高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：10.4 变量间的相关关系、统计案例 Word版含答案_20210103224748.doc

淘宝店铺：漫兮教育第四节变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例1变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程2统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用知识点一回归分析1变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关2两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线(2)回归方程为x，其中，.(3)通过求Q (yibxia)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法(4)相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性易误提醒1易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上 .3利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)自测练习1已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为0.95x，则()x0134y2.24.34.86.7A.3.25B2.6C2.2 D0解析：回归直线必过样本点的中心(，)，又2，4.5，代入回归方程，得2.6.答案：B2(2016·镇江模拟)如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)数据，去掉_组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.答案：D知识点二独立性检验独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdK2(其中nabcd为样本容量)易误提醒(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释自测练习3下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A94,72B52,50C52,74 D74,52解析：a2173，a52，又a22b，b74.答案：C考点一相关关系的判断|1对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()Ar2<r4<0<r3<r1Br4<r2<0<r1<r3Cr4<r2<0<r3<r1 Dr2<r4<0<r1<r3解析：易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.答案：A2(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：因为y0.1x1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z负相关答案：C相关关系的判断的两种方法(1)散点图法(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强考点二回归分析|(2015·高考全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，56368×6.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.6×0.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大回归直线方程的求法(1)利用公式，求出回归系数，.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数1(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x.(2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.54×35×46×4.566.5)解：(1)由对照数据，计算得x1y166.5，x3242526286，4.5，3.5，0.7，3.50.7×4.50.35，所求的回归方程为0.7x0.35.(2)x100，100×0.70.3570.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨标准煤)考点三独立性检验|(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表平均每天喝500 mL以上为常喝，体重超过50 kg为肥胖.常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：K2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中nabcd.解(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，解得x6.常喝不常喝合计肥胖628不肥胖41822合计102030(2)由已知数据可求得K28.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A，B，C，D，女生为E，F，任取两人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种故抽出一男一女的概率是P.解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确：明确两类主体；明确研究的两个问题(2)两个关键：准确画出2×2列联表；准确理解K2.提醒：准确计算K2的值是正确判断的前提 2通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男女总计走天桥402060走斑马线203050总计6050110K2，nabcd.附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：K27.8.P(K26.635)0.01199%，有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.答案：A12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板【典例】(12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：喜欢“应用统计”课程不喜欢“应用统计”课程总计男生20525女生102030总计302555(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率下面的临界值表供参考：P(K2k0)0.150.100.050.250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2，其中nabcd)规范解答(1)由公式K211.978>7.879，(3分)所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关(6分)(2)设所抽样本中有m个男生，则，得m4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2.从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，(9分)其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个(11分)所以恰有1个男生和1个女生的概率为.(12分)模板形成跟踪练习某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据见下表所示：参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高17825学习积极性一般52025合计222850(1)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由附：K2；其中nabcd.P(K2k0)0.050.010.001k03.8416.63510.828解：(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是.(2)因为K211.688>10.828，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系A组考点能力演练1根据如下样本数据得到的回归方程为x，则()x345678y4.02.50.50.52.03.0A.>0，>0B.>0，<0C.<0，>0 D.<0，<0解析：把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图(图略)，由图可知<0，>0.故选B.答案：B2已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确答案：A3春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015附表及公式P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2，其中nabcd.则下面的正确结论是()A有90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”B在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”C在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”D有90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”解析：由2×2列联表得到a45，b10，c30，d15，则ab55，cd45，ac75，bd25，ad675，bc300，n100，计算得K2的观测值k03.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”，故选A.答案：A4根据如下样本数据：x34567y4.0a5.40.50.5b0.6得到的回归方程为x.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就()A增加1.4个单位 B减少1.4个单位C增加7.9个单位 D减少7.9个单位解析：依题意得，0.9，故6.5；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.95，联立，解得1.4，7.9，则1.4x7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位，故选B.答案：B5已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为x，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()A.>b，>a B.>b，<aC.<b，>a D.<b，<a解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y2x2，b2，a2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得，×，所以<b，>a.答案：C6(2016·忻州联考)已知x，y的取值如下表：x2345y2.23.85.56.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为1.46x，则实数的值为_解析：3.5，4.5，回归方程必过样本的中心点(，)把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得0.61.答案：0.617为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050则在犯错误的概率不超过_的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：K28.333>7.879.答案：0.5%8已知下表所示数据的回归直线方程为4x242，则实数a_.x23456y251254257a266解析：回归直线4x242必过样本点的中心点(，)，而4，4×4242，解得a262.答案：2629(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析解：(1)2×2列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030(2)因为K210>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关10(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程t；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t6)的人民币储蓄存款附：回归方程t中，.解：(1)列表计算如下itiyittiyi11515226412337921454581016253250153655120这里n5，ti3，yi7.2.又ltttn2555×3210，ltytiyin 1205×3×7.212，从而1.2，7.21.2×33.6，故所求回归方程为1.2t3.6.(2)将t6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.2×63.610.8(千亿元)B组高考题型专练1(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程x，其中0.76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A11.4万元 B11.8万元C12.0万元 D12.2万元解析：10.0，8.0，0.76，80.76×100.4，回归方程为0.76x0.4，把x15代入上式得，0.76×150.411.8(万元)，故选B.答案：B2(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学答案：乙数学