13，消去 ，得1n1m3. 6已知 O，A，B 是不共线的三点，且OPmOAnOB(m，nR) (1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1. 证明：(1)若 mn1， 则OPmOA(1m)OB OBm(OAOB)， 所以OPOBm(OAOB)， 即BPmBA，所以BP与BA共线 又因为BP与BA有公共点 B， 所以 A，P，B 三点共线 (2)若 A，P，B 三点共线， 则存在实数 ，使BPBA，所以OPOB(OAOB) 又OPmOAnOB. 故有 mOA(n1)OBOAOB， 即(m)OA(n1)OB0. 因为 O，A，B 不共线，所以OA，OB不共线， 所以m0，n10，所以 mn1.