2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 两条直线的位置关系 教案.doc

1 第二节第二节 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养 2结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养 3结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：两条直线平行： 对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为，若其斜率分别为 k1，k2，则有，则有 l1l2k1k2. 当直线当直线 l1，l2不重合且斜率都不不重合且斜率都不存在时，存在时，l1l2. (2)两条直线垂直：两条直线垂直： 如果两条直线如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为的斜率存在，设为 k1，k2，则有，则有 l1l2k1 k21. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，时，l1l2. 2两条直线的交点的求法两条直线的交点的求法 直线直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则，则 l1与与 l2的交点坐标就是方程组的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20的解的解 3三种距离公式三种距离公式 类型类型 条件条件 距离公式距离公式 两点间两点间 的距离的距离 点点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间之间的距离的距离 |P1P2| x2x1 2 y2y1 2 点到直线点到直线 的距离的距离 点点 P0(x0，y0)到直线到直线 l：AxByC0 的距离的距离 d|Ax0By0C|A2B2 两平行直线两平行直线 间的距离间的距离 两条平行线两条平行线 AxByC10与与 AxByC20 间的距离间的距离 d|C1C2|A2B2 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(由平行关系求直线方程由平行关系求直线方程)过点过点(1,0)且与直线且与直线 x2y20 平行的直线方程是平行的直线方程是( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 2 解析：解析：选选 A 设直线方程为设直线方程为 x2yc0，又经过点，又经过点(1,0)，故，故 c1，所求直线方程为，所求直线方程为 x2y10. 2(点到直线的距离点到直线的距离)已知点已知点(a,2)(a0)到直线到直线 l：xy30 的距离为的距离为 1，则，则 a 等于等于( ) A. 2 B2 2 C. 21 D. 21 解析解析：选选 C 由题意知由题意知|a23|21，|a1| 2，又又 a0，a 21. 3(点关于线对称点关于线对称)点点(a，b)关于直线关于直线 xy10 的对称点是的对称点是( ) A(a1，b1) B(b1，a1) C(a，b) D(b，a) 解析：解析：选选 B 设对称点为设对称点为(x，y)，则，则 ybxa 1 1，xa2yb210， 解得解得 xb1，ya1. 4(两直线的交点两直线的交点)过两直线过两直线 l1：x3y40 和和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程的交点和原点的直线方程为为_ 解析解析：过两直线交点的直线系方程为：过两直线交点的直线系方程为 x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得，代入原点坐标，求得 45，故所求直线方程为，故所求直线方程为 x3y445(2xy5)0，即，即 3x19y0. 答案答案：3x19y0 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视两平行直线系数不一致忽视两平行直线系数不一致)平行线平行线 3x4y90 和和 6x8y20 的距离是的距离是( ) A.85 B2 C.115 D.75 解析：解析：选选 B 依题意得，所求的距离等于依题意得，所求的距离等于|182|62822. 2(忽视两直线重合忽视两直线重合)若直线若直线 l1：xy10 与直线与直线 l2：xa2ya0 平行，则实数平行，则实数 a_. 解析解析：因为直线：因为直线 l1的斜率的斜率 k11，l1l2，所以，所以 a21，且，且 a1，所以，所以 a1. 答案答案：1 3(忽视平行关系的直线斜率不存在忽视平行关系的直线斜率不存在) 已知直线已知直线(m1)x(2m1)y3 与与(3m1)x(2m211m5)y5 平行，则实数平行，则实数 m 的值为的值为_ 解析解析：当：当 m12时，由直线平行可知时，由直线平行可知m13m12m1 2m211m5 35，解得，解得 m2 或或 m3，当当 m12时，两条直线都垂直于时，两条直线都垂直于 x 轴也符合故轴也符合故 m12或或 m2，或，或 m3. 3 答案答案：12，2,3 考点一考点一 两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直 典题例析典题例析 (1)(多选多选)直线直线 l1：xmy10，l2：(m2)x3y10，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是( ) A若若 l1l2，则，则 m1 或或 m3 B若若 l1l2，则，则 m1 C若若 l1l2，则，则 m12 D若若 l1l2，则，则 m12 (2)已知直线已知直线 l1：mxy10 与直线与直线 l2：(m2)xmy20，则，则“m1”是是“l1l2”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B充要条件充要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 (3)已知经过点已知经过点 A(2,0)和和点点 B(1,3a)的直线的直线 l1与经过点与经过点 P(0，1)和点和点 Q(a，2a)的直线的直线 l2互相垂直，则实数互相垂直，则实数 a 的值为的值为_ 解析解析 (1)l1l2， m m2 3，m21， 解得解得 m1 或或 m3，经检验符合题意，经检验符合题意，A 正确正确 l1l2，(m2)13m0， 解得解得 m12，D 正确正确 (2)由由 l1l2，得，得 m(m2)m0，解得，解得 m0 或或 m1，所以，所以“m1”是是“l1l2”的充分不的充分不必要条件，故必要条件，故选选 A. (3)l1的斜率的斜率 k13a01 2 a. 当当 a0 时，时，l2的斜率的斜率 k22a 1 a012aa. 因为因为 l1l2，所以，所以 k1k21，即，即 a12aa1，解得，解得 a1. 当当 a0 时，时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线，这时直线 l2为为 y 轴，轴，A(2，0)，B(1,0)，直线，直线 l1为为 x 轴，轴，显然显然 l1l2. 综上可知，实数综上可知，实数 a 的值为的值为 1 或或 0. 答案答案 (1)AD (2)A (3)1 或或 0 4 方法技巧方法技巧 由一般式方程确定由一般式方程确定两直线位置关系的方法两直线位置关系的方法 直线方程直线方程 l1：A1xB1yC10(A21B210)， l2：A2xB2yC20(A22B220) l1与与 l2垂直垂直 的充要条件的充要条件 A1A2B1B20 l1与与 l2平行平行 的充分条件的充分条件 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) l1与与 l2相交相交 的充分条件的充分条件 A1A2B1B2(A2B20) l1与与 l2重合重合 的充分条件的充分条件 A1A2B1B2C1C2(A2B2C20) 提醒提醒 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意率不存在的特殊情况同时还要注意x x，y y的系数不能同时为零这一隐含条件的系数不能同时为零这一隐含条件 针对训练针对训练 1 (2021 长沙明德中学模拟长沙明德中学模拟)“直线直线 l1： 2x(m1)y40 与直线与直线 l2： mx3y20 平行平行”是是“m2”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不必要不充分条件充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 B 若若 l1l2，则，则 m m1 6，4m2 2 ， 即即 m2m60，m1，解得解得 m3 或或 2. 因此因此“直线直线 l1：2x(m1)y40 与直线与直线 l2：mx3y20 平行平行”是是“m2”的必要不的必要不充分条件充分条件 2已知直线已知直线 l1：mxy40 和直线和直线 l2：(m2)xny10(m0，n0)互互相垂直，则相垂直，则mn的的取值范围为取值范围为_ 解析：解析： 因为因为 l1l2， 所以， 所以 m(m2)1(n)0， 得， 得 nm22m， 因为， 因为 m0， 所以， 所以mnmm22m1m2，则，则 01m212，故，故mn的取值范围为的取值范围为 0，12. 5 答案：答案： 0，12 3若直线若直线 l1：x2my10 与与 l2：(3m1)xmy10 平行，则实数平行，则实数 m 的值为的值为_ 解析解析：因为直线：因为直线 l1：x2my10 与与 l2：(3m1)xmy10 平行，则斜率相等或者斜率平行，则斜率相等或者斜率不存在，不存在，12m3m1m或者或者 m0，所以，所以 m16或或 0. 答案答案：0 或或16 考点二考点二 两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题 典例典例 (1)经过两条直线经过两条直线 l1：xy40 和和 l2：xy20 的交点，且与直线的交点，且与直线 2xy10垂直的直线方程为垂直的直线方程为_. (2)直线直线 l 过点过点 P(1,2)且到点且到点 A(2,3)和点和点 B(4,5)的距离相等，则直线的距离相等，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析解析 (1)由由 xy40，xy20，得得 x1，y3，l1与与 l2的交点坐标为的交点坐标为(1,3)设与直线设与直线 2xy10 垂直的直线方程为垂直的直线方程为 x2yc0，则，则 123c0，c7.所求直线方程为所求直线方程为 x2y70. (2)法一法一：当直线：当直线 l 的斜率存在时，的斜率存在时， 设直线设直线 l 的方程为的方程为 y2k(x1)，即，即 kxyk20. 由题意知由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即即|3k1|3k3|，k13， 直线直线 l 的方程为的方程为 y213(x1)，即，即 x3y50. 当直线当直线 l 的斜率不存在时，直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为的方程为 x1，也符合题意，也符合题意 法二法二：当：当 ABl 时，时，有有 kkAB13， 直线直线 l 的方程为的方程为 y213(x1)，即，即 x3y50. 当当 l 过过 AB 中点时，中点时，AB 的中点为的中点为(1,4)， 直线直线 l 的方程为的方程为 x1. 故所求直线故所求直线 l 的方程为的方程为 x3y50 或或 x1. 答案答案 (1)x2y70 (2)x3y50 或或 x1 方法技巧方法技巧 1求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直 6 线方程线方程 2利用距离公式解题的注意点利用距离公式解题的注意点 (1)点点 P(x0，y0)到到直线直线 xa 的距离的距离 d|x0a|，到直线，到直线 yb 的距离的距离 d|y0b|； (2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等的系数分别化为相等 针对训练针对训练 1(2020 全国卷全国卷)点点(0，1)到直线到直线 yk(x1)距离的最大值为距离的最大值为( ) A1 B. 2 C. 3 D2 解析：解析： 选选 B 法一：法一： 由点到直线的距离公式知点由点到直线的距离公式知点(0， ， 1)到直线到直线 yk(x1)的距离的距离 d|k1|k21k22k1k2112kk21.当当k0时，时， d1； 当； 当k0时，时， d12kk2112k1k，要使要使 d 最大，需最大，需 k0 且且 k1k最小，最小，当当 k1 时，时，dmax 2，故选，故选 B. 法二：法二：设点设点 A(0，1)，直线，直线 l：yk(x1)，由，由 l 过定点过定点 B(1,0)，知当，知当 ABl 时，距离最时，距离最大，最大值为大，最大值为 2. 2(2021 烟台调研烟台调研)若直线若直线 l 与两直线与两直线 y1，xy70 分别交分别交于于 M，N 两点，且两点，且 MN 的中的中点是点是 P(1，1)，则直线，则直线 l 的斜率是的斜率是( ) A23 B.23 C32 D.32 解析：解析：选选 A 由题意，设直线由题意，设直线 l 的方程为的方程为 yk(x1)1， 分别与分别与 y1，xy70 联立，解得联立，解得 M 2k1，1 ，N k6k1，6k1k1，又因为，又因为 MN 的中的中点是点是 P(1，1)，由中点坐标公式得，由中点坐标公式得 2k1k6k121，16k1k121，解得解得 k23. 3已知已知 l1，l2是分别经过是分别经过 A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大间的距离最大时，直线时，直线 l1的方程是的方程是_ 解析解析：当直线：当直线 AB 与与 l1，l2垂直时，垂直时，l1，l2间的距离最大因为间的距离最大因为 A(1,1)，B(0，1)，所，所以以 kAB11012，所以两平行直线的斜率，所以两平行直线的斜率 k12，所以直线，所以直线 l1的方程是的方程是 y112(x1)，即，即 x 7 2y30. 答案答案：x2y30 考点三考点三 两直线的对称问题两直线的对称问题 考法考法(一一) 点关于点的对称点关于点的对称 例例 1 过点过点 P(0,1)作直线作直线 l 使它被直线使它被直线 l1：2xy80 和和 l2：x3y100 截得的线段被截得的线段被点点 P 平分，则直线平分，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析解析 设直线设直线 l1与直线与直线 l 的交点为的交点为 A(a,82a)， 则由题意知，则由题意知，点点 A 关于点关于点 P 的对称点的对称点 B(a,2a6)在在 l2上，把上，把 B 点坐标代入直线点坐标代入直线 l2的方程的方程得得a3(2a6)100， 解得解得 a4，即点，即点 A(4,0)在直线在直线 l 上，上， 所以由两点式得直线所以由两点式得直线 l 的方程为的方程为 x4y40. 答案答案 x4y40 方法技巧方法技巧 若点若点 M(x1，y1)和点和点 N(x，y)关于点关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得对称，则由中点坐标公式得 x2ax1，y2by1，进而进而求解求解 考法考法(二二) 点关于线的对称点关于线的对称 例例 2 已知入射光线经过点已知入射光线经过点 M(3,4)， 被直线， 被直线 l： xy30 反射， 反射光线经过点反射， 反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为则反射光线所在直线的方程为_ 解析解析 设点设点 M(3,4)关于直线关于直线 l：xy30 的对称点为的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直，则反射光线所在直线过点线过点 M， 所以所以 b4a 3 11，3a2b4230， 解得解得 a1，b0.即即 M(1,0) 又反又反射光线经过点射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为y060 x121， 即即 6xy60. 答案答案 6xy60 方法技巧方法技巧 1若点若点 A(a，b)与点与点 B(m，n)关于直线关于直线 AxByC0(A0，B0)对称，则直线对称，则直线 AxBy 8 C0 垂直平分线段垂直平分线段 AB，即有，即有 nbma AB1，Aam2Bbn2C0. 2几个常用结论几个常用结论 (1)点点(x，y)关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为(x，y)，关于，关于 y 轴的对称点为轴的对称点为(x，y) (2)点点(x，y)关于直线关于直线 yx 的对称点为的对称点为(y，x)，关于直线，关于直线 yx 的对称点为的对称点为(y，x) (3)点点(x，y)关于直线关于直线 xa 的对称点为的对称点为(2ax，y)，关于直线，关于直线 yb 的对称点为的对称点为(x,2by) 考法考法(三三) 线关于线对称线关于线对称 例例 3 直线直线 l1：2xy40 关于直线关于直线 l：xy20 对称的直线对称的直线 l2的方程为的方程为_ 解析解析 法一法一：解方程组：解方程组 2xy40，xy20，得直线得直线 l1与直线与直线 l 的交点的交点 A 23，83. 在直线在直线 l1上取一点上取一点 B(2,0)， 设点设点 B 关于直线关于直线 l 的对称点为的对称点为 C(x，y)， 则则 x22y220，yx21，解得解得 x2，y4，即即 C(2,4) 又直线又直线 l2过过 A 23，83和和 C(2,4)两点，两点， 故由两点式得直线故由两点式得直线 l2的方程为的方程为y4834x2232， 即即 x2y60. 法二法二：设：设 M(x0，y0)是直线是直线 l1上任意一点，它关于直线上任意一点，它关于直线 l 的对称点为的对称点为 N(x，y)， 则线段则线段 MN 的中点坐标为的中点坐标为 xx02，yy02，直线，直线 MN 的斜率为的斜率为yy0 xx0. 由题意，得由题意，得 xx02yy0220，yy0 xx01， 解得解得 x0y2，y0 x2.因为因为 M(x0，y0)在直线在直线 l1上，上， 所以所以 2x0y040，即，即 2(y2)(x2)40， 所以直线所以直线 l2的方程为的方程为 x2y60. 答案答案 x2y60 9 方法技巧方法技巧 求直线求直线 l1关于直线关于直线 l 对称的直线对称的直线 l2，有两种处理方法：，有两种处理方法： (1)在直线在直线 l1上取两点上取两点(一般取特殊点一般取特殊点)， 利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直， 利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线线 l 的对称点，再用两点式写出直线的对称点，再用两点式写出直线 l2的方程的方程 (2)设点设点 P(x，y)是直线是直线 l2上任意一点，其关于直线上任意一点，其关于直线 l 的对称点为的对称点为 P1(x1，y1)(P1在直线在直线 l1上上)，根据点关于直线对称建立方程组，用根据点关于直线对称建立方程组，用 x，y 表示出表示出 x1，y1，再代入直线，再代入直线 l1的方程，即得直线的方程，即得直线l2的方程的方程 考法考法(四四) 线关于点对称线关于点对称 例例 4 已知直线已知直线 l：2x3y10，点，点 A(1，2)，则直线，则直线 l 关于点关于点 A 对称的直线对称的直线 m 的方的方程为程为_ 解析解析 在直线在直线 l 上取两点上取两点 B(1,1)， C(10,7)， B，C 两点关于点两点关于点 A 的对称点为的对称点为 B(3， ， 5)，C(12，11)， 所以直线所以直线 m 的方程为的方程为y11511x12312， 即即 2x3y90. 答案答案 2x3y90 方法技巧方法技巧 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解 创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 活用直线系方程解决求直线问题活用直线系方程解决求直线问题 类型类型(一一) 过直线交点的直线系方程过直线交点的直线系方程 例例 1 已知两条直线已知两条直线 l1：x2y40 和和 l2：xy20 的交点为的交点为 P，求过点，求过点 P 且与直线且与直线l3：3x4y50 垂直的直线垂直的直线 l 的方程的方程 解解 法一法一：解方程组：解方程组 x2y40，xy20，得得 x0，y2. 故故 P 点坐标为点坐标为(0,2)，因为直线，因为直线 l 与与 3x4y50 垂直，垂直， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y243x， 即即 4x3y60. 10 法二法二：设所求直线：设所求直线 l 的方程为：的方程为：x2y4(xy2)0，即，即(1)x(2)y420，因为直线因为直线 l 与与 l3垂直，所以垂直，所以 3(1)4(2)0，所以，所以 11，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 4x3y60. 名师微点名师微点 解决本例的方法一般有：一是通过联立方程组求交点，再结合两直线垂直这一条件，求直解决本例的方法一般有：一是通过联立方程组求交点，再结合两直线垂直这一条件，求直线线 l 的方程；二是利用过两直线交点的直线系方程求解，即过两条已知直线的方程；二是利用过两直线交点的直线系方程求解，即过两条已知直线 l1：A1xB1yC10 和和 l2： A2xB2yC20 的交点的直线系方程是的交点的直线系方程是 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括，但不包括 l2)，恰当使用直线系方程可简化运算，恰当使用直线系方程可简化运算 类型类型(二二) 平行直线系方程平行直线系方程 例例 2 过点过点 A(1，4)且与直线且与直线 2x3y50 平行的直线方程为平行的直线方程为_ 解析解析 设所求直线方程为设所求直线方程为 2x3yc0(c5)，由题意知，由题意知，213(4)c0，所以，所以 c10，故所求直线方程为，故所求直线方程为 2x3y100. 答案答案 2x3y100 名师微名师微点点 当所求直线与已知直线当所求直线与已知直线 AxByC0 平行时，可设所求直线为平行时，可设所求直线为 AxBy0( 为参数，为参数，且且 C)，再结合其他条件求出，再结合其他条件求出 ，即得所求直线方程，即得所求直线方程 类型类型(三三) 垂直直线系方程垂直直线系方程 例例 3 经过经过 A(2,1)，且与直线，且与直线 2xy100 垂直的直线垂直的直线 l 的方程为的方程为_ 解析解析 因为所求直线与直线因为所求直线与直线 2xy100 垂直， 所以设该直线方程为垂直， 所以设该直线方程为 x2yc0，又直，又直线过点线过点 A(2,1)， 所以有所以有 221c0，解得，解得 c0， 即所求直线方程为即所求直线方程为 x2y0. 答案答案 x2y0 名师微点名师微点 当所求直线与已知直线当所求直线与已知直线 AxByC0 垂直时，可设所求直线为垂直时，可设所求直线为 BxAy0( 为参数为参数)，再结合其他条件求出再结合其他条件求出 ，即得所求直线方程，即得所求直线方程 类型类型(四四) 直线系方程的应用直线系方程的应用 例例 4 求过直线求过直线 2x7y40 与与 7x21y10 的交点，且和的交点，且和 A(3,1)，B(5,7)等距离的等距离的直线方程直线方程 解解 设所求直线方程为设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0， 即即(27)x(721)y(4)0， 由点由点 A(3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得到所求直线等距离，可得 | 27 3 721 14| 27 2 721 2 11 | 27 5 721 74| 27 2 721 2， 整理可得整理可得|433|11355|， 解得解得 2935或或 13， 所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为 21x28y130 或或 x1. 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1若直线若直线 ax2y10 与直线与直线 xy20 互相垂直，那么互相垂直，那么 a 的值等的值等于于( ) A1 B13 C23 D2 解析：解析：选选 D 由由 a1210 得得 a2.故选故选 D. 2设设 aR，则，则“a1”是是“直线直线 l1：ax2y10 与直线与直线 l2：x(a1)y40 平行平行”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 若两直线平行，则若两直线平行，则 a(a1)2，即，即 a2a20，a1 或或2，故，故 a1 是两是两直线平行的充分不必要条件直线平行的充分不必要条件 3已知已知 A(4，3)关于关于直线直线 l 的对称点为的对称点为 B(2,5)，则直线，则直线 l 的方程是的方程是( ) A3x4y70 B3x4y10 C4x3y70 D3x4y10 解析：解析： 选选 B 由题意得由题意得 AB 的中点的中点 C 为为(1,1)， 又， 又 A， B 两点连线的斜率为两点连线的斜率为 kAB532443，所以直线所以直线 l 的斜率为的斜率为34，因此直线，因此直线 l 的方程为的方程为 y134(x1)，即，即 3x4y10.故选故选 B. 4直线直线 3x4y50 关于关于 x 轴对称的直线的方程是轴对称的直线的方程是( ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 解析：解析：选选 A 在所求直线上任取一点在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点，则点 P 关于关于 x 轴的对称点轴的对称点 P(x，y)在已在已知的直线知的直线 3x4y50 上，所以上，所以 3x4(y)50，即，即 3x4y50，故选，故选 A. 5已知点已知点 P(4，a)到直线到直线 4x3y10 的距离不大于的距离不大于 3，则，则 a 的取值范围是的取值范围是( ) A10,10 B10,5 C5,5 D0,10 解析：解析：选选 D 由题意得，点由题意得，点 P 到直线的距离为到直线的距离为 12 |443a1|5|153a|5. 又又|153a|53，即，即|153a|15， 解得解得 0a10，所以，所以 a 的取值范围是的取值范围是0,10 6经过直线经过直线 3x2y10 和直线和直线 x3y40 的交点，且平行于直线的交点，且平行于直线 xy40 的直线的直线方程为方程为_ 解析解析：过两直线交点的直线方程可设为：过两直线交点的直线方程可设为 3x2y1(x3y4)0，即，即(3)x(32)y410，它与直线，它与直线 xy40 平行，所以平行，所以 3320，14， 故故所求直线为所求直线为 xy0. 答案答案：xy0 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1直线直线 2xym0 和和 x2yn0 的位置关系是的位置关系是( ) A平行平行 B垂直垂直 C相交但不垂直相交但不垂直 D不能确定不能确定 解析：解析： 选选C 直线直线2xym0的斜率的斜率k12， 直线， 直线x2yn0的斜率的斜率k212， 则， 则k1k2，且且 k1k21.故选故选 C. 2三条直线三条直线 l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150 构成一个三角形，则构成一个三角形，则 k 的取的取值范围是值范围是( ) AkR BkR 且且 k 1，k0 CkR 且且 k 5，k10 DkR 且且 k 5，k1 解析：解析：选选 C 由由 l1l3得得 k5；由；由 l2l3得得 k5；由；由 xy0 与与 xy20 得得 x1，y1，若，若(1,1)在在 l3上，则上，则 k10.故若故若 l1，l2，l3能构成一个三角形，则能构成一个三角形，则 k 5 且且 k10.故选故选 C. 3(多选多选)已知直线已知直线 l1：2x3y10 和和 l2：4x6y90，若直线，若直线 l 到直线到直线 l1的距离与到直的距离与到直线线 l2的距离之比为的距离之比为 12，则直线，则直线 l 的方程为的方程为( ) A2x3y80 B4x6y50 C6x9y100 D12x18y130 解析：解析：选选 BD 设直线设直线 l：4x6ym0，m2 且且 m9， 直线直线 l 到直线到直线 l1和和 l2的距离分别为的距离分别为 d1，d2，由题知：，由题知：d1|m2|1636，d2|m9|1636.因为因为d1d212， 13 所以所以2|m2|1636|m9|1636，即，即 2|m2|m9|，解得，解得 m5 或或 m133，即直线，即直线 l 为为 4x6y50 或或 12x18y130. 4若直线若直线 l1：x3ym0(m0)与直线与直线 l2：2x6y30 的距离为的距离为 10，则，则 m( ) A7 B.172 C14 D17 解析：解析：选选 B 直线直线 l1：x3ym0(m0)， 即即 2x6y2m0， 因为它与直线因为它与直线 l2：2x6y30 的距离为的距离为 10， 所以所以|2m3|436 10，求得，求得 m172. 5直线直线 axy3a10 恒过定点恒过定点 M，则直线，则直线 2x3y60 关于关于 M 点对称的直线方程为点对称的直线方程为( ) A2x3y120 B2x3y120 C2x3y120 D2x3y120 解析：解析：选选 D 由由 axy3a10，可得，可得 a(x3)(y1)0，令，令 x30，y10，可得可得 x3，y1，所以，所以 M(3,1)，M 不在直线不在直线 2x3y60 上，设直线上，设直线 2x3y60 关于关于 M 点对称点对称的直线方程为的直线方程为 2x3yc0(c6)， 则， 则|636|49|63c|49， 解得， 解得 c12 或或 c6(舍舍去去)，所以所求方程为，所以所求方程为 2x3y120，故选，故选 D. 6两条平行线两条平行线 l1，l2分别过点分别过点 P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持旋转，但始终保持平行，则平行，则 l1，l2之间距离的取值范围是之间距离的取值范围是( ) A(5，) B(0,5 C( 34，) D(0， 34 解析：解析：选选 D 当当 PQ 与平行线与平行线 l1，l2垂直时，垂直时，|PQ|为平行线为平行线 l1，l2间的距间的距离的最大值，为离的最大值，为 12 22 3 2 34，l1，l2之间距离的取值范围是之间距离的取值范围是(0， 34 7将一张坐标纸折叠一次，使得点将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点与点(4,0)重合，点重合，点(7,3)与点与点(m，n)重合，则重合，则 mn等于等于( ) A.345 B.365 C.283 D.323 解析：解析：选选 A 由题意可知，纸的折痕应是点由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点与点(4,0)连线的中垂线，即直线连线的中垂线，即直线 y2x3，它也它也是点是点(7,3)与点与点(m，n)连线的中垂线，连线的中垂线， 14 于是于是 3n227m23，n3m712，解得解得 m35，n315，故故 mn345. 8已知直线已知直线 y2x 是是ABC 中中C 的平分线所在的直线，若点的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是的坐标分别是 (4,2)，(3,1)，则点，则点 C 的坐标为的坐标为( ) A(2,4) B(2，4) C(2,4) D(2，4) 解析：解析：选选 C 设设 A(4,2)关于直线关于直线 y2x 的对称点为的对称点为 A(x，y) 则则 y2x421，y2224x2，解得解得 x4，y2，即即 A(4，2)， 直线直线 AC 即即 BC 所在直线的方程为所在直线的方程为 y12143(x3)，即，即 3xy100. 又知点又知点 C 在直线在直线 y2x 上，上， 联立联立 3xy100，y2x，解得解得 x2，y4，则则 C(2,4)，故选，故选 C. 9.在等腰直角三角形在等腰直角三角形 ABC 中，中，|AB|AC|4，点，点 P 是边是边 AB 上异于上异于 A，B 的的一点光线从点一点光线从点 P 出发，经出发，经 BC，CA 反射后又回到点反射后又回到点 P(如图如图)若光线若光线 QR经过经过ABC 的重心，则的重心，则 AP 的长度为的长度为( ) A2 B1 C.83 D.43 解析：解析：选选 D 以以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴，轴，AC 所在直线为所在直线为 y 轴建立如轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知图所示的平面直角坐标系，由题意可知 B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线则直线 BC 的方程为的方程为 xy40，设，设 P(t,0)(0t4)，由对称知识，由对称知识可得点可得点 P 关于关于 BC 所在直线的对称点所在直线的对称点 P1的坐标为的坐标为(4，4t)，点，点 P关于关于 y 轴的对称点轴的对称点 P2的坐标为的坐标为(t,0)， 根据反射定律可知， 根据反射定律可知 P1P2所所在直线就是光线在直线就是光线 RQ 所在直线由所在直线由 P1，P2两点坐标可得两点坐标可得 P1P2所在直线的方程为所在直线的方程为 y4t4t (xt)，设，设ABC 的重心为的重心为 G，易知，易知 G 43，43.因为重心因为重心 G 43，43在光线在光线 RQ 上，所以有上，所以有43 15 4t4t 43t ，即，即 3t24t0.所以所以 t0 或或 t43，因为，因为 0t4，所以，所以 t43，即，即|AP|43，故选，故选 D. 10与直线与直线 x2y30 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是的直线方程是_ 解析解析：设所求直线方程为：设所求直线方程为 x2y0，令，令 x0，得，得 y2；令；令 y0，得，得 x.由题意，得由题意，得12 2 |4，解得，解得 4.故所求直线方程为故所求直线方程为 x2y 40. 答案答案：x2y 40 11 若两直线若两直线kxy10和和xky0相交且交点在第二相交且交点在第二象限， 则象限， 则k的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由题意知由题意知 k 1.联立联立 kxy10，xky0， 解得解得 xk1k2，y11k2， k1k20，11k20，1k0. 答案答案：(1,0) 12设设 mR，过定点，过定点 A 的动直线的动直线 xmy0 和过定和过定点点 B 的动直线的动直线 mxy3m0 交于点交于点P(x，y)，则，则|PA| |PB|的最大值是的最大值是_ 解析：解析：动直线动直线 xmy0(m0)过定点过定点 A(0,0)， 动直线动直线 mxy3m0 过定点过定点 B(1,3) 由题意易得直线由题意易得直线 xmy0 与直线与直线 mxy3m0 垂直，即垂直，即|PA|2|PB|2|AB|2. 当当 m0 时，直线时，直线 x0 与与 y3 垂直，也满足垂直，也满足|PA|2|PB|2|AB|2. |PA| |PB|PA|2|PB|22|AB|22123225， 即即|PA| |PB|的最大值为的最大值为 5. 答案：答案：5 13已知已知 0k4，直线，直线 l1：kx2y2k80 和直线和直线 l2：2xk2y4k240 与两坐标轴与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k 值为值为_ 解析：解析：由题意知直线由题意知直线 l1，l2恒过定点恒过定点 P(2，4)，直线，直线 l1的纵截距为的纵截距为 4k，直线直线 l2的横截距为的横截距为 2k22，如图，如图， 所以四边形的面积所以四边形的面积 S2k22(4k4)2124k2k8，故面积最，故面积最小时，小时，k