2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一编 第2讲.doc

第2讲数形结合思想思想方法解读数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题热点题型探究热点1 数形结合化解方程问题例1(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa无实根，则实数a的取值范围为()A(，0)B(1,0)C.D(0,1)答案B解析因为函数f(x)所以关于x的方程f(x)xa无实根等价于函数yf(x)的图象与直线yxa无交点，设直线yxa与f(x)(x>0)切于点P(x0，y0)，由f(x)，由已知得1，解得x01，则P(1,0)，则切线方程为yx1，作出函数f(x)与直线yxa的图象如图所示由图知函数yf(x)的图象与直线yxa无交点时实数a的取值范围为1<a<0，故选B.(2)已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0B0,1)C(，1)D0，)答案C解析函数f(x)的图象如图所示，当a<1时，函数yf(x)的图象与函数yxa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数1(2019·泰安市高三质量检测)已知函数f(x)|x22x1|t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则2(x4x1)(x3x2)的取值范围是()A(8,4B(8,6)C(6，4D(6，4)答案A解析由f(x)|x22x1|t0，得|x22x1|t，作出y|x22x1|的图象如图，要使f(x)有四个不同的零点，则0<t<2，同时x1，x4是方程x22x1t0的两个根，x2，x3是方程x22x1t0的两个根，则x1x41t，x1x42，x2x31t，x2x32，则x4x1 2，x3x22，则2(x4x1)(x3x2)42，设h(t)42，h(t)，由h(t)>0，得>0，得 >，两边平方，得>，得84t>2t，得5t<6，即0<t<，此时h(t)为增函数，由h(t)<0，得<t<2，此时h(t)为减函数，故当t时，h(t)取得极大值，极大值为h4 2424，h(0)6，h(2)8，又8<6，故h(t)的取值范围是(8,4，故选A.2将函数f(x)sin的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，则k的取值范围是()AkB1kCkDk或k1答案D解析将f(x)的图象向右平移个单位得到h(x)sinsin，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)sin.所以g(x)k0，即为方程sink0.令2xt，因为x，所以t.若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，即g(t)sint与yk在上有且只有一个交点如图所示，由正弦函数的图象可知k或k1，即k或k1.热点2 数形结合化解不等式问题例2(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x，y满足zxy的最小值、最大值分别为a，b，且x2kx10对xa，b恒成立，则k的取值范围为()A2k2Bk2Ck2Dk答案B解析作出表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然zxy的最小值为0，当点(x，y)在线段x2y3(0x1)上时，zxyxx2x1；当点(x，y)在线段2xy3(0x1)上时，zxyx(32x)2x23x；即a0，b；当x0时，不等式x2kx110恒成立，若x2kx10对x恒成立，则kx在上恒成立，又x在(0,1上单调递减，在上单调递增，即min2，即k2.(2)已知关于x的不等式ax的解集为x|4xb，则ab_.答案解析设f(x)，g(x)ax(x0)因为ax的解集为x|4xb，所以两函数图象在4xb上有f(x)g(x)，如图所示当x4，xb时，由f(x)g(x)，可得解得所以ab×36.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式1(2019·湖南三市高三联考)设f(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)>0，且x1，x2R(x1x2)，f(x1)f(x2)<2f，则下列选项中不一定正确的一项是()Af(2)<f(e)<f()Bf()<f(e)<f(2)Cf(2)<f(2)f(3)<f(3)Df(3)<f(3)f(2)<f(2)答案C解析因为f(x)>0，所以f(x)在R上单调递增x1，x2R(x1x2)，恒有f(x1)f(x2)<2f，即<f，所以yf(x)的图象是向上凸起的，如图所示所以f(2)<f(e)<f()，故A正确；因为f(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f()<f(e)<f(2)，故B正确；因为f(3)f(2)，表示点A(2，f(2)与B(3，f(3)连线的斜率，由图可知f(3)<kAB<f(2)，故D正确；C无法推出，故选C.2x，8xlogax1恒成立，则实数a的取值范围是_答案a1解析当0x时，函数y8x1的图象如图中实线所示x，8xlogax1恒成立，当x时，ylogax的图象恒在y8x1的图象的上方(如图中虚线所示)ylogax的图象与y8x1的图象交于点时，a，a1.热点3 数形结合化解平面向量问题例3(1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF2AF，则()A.BC.D答案D解析设DF2AF2，因此BDAF1，又由题意可得ADB120°，所以AB2AD2BD22AD·BD·cosADB32126cos120°13，因此AB；延长AD交BC于M，记DAB，AMB，则cosDAB，所以sinDAB；又由题意易知DABDBM，则120°，在三角形DBM中，由正弦定理可得，即，因此BMBC，DM，所以ADAMAM，因为BMBC，所以，即()，整理得A，所以.故选D.(2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_，此时AOC_.答案2解析由图示和题意可知，A(1,0)，B.设AOC，则C(cos，sin)由xy，得解得所以xycossin2sin.又，所以当时，xy取得最大值2.建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解1(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C1上点M作C1的切线交圆C2于A，B两点，P为圆C3上任一点，则·的取值范围为()A8，4B0,12C1,13D4,16答案C解析设同心圆的圆心为O，由切线性质可知OMAB，又过圆C1上点M作C1的切线交圆C2于A，B两点，OAOB2，OM1，在RtOAM中，sinOAM，OABOAM，根据OAOB2，可知OABOBA，AOB，·()·()|2···9·()|·cos7·()OMAB，OAOB，M是AB的中点，根据向量加法的几何意义得2，代入上式得，·7·()72·72|cos，76cos，0，cos，1,1，·1,13，故选C.2如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若·2·，则·_.答案12解析解法一：因为·2·，所以···，所以··.因为ABCD，CD2，BAD，所以2|·|·cos，化简得|2.故··()|2·(2)22×2cos12.解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，则由·2·，得(n,0)·(m2，m)2(n,0)·(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.故·(m，m)·(m2，m)2m22m12.热点4 数形结合化解圆锥曲线问题例4(1)(2019·河南省高三一模)设双曲线的方程为1(a>0，b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2y210x0所截得的两条弦长之和为12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A.BCD答案C解析双曲线的一条渐近线方程为yx，双曲线的渐近线被圆M：x2y210x0即(x5)2y225所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d，则d4.4，即5b4c，bc.a2c2b2c2，ac，A，B分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，|APBP|2a，根据正弦定理可得2R，sinB，sinA，sinP，故选C.(2)已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值解由1可知a3，b，c2，左焦点F1(2，0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，知|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|，知|PA|PF2| .当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“”，即|PA|PF2|的最大、最小值分别为，.于是|PF1|PA|的最大值是6，最小值是6.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单1椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A.BCD答案C解析如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S×2×.故选C.2(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C：4y21(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y60和l2：x1的距离之和的最小值为()A1B2C3D4答案B解析由双曲线方程4y21(a>0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y±x，即x±2ay0.双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，解得a2，双曲线的方程为4y21，双曲线的焦点为(1,0)又抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，p2，抛物线的方程为y24x，焦点坐标为F(1,0)如图，设点M到直线l1的距离为|MA|，到直线l2的距离为|MB|，则|MB|MF|，|MA|MB|MA|MF|.结合图形可得当A，M，F三点共线时，|MA|MB|MA|MF|最小，且最小值为点F到直线l1的距离d2.故选B.