人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：幂函数与二次函数.docx

幂函数与二次函数知识讲解一、幂函数1.幂函数的定义定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)2.幂函数的图象幂函数1）当时的图象见下图；2）当时的图象见下图：3.由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： 有下列性质：1）时：图象都通过点，；在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数2）时：图象都通过点；在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近3）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；4）任何幂函数图象都不经过第四象限；5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点二、二次函数1.定义：函数叫做二次函数2.表现形式一般式：顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标两根式：3.二次函数的性质1）开口方向： 2）对称轴：（或）3）顶点坐标：（或）4）最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；5）单调性：二次函数（）的变化情况（增减性） 如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大； 如图2所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；6）与坐标轴的交点： 与轴的交点：（0，C）； 与轴的交点：使方程（或）成立的值4.二次函数图象与系数的关系1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下反之亦然决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大注意：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴经典例题一选择题（共11小题）1已知点(a，18)在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，则函数f（x）是（）A定义域内的减函数B奇函数C偶函数D定义域内的增函数【解答】解：点（a，18）在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，a1=1，解得a=2；故2b=18，解得b=3，f（x）=x3；函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数故选：B2如果幂函数f（x）=x的图象经过点(3，19)，则=（）A2B2C-12D12【解答】解：幂函数f（x）=x的图象经过点(3，19)，则3=19，解得=2故选：A3函数y=x32的图象是（）ABCD【解答】解：函数y=x32的定义域是0，+），排除选项A和B，又321，曲线应该是下凸型递增抛物线故选：C4若三个幂函数y=xa，y=xb，y=xc在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBcabCabcDacb【解答】解：y=xa，单调递增，且当x1时，在直线y=x的上方，a1，y=xb，单调递增，且当x1时，在直线y=x的下方，0b1，y=xc，单调递减，且当x1时，在直线y=x的下方，c0；abc故选：C5若幂函数f（x）的图象经过点（4，12），则f（14）的值是（）A4B3C2D1【解答】解：设幂函数f（x）=x，其图象过点（4，12），4=12，解得=12；f（x）=x-12，f（14）=(14)-12=2故选：C6已知函数f（x）=x2m定义在区间3m，m2m上的奇函数，则下面成立的是（）Af（m）f（0）Bf（m）=f（0）Cf（m）f（0）Df（m）与f（0）大小不确定【解答】解：函数f（x）=x2m定义在区间3m，m2m上的奇函数，定义域关于原点对称，即3m+m2m=0，且m2m（3m）0，m22m3=0且m2+30，即m=1或m=3当m=1时，区间2，2，f（x）=x2m=x3为奇函数，满足条件，且此时函数单调递增，满足f（m）f（0）当m=3时，区间为6，6，f（x）=x2m=x1为奇函数，满足条件，但此时f（0）无意义，故m=3不成立，综上m=3，则f（m）f（0）综上：选A故选：A7若幂函数f（x）的图象经过点（3，19），则log2f（2）=（）A4B4C2D2【解答】解：设幂函数f（x）=x，幂函数f（x）的图象经过点（3，19），f（3）=3=19=32则=2，即f（x）=x2，则log2f（2）=log222=2，故选：D8已知幂函数f（x）=（m2m5）x2m+3在（0，+）上减函数，则m等于（）A3B4C2D2或3【解答】解：幂函数f（x）=（m2m5）x2m+3在（0，+）上是减函数，&m2-m-5=1&2m+30，解得&m=3或m=-2&m-32，即m=2故选：C9幂函数y=x|m1|与y=x3m-m2在（0，+）上都是单调递增函数，则满足条件的整数m的值为（）A0B1和2C2D0和3【解答】解：幂函数y=x|m1|与y=x3m-m2在（0，+）上都是单调递增函数，&|m-1|0&3m-m20，解得&m1&0m3；满足条件的整数m的值是2故选：C10函数f（x）=（cosx）|lg|x|的部分图象是（）ABCD【解答】解析：因为f（x）=（cosx）|lg|x|f（x）=（cos（x）|lg|x|=f（x），故是偶函数，由此可确定是A或C选项中的一个，下用特殊值法判断，通过分离函数得f1（x）=cosx，f2（x）=|lg|x|，由于f2（x）=|lg|x|0，观察函数f1（x）=cosx的符号即可，由于x（2，0）（0，2）时，f1（x）=cosx0，表明函数图象在x（2，0）（0，2）时位于x轴下方，可以得到正确结果：答案：C故选：C11若a=0.512，b=0.513，c=0.514，则a，b，c的大小关系为（）AabcBabcCacbDacb【解答】解：构造函数f（x）=0.5x，因为函数f（x）=0.5x，为单调递减函数且121314，所以f(12)f(13)f(14)，即0.5120.5130.514，所以abc故选：B二填空题（共5小题）12已知幂函数f（x）=xm2-2m-3（mZ）在区间（0，+）上是单调减函数则满足条件的m的值的集合是0，1，2【解答】解：（1）幂函数f（x）=xm22m3（mZ）在区间（0，+）上是减函数，m22m30，解得1m3，m为整数，m=0，1或2，满足条件的m的值的集合是0，1，2，故答案为：0，1，213幂函数f（x）=（m23m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m=2【解答】解：函数f（x）=（m23m+3）xm是幂函数，m23m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x的图象不关于y轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x2的图象关于y轴对称；实数m=2故答案为：214幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3在（0，+）上为增函数，则m=2【解答】解：函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数可得m2m1=1解得m=1或2，当m=1时，函数为y=x3在区间（0，+）上单调递减，不满足题意；当m=2时，函数为y=x3在（0，+）上单调递增，满足条件故答案为：215若幂函数f（x）=（a27a+13）xa1为其定义域上的单调递增函数，则实数a的值为4【解答】解：函数f（x）=（a27a+13）xa1为幂函数，故a27a+13=1，解得：a=3，或a=4，当a=3时，函数f（x）=x2在（，0上为单调递减函数，不满足要求，当a=4时，函数f（x）=x3在定义域R上为单调递增函数，满足要求，故a=4，故答案为：416“m=1”是“幂函数f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上单调递减”的充分不必要条件【解答】解：当“m=1”时，“幂函数f（x）=x2在（0，+）上单调递减”，故“m=1”是“幂函数f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上单调递减”的充分条件；当“幂函数f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上单调递减”时，m22m10，解得m（12，1+2），此时“m=1”不一定成立，故“m=1”是“幂函数f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上单调递减”的不必要条件，综上所述，故“m=1”是“幂函数f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上单调递减”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要三解答题（共2小题）17已知函数f（x）=xn，若f（a+1）f（102a），（1）当n=3时，求a的取值范围；（2）当n=35，23时，求a的取值范围【解答】解：（1）当n=3时，f（x）=x3=1x3，则函数在（0，+）上为减函数，在（，0）上也减函数，当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0，若&a+10&10-2a0，即&a-1&a5，此时a1若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，解得3a5，若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，此时无解，综上3a5或a1（2）当n=35时，f（x）=x-35=13x5，则函数在（0，+）上为减函数，在（，0）上也减函数，当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0，若&a+10&10-2a0，即&a-1&a5，此时a1若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，解得3a5，若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，此时无解，综上3a5或a1当n=23时，f（x）=x-23=1x23=13x2为增函数，且在在（0，+）上为减函数，则f（a+1）f（102a），等价为f（|a+1|）f（|102a|），即|a+1|2）|102a|20则平方得a214a+330且102a0，即3a11且a5，即a的取值范围是3a11且a518已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，13），（1）试求出此函数的解析式；（2）写出此函数的单调区间；（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+）上是单调减函数【解答】解：（1）设幂函数f（x）=xa，则3a=13，解得a=1f（x）=x1；（2）f（x）=x1的单调递减区间是（0，+），（，0）（3）取x1，x2（0，+），且x1x2，那么 f（x1）f（x2）=1x1-1x2=-x1-x2x1x2，0x1x2x1x20，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x）在（0，+）内是减函数