2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十二章 12.6圆锥曲线问题-教师版.docx

第1课时进门测1已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120°，|BM|AB|2a，MBN60°，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60°a，x1|OB|BN|a2acos 60°2a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|××6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|·h.3已知A，B分别为椭圆1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线ykx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，将ykx代入椭圆方程可解得x1，x2，则|CD|x1x2|.又点A(a,0)到直线ykx的距离d1，点B(0，b)到直线ykx的距离d2，所以S四边形ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)·|CD|··ab·.令t，则t212ab·12ab·12ab·2，当且仅当a2k，即k时，tmax，所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件，有ab2c2，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得e2或e21(舍去)，所以e，故选D.4双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.作业检查无第2课时阶段训练题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入，得c1，所以b2a2c22，故椭圆C的方程为1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为y±x，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，选D.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.(2)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)D(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y22px(p>0)，F，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF×3p×p×p23，p26，p>0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(a>b>0)与抛物线y22px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(a>b>0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方程得y±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3若直线l：y过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)>00<k2<，且13k20k2.设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx01，故直线m的方程为y，即yx.所以直线m在y轴上的截距为，由0<k2<，且k2，得13k2(1,0)(0,1)，所以(，4)(4，)故直线m在y轴上的截距的取值范围为(，4)(4，)思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围直线l：xy0与椭圆y21相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析由得3x22，x±，设点A在第一象限，A(，)，B(，)，|AB|.设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点则ABP面积最大由得3x24mx2m220，(4m)24×3×(2m22)0，m±.P到AB的距离即为l与l的距离，d.SABC××.题型四定值、定点问题例4设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|2 4.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12 .可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0，得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.|AN|·|BM|··4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|为定值题型五探索性问题例5已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知MC1MO，·0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，<x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中<x3.(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中<x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中<x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中<x3.若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)0.当0时，解得k2，即k±，此时方程可化为25x2120x1440，即(5x12)20，解得x，k±满足条件当>0时，若x3是方程的解，则f(3)0k0另一根为x0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x是方程的解，则f0k±另外一根为x，<3，故在区间上有且仅有一根，满足题意；若x3和x均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0<k<.故在区间上有且仅有一个根，满足题意综上所述，k的取值范围是k或k±.思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由解(1)由题意知e，e2，即a2b2，又1，a24，b23，椭圆C的标准方程为1.(2)AOB的面积为定值理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(，)，Q(，)，以PQ为直径的圆经过坐标原点，·0，即0.由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)>0，得34k2m2>0.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)·(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，代入0，即y1y2x1x2，得·，即2m24k23，|AB|·|x1x2|··，由点O到直线AB的距离公式得d，SAOB|AB|d··，把2m24k23代入上式，得SAOB.第3课时阶段重难点梳理1如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2椭圆C：1(a>b>0)的上，下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P(，)在椭圆C上，且OPAF.(1)求椭圆C的方程；(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围解(1)点P(，)，kOP，又AFOP，×1，cb，a24b2.又点P(，)在椭圆上，1，解得a24，b21，故椭圆方程为y21.(2)()当直线l的斜率不存在时，方程为x1，此时d1.()当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m±1)，联立椭圆方程得(4k21)x28kmx4(m21)0，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，由>04k2m21>0，由2x1x22x1x22，即km1m2km(m0)，把式代入式得m2>或0<m2<1.椭圆右顶点D(2,0)到直线l的距离d，令m21t(1,0)(，)，则d0,1)(1,2)，综上可知d0,2)3已知曲线C的方程是mx2ny21(m>0，n>0)，且曲线C过A(，)，B(，)两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OMON，求证：直线MN恒与一个定圆相切(1)解由题可得解得m4，n1.所以曲线C的方程为y24x21.(2)证明由题得y4x1，y4x1，x1x2y1y20，原点O到直线MN的距离d .由x1x2y1y20，得xxyy(14x)(14x)14(xx)16xx，所以xx(xx)，d ，所以直线MN恒与定圆x2y2相切4已知椭圆1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得a2，b，从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为xty1.将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y(x2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP，则有·0.所以(p4)20.将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.5已知椭圆C：1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴，y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设.(1)若，求椭圆C的离心率；(2)若PF1F2为等腰三角形，求的值解(1)因为A，B分别是直线l：yexa与x轴，y轴的交点，所以A，B的坐标分别为(，0)，(0，a)，由得所以点M的坐标是(c，)，由，得(c，)(，a)即解得1e2，因为，所以e.(2)因为PF1l，所以PF1F290°BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|F1F2|，即|PF1|c.设点F1到l的距离为d，由|PF1|dc，得e，所以e2，于是1e2.即当时，PF1F2为等腰三角形23