考点37 抛物线的标准方程及几何性质-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过.docx

考点37抛物线的标准方程及几何性质【命题解读】 抛物线的标准方程及其几何性质是高考考查知识点之一，对于抛物线作为圆锥曲线的一个重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及几何性质，在选择、填空和解答中都有可能出现，主要是考查学生的运算能力和数形结合能力。【命题预测】预计2021年的高考抛物线的考查还是以常考查的知识点为主，不会变化很大，主要还是抛物线的方程和几何性质，注重数形结合和分析能力的考查。【复习建议】 1.理解抛物线的定义以及椭圆抛物线的标准方程的形式，准线等；2.掌握椭抛物线的简单几何性质。考向一抛物线的定义及标准方程1.满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等; (3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离1. 【2020全国开学考试（理）】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ）A4B2CD【答案】B【解析】依题意可得，设，由得，所以，所以，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.2. 【2020四川成都七中开学考试】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x1，线段AF的长等于点A到准线x1的距离，因为点到直线的距离是线段长度的2倍，所以，点到直线的距离是点A到准线x1的距离的2倍设A点横坐标为，是32（1），解得：1，所以，AF1（1）2故选B考向二 椭圆的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下1. 【2019岳麓湖南师大附中期末】已知直线，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为A2BC1D【答案】B【解析】抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到的距离.如图所示， 设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故选B.2.【2020江西上高二中月考】抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为_【答案】3+【解析】求MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为xA（1）2+13，|AF|，MAF周长的最小值为3+，故答案为3+ 3. 【2020江西南昌二中其他（理）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则_【答案】【解析】抛物线，焦点为，准线为，是抛物线上一点，则，由题意可得，由于为等边三角形，则有，即有：，可得故答案为题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2 B3 C4 D82. 【2020年高考全国卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A2B3C6D93. 【2020年高考全国卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C交于，两点，若，则的焦点坐标为A B C D 4. 【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线A 经过点B 经过点C 平行于直线D 垂直于直线5. 【2020年新高考全国卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_6. 【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|7. 【2019年高考全国卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.8. 【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点题组二1. 【2020江苏歌风中学月考】若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）A6B8C9D102. 【2020全国其他】已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）ABCD3. 【2020四川成都七中开学考试】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）A1B2C3D44. 【2020安徽开学考试（理）】已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（ ）ABCD5. 【2020山东淄博高三一模】已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是( )A2B6C4D86.【2020山东菏泽高三一模】已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）A抛物线的方程是B抛物线的准线方程是C直线的方程是D的面积是 7. 【2020赣榆智贤中学高二月考】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为_8. 【2020江苏泰州中学高二开学考试】已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为_.9. 【2020全国其他】已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点.（1）若的最小值为，求实数的值；（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求外接圆的方程.10. 【2020浙江高三开学考试】如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）若点，求椭圆及抛物线的方程；（2）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值.题组一1. D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D2. C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C3. B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B4. B【解析】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B5. 【解析】抛物线的方程为，抛物线的焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：6. 见解析【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故7. 见解析【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.8. 见解析【解析】（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点，则，.令，即，则或.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.题组二1.C【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C2.A【解析】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，抛物线方程为.设，圆：，圆心为，半径为1，则，当时，有最小值，故最小值为.故选：.3.B【解析】依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x1，线段AF的长等于点A到准线x1的距离，因为点到直线的距离是线段长度的2倍，所以，点到直线的距离是点A到准线x1的距离的2倍设A点横坐标为，是32（1），解得：1，所以，AF1（1）2故选B4. B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，又焦距为，所以，解得，所以 ，所以抛物线的准线方程是，故选：B.5.AC【解析】设的横坐标为，由题意，解得或.故选：AC6.AD【解析】设，根据抛物线的定义可知，又的中点到轴的距离为6，所求抛物线的方程为故A项正确；抛物线的准线方程是，故B项错误；设直线的方程是，联立，消去得，则，所以，解得，故直线的方程是或故C项错误；故D项正确故选：AD7. 3【解析】由抛物线方程可知，由线段的中点到轴的距离为，故答案为38. 【解析】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：设点，的中点为，则两式相减可得，所以，解得，可得，则，可得.故答案为：9. 见解析【解析】（1）由题意，联立，可得.若线段与抛物线没有公共点，即时，点在抛物线准线上的射影为，由抛物线的定义可得，则当、三点共线时，的最小值为，此时；若线段与抛物线有公共点，即时，则当、三点共线时，的最小值为，此时，综上，实数的值为或；（2）因为，所以轴且，设，则，代入抛物线的方程得，解得，于是，所以外接圆的方程为.10. 见解析【解析】（1）点在抛物线上，代入得，故抛物线.点在椭圆上，故，又，故：，椭圆的方程为：.（2）椭圆的离心率为，故，又，故.又，故：，椭圆的方程为：.设，直线的方程为：，联立椭圆方程得：，代入化简得：，由于为线段的中点，且点的纵坐标为，故，得：，消得：，代入得：，又，所以的最大值为，当，时，取到最大值.