2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系 教案.doc

1 第第 2 课时课时 精研题型明考向精研题型明考向圆的方程、直线与圆的位置关系圆的方程、直线与圆的位置关系 一、真题集中研究一、真题集中研究明考情明考情 1(2020 全国卷全国卷 考查弦长问题考查弦长问题) 已知圆已知圆 x2y26x0，过点，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 B 将圆的方程将圆的方程 x2y26x0 化为标准方程化为标准方程(x3)2y29. 设圆心为设圆心为 C，则，则 C(3,0)，半径，半径 r3. 设点设点(1,2)为点为点 A，过点，过点 A(1,2)的直线为的直线为 l. 因为因为(13)2229， 所以点所以点 A(1,2)在圆在圆 C 的内部，的内部， 则直线则直线 l 与圆与圆 C 必相交，设交点分别为必相交，设交点分别为 B，D. 易知当直线易知当直线 lAC 时，直线时，直线 l 被该圆所截得的弦的长度最小被该圆所截得的弦的长度最小 设此时圆心设此时圆心 C 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d， 则则 d|AC| 31 2 02 22 2， 所以所以|BD|min2 r2d2232 2 2 22， 即弦的长度的最小值为即弦的长度的最小值为 2，故选，故选 B. 2(2020 全国卷全国卷 考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用) 若直线若直线 l 与曲线与曲线 y x和圆和圆 x2y215都相切，则都相切，则 l 的方程为的方程为( ) Ay2x1 By2x12 Cy12x1 Dy12x12 解析：解析： 选选 D 设直线设直线 l 在曲线在曲线 y x上的切点为上的切点为(x0， x0)， 则， 则 x00， 函数， 函数 y x的导数为的导数为 y12 x，则直线，则直线 l 的斜率的斜率 k12 x0 . 设直线设直线 l 的方程为的方程为 y x012 x0(xx0)， 即即 x2 x0yx00. 由于直线由于直线 l 与圆与圆 x2y215相切，则相切，则x014x015， 两边平方并整理得两边平方并整理得 5x204x010， 解得解得 x01 或或 x015(舍去舍去)， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 x2y10，即，即 y12x12. 2 3(2020 全国卷全国卷 考查直线与圆的位置关系考查直线与圆的位置关系) 已知已知M：x2y22x2y20，直线，直线 l：2xy20，P 为为 l 上的动点过点上的动点过点 P 作作M的切线的切线 PA，PB，切点为，切点为 A，B，当，当|PM| |AB|最小时，直线最小时，直线 AB 的方程为的方程为( ) A2xy10 B2xy10 C2xy10 D2xy10 解析：解析：选选 D 圆的方程可化为圆的方程可化为(x1)2(y1)24，点，点 M 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d|2112|2212 52，所以直线，所以直线 l 与圆相离与圆相离 由圆的知识可知，由圆的知识可知，A，P，B，M 四点共圆，且四点共圆，且 ABMP，所以，所以|MP| |AB|4SPAM412|PA|AM|4|PA|，而，而|PA| |MP|24， 当直线当直线 MPl 时，时，|MP|min 5，|PA|min1， 此时此时|MP| |AB|最小最小 易知直线易知直线 MP 的方程为的方程为 y112(x1)，即，即 y12x12. 由由 y12x12，2xy20，解得解得 x1，y0. 所以以所以以 MP 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x1)(x1)y(y1)0，即，即 x2y2y10， 两圆的方程相减可得：两圆的方程相减可得：2xy10， 即为直线即为直线 AB 的方程故选的方程故选 D. 4(2018 全国卷全国卷 考查距离问题、直线与圆的位置关系考查距离问题、直线与圆的位置关系) 直线直线 xy20 分别与分别与 x 轴，轴， y 轴交于轴交于 A， B 两点， 点两点， 点 P 在圆在圆(x2)2y22 上， 则上， 则 ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是( ) A2,6 B4,8 C 2，3 2 D2 2，3 2 解析：解析：选选 A 设圆设圆(x2)2y22 的圆心为的圆心为 C，半径为，半径为 r，点，点 P 到直线到直线 xy20 的距离为的距离为d， 则圆心则圆心 C(2,0)，r 2， 所以圆心所以圆心 C 到直线到直线 xy20 的距离为的距离为|22|22 2， 可得可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2. 由已知条件可得由已知条件可得|AB|2 2， 所以所以ABP 面积的最大值为面积的最大值为12|AB| dmax6， 3 ABP 面积的最小值为面积的最小值为12|AB| dmin2. 综上，综上，ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是2,6 把脉考情把脉考情 常规常规 角度角度 1.圆的方程主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题圆的方程主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题 2.直线与圆的位置关系主要考查圆的切线方程、圆的直线与圆的位置关系主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题弦长问题 创新创新 角度角度 与三角形与三角形(或四边形或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题数交汇考查最值或范围问题 二、题型精细研究二、题型精细研究提素养提素养 题型一题型一 求圆的方程求圆的方程 典例典例 (1)(2021 海口模拟海口模拟)已知圆已知圆 M 与直线与直线 3x4y0 及及 3x4y100 都相切，圆心在都相切，圆心在直线直线 yx4 上，则圆上，则圆 M 的方程为的方程为( ) A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 (2)一个圆与一个圆与 y 轴相切，圆心在直线轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线上，且在直线 yx 上截得的弦长为上截得的弦长为 2 7，则，则该圆的方程为该圆的方程为_ 解析解析 (1)到两直线到两直线 3x4y0,3x4y100 的距离都相等的直线方程为的距离都相等的直线方程为 3x4y50，联立得方程组联立得方程组 3x4y50，yx4，解得解得 x3，y1.又两平行线间的距离为又两平行线间的距离为 2，所以圆，所以圆 M 的半的半径为径为 1，从而圆，从而圆 M 的方程为的方程为(x3)2(y1)21，故选，故选 C. (2)法一：几何法法一：几何法 所求圆的圆心在直线所求圆的圆心在直线 x3y0 上，上， 设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与又所求圆与 y 轴相切，轴相切， 半径半径 r3|a|， 又所求圆在直线又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为上截得的弦长为 2 7，圆心，圆心(3a，a)到直线到直线 yx 的距离的距离 d|2a|2， d2( 7)2r2，即即 2a279a2， a 1. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或或(x3)2(y1)29. 即即 x2y26x2y10 或或 x2y26x2y10. 法二：待定系数法法二：待定系数法 4 设所求圆的方程为设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心，则圆心(a，b)到直线到直线 yx 的距离为的距离为|ab|2， r2 ab 227，即，即 2r2(ab)214. 由于所求圆与由于所求圆与 y 轴相切，轴相切， r2a2， 又又所求圆的圆心在直线所求圆的圆心在直线 x3y0 上，上， a3b0， 联立联立，解得，解得 a3，b1，r29或或 a3，b1，r29. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或或(x3)2(y1)29. 即即 x2y26x2y10 或或 x2y26x2y10. 法三：待定系数法法三：待定系数法 设所求圆的方程为设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则圆心坐标为则圆心坐标为 D2，E2， 半径半径 r12D2E24F. 在圆的方程中，令在圆的方程中，令 x0，得，得 y2EyF0. 由于所求圆与由于所求圆与 y 轴相切，轴相切，0，则，则 E24F. 圆心圆心 D2，E2到直线到直线 yx 的距离为的距离为 d D2E22，由已知得，由已知得 d2( 7)2r2， 即即(DE)2562(D2E24F) 又圆心又圆心 D2，E2在直线在直线 x3y0 上，上， D3E0. 联立联立，解得，解得 D6，E2，F1或或 D6，E2，F1. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或或 x2y26x2y10. 答案答案 (1)C (2)x2y26x2y10 或或 x2y26x2y10 方法技巧方法技巧 1求圆的方程的求圆的方程的 2 种方法种方法 5 (1)几何法：几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法：待定系数法：若已知条件与圆心若已知条件与圆心(a，b)和半径和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出的方程组，从而求出 a，b，r 的值；的值； 若已若已知条件没有明确给出圆心或半径， 则选择设圆的一般方程， 依据已知条件列出关于知条件没有明确给出圆心或半径， 则选择设圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出的方程组，进而求出 D，E，F 的值的值 2确定圆心位置的方法确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线两圆相切时，切点与两圆圆心共线 针对训练针对训练 1(2021 福州模拟福州模拟)已知直线已知直线 l：3x4y150 与圆与圆 C：x2y22x4y5r20(r0)相相交于交于 A，B 两点，若两点，若|AB 6，则圆，则圆 C 的标准方程为的标准方程为( ) A(x1)2(y2)225 B(x1)2(y2)236 C(x1)2(y2)216 D(x1)2(y2)249 解析：解析：选选 A 圆圆 C：x2y22x4y5r20 可化为可化为(x1)2(y2)2r2，设圆心，设圆心(1,2)到到直线直线 l 的距离为的距离为 d，则，则 d|3815|54，又，又|AB|6，根据，根据 r2324225，所以圆，所以圆 C 的标的标准方程为准方程为(x1)2(y2)225.故选故选 A. 2(2021 唐山模拟唐山模拟)已知圆已知圆 C 的圆心是直线的圆心是直线 xy10 与与 x 轴的交点，且圆轴的交点，且圆 C 与圆与圆(x2)2(y3)28 相外切，则圆相外切，则圆 C 的方程为的方程为_ 解析：解析：由题意知圆心由题意知圆心 C(1,0)，其到已知圆圆心，其到已知圆圆心(2,3)的距离的距离 d3 2，由两圆相外切可得，由两圆相外切可得 R2 2d3 2，R 2.圆圆 C 的标准方程为的标准方程为(x1)2y22. 答案：答案：(x1)2y22 题型二题型二 弦长问题弦长问题 典例典例 (1)(2021 河北七校联考河北七校联考)若若 a，b，c 是是ABC 三个内角的对边，且三个内角的对边，且 csin C 3asin A3bsin B，则直线，则直线 l：axbyc0 被圆被圆 O：x2y212 所截得的弦长为所截得的弦长为( ) A4 6 B2 6 C6 D5 (2)过点过点(1,1)的直线的直线 l 与圆与圆(x2)2(y3)29 相交于相交于 A，B 两点，当两点，当|AB|4 时，直线时，直线 l 的方的方程为程为_ 解析解析 (1)因为因为asin Absin Bcsin C. 故由故由 csin C3asin A3bsin B 可得可得 c23(a2b2) 圆圆 O： x2y212 的圆心为的圆心为 O(0,0)， 半径为， 半径为 r2 3， 圆心， 圆心 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d|c|a2b2 3， 6 所以直线所以直线 l 被圆被圆 O 所截得的弦长为所截得的弦长为 2 r2d22 2 3 2 3 26，故选，故选 C. (2)当直线当直线 l 的斜率不存在时，直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为的方程为 x1，但，但|AB|4，不符合题意当直线，不符合题意当直线 l 的的斜率存在时，设直线斜率存在时，设直线 l 的方程为的方程为 y1k(x1) 由由|AB|4，得，得|k2|1k2 5，解得，解得 k12， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y112(x1)， 即即 x2y30. 答案答案 (1)C (2)x2y30 方法技巧方法技巧 解决有关弦长问题的常用方法及结论解决有关弦长问题的常用方法及结论 几何法几何法 如图所示，设直线如图所示，设直线 l 被圆被圆 C 截得的弦为截得的弦为 AB，圆的半径为，圆的半径为 r，圆心到直线，圆心到直线的距离为的距离为 d，则有关系式：，则有关系式：|AB|2 r2d2 代数法代数法 若斜率为若斜率为 k 的直线与圆相交于的直线与圆相交于 A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则两点，则|AB|1k2 xAxB 24xAxB 11k2 |yAyB|(其中其中 k0) 特别地， 当 特别地， 当k0 时，时，|AB|xAxB|；当斜率不存在时，；当斜率不存在时，|AB|yAyB|，当直线与，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用它和点到直线的距离公式结合起来使用 针对训练针对训练 1(2021 烟台模拟烟台模拟)已知圆已知圆 C：(x3)2(y1)23 及直线及直线 l：axy2a20，当直线，当直线 l被圆被圆 C 截得截得的弦长最短时，直线的弦长最短时，直线 l 的方程为的方程为_ 解析解析：由：由 l：axy2a20 得得 a(x2)y20， 不论不论 a 取何值，直线取何值，直线 l 恒过点恒过点 P(2,2) 121224， 所以点所以点 M 在圆在圆 C 外部外部 当过点当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为的直线斜率不存在时，直线方程为 x3， 又点又点 C(1,2)到直线到直线 x30 的距离的距离 d312r， 即此时满足题意，所以直线即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线是圆的切线 当切线的斜率存在时当切线的斜率存在时，设切线方程为设切线方程为 y1k(x3)， 即即 kxy13k0， 则圆心则圆心 C 到切线的距离到切线的距离 d|k213k|k21r2， 解得解得 k34.所以切线方程为所以切线方程为 y134(x3)， 即即 3x4y50. 综上可得综上可得，过点过点 M 的圆的圆 C 的切线方程为的切线方程为 x3 或或 3x4y50. 因为因为|MC| 31 2 12 2 5， 8 所以过点所以过点 M 的圆的圆 C 的切线长为的切线长为 |MC|2r2 541. 方法技巧方法技巧 求过圆外一点求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的圆的切线方程的方法方程的方法 几何法几何法 当斜率存在时，设为当斜率存在时，设为 k，则切线方程为，则切线方程为 yy0k(xx0)，即，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证线方程，当斜率不存在时，要进行验证 代数法代数法 当斜率存在时，设为当斜率存在时，设为 k，则切线方程为，则切线方程为 yy0k(xx0)，即，即 ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于，代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由的一元二次方程，由 0，求得，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证 提醒提醒 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况 针对训练针对训练 1平行于直线平行于直线 2xy10 且与圆且与圆 x2y25 相切的直线的方程是相切的直线的方程是( ) A2xy50 或或 2xy50 B2xy 50 或或 2xy 50 C2xy50 或或 2xy50 D2xy 50 或或 2xy 50 解析：解析：选选 A 设与直线设与直线 2xy10 平行的直线方程为平行的直线方程为 2xym0(m1)，因为直线，因为直线 2xym0 与圆与圆 x2y25 相切， 即点相切， 即点(0,0)到直线到直线 2xym0 的距离为的距离为 5， 所以， 所以|m|5 5，|m|5.故所求直线的方程为故所求直线的方程为 2xy50 或或 2xy50. 2直线直线 l 是圆是圆 x2y24 在在(1， 3)处的切线，点处的切线，点 P 是圆是圆 x24xy230 上的动点，则上的动点，则点点 P 到直线到直线 l 的距离的最小值等于的距离的最小值等于( ) A1 B. 2 C. 3 D2 解析：解析：选选 D 圆圆 x2y24 在点在点(1， 3)处的切线为处的切线为 l：x 3y4，即，即 l：x 3y40，点点 P 是圆是圆(x2)2y21 上的动点， 圆心上的动点， 圆心(2,0)到直线到直线 l： x 3y40 的距离的距离 d|204|133，点点 P 到直线到直线 l 的距离的最小值等于的距离的最小值等于 d1312.故选故选 D. 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1(2021 江苏部分学校调研江苏部分学校调研)圆圆(x2)2y24 关于直线关于直线 y33x 对称的圆的方程是对称的圆的方程是( ) 9 A(x 3)2(y1)24 B(x 2)2(y 2)24 Cx2(y2)24 D(x1)2(y 3)24 解析：解析：选选 D 设圆设圆(x2)2y24 的圆心的圆心(2,0)关于直线关于直线 y33x 对称的点的坐标为对称的点的坐标为(a，b)，则，则有有 ba2331，b233a22，解得解得 a1，b 3，从而所求圆的方程为，从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)24.故选故选D. 2过点过点(2,1)的直线中被圆的直线中被圆(x1)2(y2)25 截得的弦长最大的直线方程是截得的弦长最大的直线方程是( ) A3xy50 B3xy70 Cx3y50 Dx3y50 解析：解析：选选 A 过点过点(2,1)的直线中被圆的直线中被圆(x1)2(y2)25 截得的弦长最大的直线方程经过截得的弦长最大的直线方程经过圆心，圆心， 其直线方程为过点其直线方程为过点(2,1)和圆心和圆心(1，2)的直线，的直线， 其方程为：其方程为：y2x11221， 整理，得整理，得 3xy50.故选故选 A. 3过点过点(4,0)作作直线直线 l 与圆与圆 x2y22x4y200 交于交于 A，B 两点，若两点，若|AB|8，则直线，则直线 l的方程为的方程为( ) A5x12y200 B5x12y200 或或 x40 C5x12y200 D5x12y200 或或 x40 解析：解析：选选 B 圆的标准方程为圆的标准方程为(x1)2(y2)225， 由由|AB|8 知，圆心知，圆心(1,2)到直线到直线 l 的距离的距离 d3. 当直线当直线 l 的斜率不存在，即直线的斜率不存在，即直线 l 的方程为的方程为 x4 时，符合题意时，符合题意 当直线当直线 l 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为的方程为 yk(x4)，即，即 kxy4k0.则有则有|3k2|k213，k512. 此时直线此时直线 l 的方程为的方程为 5x12y200. 4已知直线已知直线 yax 与圆与圆 C：x2y26y60 相交于相交于 A，B 两点，两点，C 为圆心若为圆心若ABC 为为等边三角形，则等边三角形，则 a 的值为的值为( ) A1 B 1 C. 3 D 3 10 解析：解析：选选 D 根据题意，圆根据题意，圆 C：x2y26y60 即即 x2(y3)23，其圆心为，其圆心为(0,3)，半径，半径 r 3，直线，直线 yax 与圆与圆 C：x2y26y60 相交于相交于 A，B 两点两点，若，若ABC 为等边三角形，为等边三角形，则圆心则圆心 C 到直线到直线 yax 的距离的距离 d32，则有，则有|3|1a232，解得，解得 a 3. 5已知圆已知圆(x2)2y21 上的点到直线上的点到直线 y 3xb 的最短距离为的最短距离为 3，则，则 b 的值为的值为( ) A2 或或 2 B2 或或 4 32 C2 或或 4 32 D4 32 或或 2 解析：解析：选选 D 由圆由圆(x2)2y21， 可得圆心坐标为可得圆心坐标为(2,0)，半径，半径 r1， 设圆心设圆心(2,0)到直线到直线 y 3xb 的距离为的距离为 d， 则则 d|2 3b31，因为圆，因为圆(x2)2y21 上的点到直线上的点到直线 y 3xb 的最短距离为的最短距离为 3，所以，所以 dr 3，即，即|2 3b311 3，解得，解得 b2 或或 b4 32，故选，故选 D. 6(多选多选)若直线若直线 l：ykx1 与圆与圆 C：(x2)2(y1)22 相切，则直线相切，则直线 l 与圆与圆 D：(x2)2y23 的位置关系是的位置关系是( ) A相交相交 B相切相切 C相离相离 D不确定不确定 解析：解析：选选 AC 由题意知由题意知 C(2,1)，圆，圆 C 的半径为的半径为 2， 则则|2k11|k21 2，解得，解得 k 1， 则直线则直线 l 的方程为的方程为 y x1. D(2,0)，圆，圆 D 的半径为的半径为 r 3， k1 时，时，D 到直线到直线 l 的距离为的距离为|21|23 22 3，相离；，相离； k1 时，时，D 到直线到直线 l 的距离为的距离为|21|2220)，则圆则圆 C 的半径为的半径为 m， 又又|MN|3，所以，所以 m24 322254， 解得解得 m52， 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为 x522(y2)2254. (2)证明证明：由：由(1)知知 M(1,0)，N(4,0)，当直线，当直线 AB 的斜率为的斜率为 0 时，易知时，易知 kANkBN0，即，即 kANkBN0. 当直线当直线 AB 的斜率不为的斜率不为 0 时，设直线时，设直线 AB：x1ty，将，将 x1ty 代入代入 x2y240，并整，并整理得理得(t21)y22ty30. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，所以 y1y22tt21，y1y23t21， 则则 kANkBNy1x14y2x24y1ty13y2ty23 2ty1y23 y1y2 ty13 ty23 6tt216tt21 ty13 ty23 0. 综上可知，综上可知，kANkBN为定值为定值