考点07 指数与指数函数-备战2020年高考数学（理）考点一遍过.docx

考点07 指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质.当为奇数时，.当为偶数时，.【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零2实数指数幂（1）分数指数幂我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：；.（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.二、指数函数的图象与性质1指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2指数函数的图象与性质图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=ax与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点3有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域若a的范围不确定，则需对a进行讨论求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域(2)判断复合函数的单调性令u=f(x)，xm，n，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在m，n上是减函数(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(x)的关系，最后确定函数的奇偶性二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性考向一 指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）； （2）.【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可1_考向二 与指数函数有关的图象问题指数函数y=ax(a0，且a1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”典例2 函数y=axa(a0，且a1)的图象可能是【答案】C【解析】当x=1时，y=a1a=0，所以y=axa的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2函数的图像是ABCD考向三 指数函数单调性的应用1比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较2解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论典例3 设，则的大小关系是A B C D【答案】A【解析】对于函数，在其定义域上是减函数，即.在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象，可知，即.从而.故A正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论.3设，（其中是自然对数的底数），则ABCD典例4 设函数，若，则实数a的取值范围是A BC D【答案】C【解析】当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以故的取值范围是.故选C【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当及时，的取值范围，最后综合即可得出结果4若，则A B C D考向四 指数型函数的性质及其应用1指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论2指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 已知函数，则fx是A奇函数，且在R上是增函数 B偶函数，且在0,+上是增函数C奇函数，且在R上是减函数 D偶函数，且在0,+上是减函数【答案】C【解析】易知函数的定义域为，关于原点对称，且，则，所以是奇函数，显然函数是减函数.故选C5若函数f(x)=3x3x与g(x)=3x3x的定义域均为R，则Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为奇函数，g(x)为偶函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为偶函数，g(x)为奇函数典例6 若函数的最小值为，则实数的取值范围为ABCD【答案】D【解析】当时，f（x），单调递减，f（x）的最小值为f(2)=1；当x2时，f（x）单调递增，若满足题意，只需恒成立，即恒成立，a0.故选D典例7 函数的值域为_【答案】(0，2【解析】设，又由指数函数为单调递减函数，即可求解由题意，设，又由指数函数为单调递减函数，知当时，即函数的值域为6若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为A B C D1计算：A3 B2 C D2若函数f(x)=2x,x<1-log2x,x1，则函数f(x)的值域是A(-,2)B0,+)C(-,0)(0,2)D(-,23设，则的大小关系是ABCD4函数f(x)=12x2-2x的单调递减区间为A0,+B1,+C(-,1)D(-,-1)5函数的图象的大致形状是A BC D6已知函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是A B C D7已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是A B C D8已知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若是的必要不充分条件，则的取值范围是ABCD9已知是定义域为的偶函数，且时，则不等式的解集为A B C D10函数f(x)=log2x+1与g(x)=2-x-1在同一平面直角坐标系下的图象大致是ABCD11设函数与且)在区间上具有不同的单调性，则与的大小关系是A B C D12定义新运算：当mn时，mn=m；当m<n时，mn=n.设函数fx=2x2-1log2x2x，则fx在0,2上的值域为A0,12B0,12C1,12D1,1213设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是A B C D14已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为_.15已知，则=_.16已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_17已知函数，若，则实数的值是_18已知，则_19若不等式-x2+2x+321-3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为_.20已知函数，若，则函数的图象恒过定点_21已知函数的定义域和值域都是，则_22（1）；（2）.23已知函数.（1）若 ，求方程的根；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.24已知函数（且）是定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）求函数的值域；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.1（2019年高考全国卷理数）已知，则ABCD2（2019年高考天津理数）已知，则的大小关系为ABCD3（2019年高考全国卷理数）若a>b，则Aln(ab)>0 B3a<3b Ca3b3>0 Da>b4（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a1)的图象可能是5（2019年高考全国卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）6（2017年高考新课标卷理科）已知集合A=x|x<1，B=x|，则ABCD7（2017年高考北京卷理科）已知函数，则A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数8(2016年高考新课标卷理科)已知，则A B C D9（2017年高考新课标卷理科）设函数则满足的x的取值范围是 .10（2016年高考天津卷理科）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是 .变式拓展1【答案】【解析】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：，故答案为.2【答案】A【解析】由，可得，排除选项C,D；由指数函数图象的性质可得恒成立，排除选项B，故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.3【答案】B【解析】由题得，且b>0，所以.故选B.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确4【答案】D【解析】因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项A、B；时，可排除选项C，由指数函数的性质可判断正确.故选D【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5【答案】D【解析】因为f(x)=3x3x=f(x)，g(x)=3x3x=g(x)，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数.故选D.6【答案】B【解析】由题得在（0,1）上恒成立，设，所以，由于函数是增函数，所以.故选B考点冲关1【答案】D【解析】原式.故选D.2【答案】A【解析】因为x<1时，2x<2；x1时，-log2x0，所以函数fx的值域是-,2.故选A3【答案】B【解析】由的单调性可知：，又，.故选B.4【答案】B【解析】由函数f(x)=(12)x2-2x，结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为y=x2-2x的增区间由二次函数的性质可得y=x2-2x的增区间为(1,+).故选B5【答案】A【解析】函数的定义域为当时，由题意可得，故可排除B，D；又当时，由于，故，故排除C故选A【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行解题时要注意以下几点：（1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除；（3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断6【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率 故选B7【答案】D【解析】由指数函数的性质得，对于A，当时，满足，但不成立对于B，若，则等价为成立，当时，满足，但不成立对于C，当时，满足，但不成立对于D，当时，恒成立.故选D【名师点睛】利用指数函数即可得出的大小关系，进而判断出结论本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键属于基础题8【答案】B【解析】因为在上单调递增，所以，又函数在上单调递增，于是.因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，故有（等号不同时成立），得.故选B9【答案】D【解析】由题意得，当时，则不等式，即，解得；又因为函数是定义域为的偶函数，当时，则不等式，即，解得，所以不等式的解集为.故选D10【答案】D【解析】，由指数函数的图象知，将函数y=(12)x的图象向左平移一个单位，即可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C；将函数y=log2x的图象向上平移一个单位，即可得到f(x)=log2x+1的图象，从而排除选项B.故选D11【答案】D【解析】由题意，因为与在区间上具有不同的单调性， 则，所以，所以.故选D12【答案】C【解析】由题意得，函数fx=2x2-1log2x2x=2x，0<x<122x-2x，1x<2，当x0,1时，fx=2x1,2；当x1,2时，fx=22x-2x，令t=2x2,4，则2t2-t<12，故fx在0,2上的值域为1,12.故选C.13【答案】B【解析】画出函数的大致图象如图所示不妨令，则，则结合图象可得，故故选B【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象解题中有两个关键：一是结合图象得到；二是根据图象判断出c的取值范围，进而得到的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围14【答案】【解析】由题意，令，可得，所以函数（且）的图象过定点.15【答案】【解析】由题意得， .16【答案】【解析】函数的定义域为，恒成立，即恒成立， ，故答案为.17【答案】【解析】， ，又则a故答案为.18【答案】3【解析】由题设可得，则，即，即.故答案为.19【答案】-13【解析】设f(x)=-x2+2x+3，不等式-x2+2x+321-3a对任意实数x都成立，只需满足f(x)max21-3a即可，f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4f(x)max=4，所以421-3aa-13，因此实数a的最大值为-13.20【答案】 【解析】，函数图象的对称轴为，即，在中，令，则函数的图象恒过定点故答案为21【答案】4【解析】当时，函数单调递增，所以函数的图象过点(1, 1)和点(0,0)，所以，该方程组无解； 当时，函数单调递减，所以函数的图象过点(1,0)和点(0, 1)，所以，解得.所以22【答案】（1）2；（2）【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得.（2）根据对数的运算性质，可得23【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，可得，解得.（2）令，.由，可得，对恒成立，当且仅当，即时，取得最小值为，故，的取值范围为.24【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）是上的奇函数，即.整理可得（注：本题也可由解得，但要进行验证）（2）由（1）可得，函数在上单调递增，又，函数的值域为（3）当时，由题意得在时恒成立，在时恒成立令，则有，当时函数为增函数，.故实数的取值范围为【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为（或）恒成立的问题求解，此时只需求得函数的最大（小）值即可若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理直通高考1【答案】B【解析】即则故选B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2【答案】A【解析】因为，即，所以.故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，所以，即a3b3>0，C正确.故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.5【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案6【答案】A【解析】由可得，则，即，所以，.故选A.7【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函数.8【答案】A【解析】因为，所以.故选A9【答案】 【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，即.综上，x的取值范围是.10【答案】 【解析】由题意知在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，即，解得，即的取值范围为