高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.9 函数的模型及其应用 Word版含答案_20210103224747.doc

淘宝店铺：漫兮教育第九节函数的模型及其应用1函数的实际应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2函数的综合应用了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用知识点一几种常见函数模型函数模型函数解析式正比例函数模型f(x)kx(k为常数，k0)一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)幂函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0，1)“对号”函数模型yx(a>0)易误提醒1易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性自测练习1(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x解析：根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D.答案：D2生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件解析：利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：B知识点二三种增长函数的图象与性质函数性质yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴接近平行随x增大逐渐表现为与x轴接近平行随n值变化而不同必备方法三种模型的增长差异在区间(0，)上，尽管函数yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n>0)的增长速度，而ylogax(a>1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax.自测练习3下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()Av·ex Bv100ln xCvx100 Dv100×2x 解析：只有v·ex和v100×2x是指数函数，并且e>2，所以v·ex的增大速度最快，故选A.答案：A考点一一次、二次函数模型|1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元C30元 D.元解析：依题意可设sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150×(0.2)10，即两种方式电话费相差10元，选A.答案：A2经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t) t(1t100，tN)前40天价格为f(t)t22(1t40，tN)，后60天价格为f(t)t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值解：当1t40，tN时，S(t)g(t)f(t)t22t(t12)2，所以768S(40)S(t)S(12).当41t100，tN时，S(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，所以8S(100)S(t)S(41).所以，S(t)的最大值为，最小值为8.一次函数与二次函数模型问题求解的三个关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题考点二分段函数模型|有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k(1k4，且kR)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为yk·f(x)，其中f(x)若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由解(1)由题意知k3，k1.(2)因为k4，所以y当0x4时，由44，解得4x<8，所以0x4.当4<x14时，由282x4，解得x12，所以4<x12.综上可知，当y4时，0x12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×1×5，又5>4，在第12分钟还能起到有效去污的作用分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者) 1已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是()Ax60tBx60t50tCxDx解析：当0t2.5时，x60t；当2.5<t3.5时，x150；当3.5<t6.5时，x15050(t3.5)答案：D考点三指数函数模型|已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是m·2t21t(t0，并且m>0)(1)如果m2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)若m2，则2·2t21t2，当5时，2t，令2tx(x1)，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，即m·2t2恒成立，亦即m2恒成立令y，则0<y1，m2(yy2)恒成立，由于yy2，m.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.求解指数函数模型的三个注意点(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，主要有人口增长、银行利率、细胞分裂等问题(2)应用指数函数模型时，注意先设定模型，再求有关数据(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解2(2015·江苏连云港模拟)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1，空气温度是0，t分钟后物体的温度可由公式0(10)etln求得，现有60 的物体放在15 的空气中冷却，当物体温度为35 时，冷却时间t_分钟解析：由已知条件可得3515(6015)·etln，解得t2.答案：22.利用函数模型求解实际问题【典例】(12分)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)思路点拨(1)由R(x)中分段写出W与x的解析式(2)分两段求利润的最大值，比较后得出结论规范解答(1)当0<x10时，WxR(x)(102.7x)8.1x10；(2分)当x>10时，WxR(x)(102.7x)982.7x.(4分)W(5分)(2)当0<x10时，令W8.10，得x9，可知当x(0,9)时，W>0，当x(9,10时，W<0，(6分)当x9时，W取极大值，即最大值，且Wmax8.1×9×931038.6.(7分)当x>10时，W98982 38，(8分)当且仅当2.7x，即x时，W38，(9分)故当x时，W取最大值38(当1 000x取整数时，W一定小于38)(10分)综合知，当x9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大(12分)模板形成A组考点能力演练1设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2已知某种动物的繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们将发展到()A200只 B300只C400只 D500只解析：由题意，繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，这种动物第2年有100只，100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log3(81)100×2200.故选A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)()A6.9 m B7.0 mC7.1 m D6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为yax2(a<0)，设点A的坐标为(4，h)，则C(3,3h)，将这两点的坐标代入yax2，可得解得所以厂门的高约为6.9 m.答案：A4(2015·青岛模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资在平均分数左右变化不大，则下列函数最符合要求的是()Ay(x50)2500By10500Cy(x50)3625Dy5010lg(2x1)解析：由题意知，函数单调递增，且先慢后快，在x50左右增长近乎为0且函数值在600左右，最小值为500，A是先减后增，B由指数函数知是增长越来越快，D由对数函数增长速度越来越慢，C是yx3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案：C5某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1、y2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处解析：设仓库到车站的距离为x千米，由题意得y1，y2k2x，其中x>0，又当x10时，y12，y28，故k120，k2.所以y1y2x2 8，当且仅当x，即x5时取等号答案：A6(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加价0.5元，10 km后每走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应交费_元解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用某人坐出租车走了12 km，他应交费60.5×70.8×211.1元答案：11.17(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(xN*)(年)的关系为yx218x25，则每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题据已知每台机器的年平均利润关于运转时间x的函数关系式为g(x)18，据均值不等式可得g(x)18182 8，当且仅当x，即x5时取得等号答案：588某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是_m2.解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab800 m2.蔬菜的种植面积S(a4)·(b2)ab4b2a88082(a2b)S8084648(m2)当且仅当a2b，即a40 m，b20 m时，Smax648 m2.答案：6489某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资债券类产品x万元，则投资股票类产品(20x)万元则收益(单位：万元)为yf(x)g(20x)(0x20)设t(0t2)，则yt(t2)23，所以当t2，即x16时，收益最大，最大收益为3万元10某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)p·qx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是0,5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.(2)对于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q>1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)(3)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌B组高考题型专练1(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时解析：由已知得192eb，48e22kbe22k·eb，将代入得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33k·eb3×19224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时故选C.答案：C2(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案：C3(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz BazbycxCaybzcx Daybxcz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x1，y2，z3，a1，b2，c3，则axbycz14，azbycx10，aybzcx11，aybxcz13.由此可知最低的总费用是azbycx.答案：B4(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升 B8升C10升 D12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 60035 000600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.答案：B5(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时解析：(1)当l6.05，则F，由基本不等式v222，得F1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l5，F，由基本不等式v220，得F2 000(辆/小时)，增加2 0001 900100(辆/小时)，故答案为100.答案：(1)1 900(2)100