高考数学一轮复习总教案：4.3　平面向量的数量积及向量的应用_20210103224807.doc

4.3平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题来源:【例1】 已知a，b夹角为120°，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b) ·(ab)；(3)a与(ab)的夹角.【解析】(1)(ab)2a2b22a·b1642×4×2×12，所以|ab|2.来源:(2)(a2b) ·(ab)a23a·b2b2163×4×2×2×412.(3)a·(ab)a2a·b164×2×12.所以cos ，所以.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1】已知向量a，b，c满足：|a|1，|b|2，cab，且ca，则a与b的夹角大小是.【解析】由cac·a0a2a·b0，所以cos ，所以120°.题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在ABC中，(2，3)， (1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值.【解析】当A90°时，有·0，来源:所以2×13·k0，所以k；当B90°时，有·0，又(12，k3)(1，k3)，所以2×(1)3×(k3)0k；当C90°时，有·0，所以1k·(k3)0，所以k23k10k.来源:所以k的取值为，或.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】ABC中，AB4，BC5，AC6，求···.【解析】因为2·2·2·(··)(··)(··)·()·()·()···42625277.来源:数理化网所以···.题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox，Oy交于点O，且xOy，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且xe1ye2，则点P的坐标为(x，y)，已知Q(1，2).(1)求|的值及与Ox的夹角；(2)过点Q的直线lOQ，求l的直线方程(在斜坐标系中).【解析】(1)依题意知，e1·e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1·e23.所以|.又·e1(e12e2) ·e1e2e1e20.所以e1，即与Ox成90°角.(2)设l上动点P(x，y)，即xe1ye2，又l，故，来源:即(x1)e1(y2)e2 ·(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) ·2(y2)0，所以y2，即为所求直线l的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x)ax2(a0)，使得 ()(为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1)，(k，f(k)，则k的取值范围为()A.(2，)B.(3，)C.(4，)D.(8，)【解析】如图所示，设，则.因为P(1，a)，Q(k，ak2)，(1，0)，(，)，(1，)，则直线OG的方程为yx，又，所以P(1，a)在直线OG上，所以a，所以a21.因为|1，所以10，所以k2. 故选A.总结提高1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a·b) ·ca·(b·c)；数量积不满足消去律，即a·ba·c推不出bc.2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.