2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4节 基本不等式 教案.doc

第四节基本不等式最新考纲1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式3算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)xy2，若xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)xy，若xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大)重要不等式链若ab0，则ab.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x>0，y>0是2的充要条件()(4)若a>0，则a3的最小值为2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82Cxy81，当且仅当xy9时，等号成立故选C.2若x0，则x()A有最大值，且最大值为4B有最小值，且最小值为4C有最大值，且最大值为2D有最小值，且最小值为2Bx0时，x24，当且仅当x2时等号成立故选B.3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.25设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x10，则面积Sx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.4一个长方体的体积为32，高为2，底面的长和宽分别为x和y，则xy的最小值为 8由题意知xy16，则xy28；当且仅当xy4时等号成立，故xy的最小值为8.考点1利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)对条件使用基本不等式直接求解(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解(常数代换法)直接法求最值(1)若a，b都是正数，且ab1，则(a1)(b1)的最大值为()A.B2C.D4(2)ab0，则的最小值为()A2 B. C3 D2(3)(2019·天津高考)设x0，y0，x2y4，则的最小值为 (1)C(2)A(3)(1)(a1)(b1)2，故选C.(2)ab0，22，当且仅当，即ab时等号成立，故选A.(3)2，x0，y0且x2y4，4x2y2，xy2，22.解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键配凑法求最值(1)已知x，则x(14x)取最大值时x的值是()A. B. C. D.(2)已知不等式2xm0对一切x恒成立，则实数m的取值范围是()Am6 Bm6Cm7 Dm7(3)若4x1，则f(x)()A有最小值1 B有最大值1C有最小值1 D有最大值1(1)C(2)A(3)D(1)由x知14x0，则x(14x)·4x(14x)×2，当且仅当4x14x，即x时等号成立，故选C.(2)由题意知，m2x对一切x恒成立，又x时，x10，则2x2(x1)2226，当且仅当2(x1)，即x2时等号成立m6，即m6，故选A.(3)4x1，01x5，f(x)×21，当且仅当1x，即x0时等号成立函数f(x)有最大值1，无最小值，故选D.形如f(x)的函数，可化为f(x)的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)教师备选例题已知x，则f(x)4x2的最大值为 1因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.常数代换法求最值(1)已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为()A2 B4 C6 D8(2)设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A12 B4 C. D.(1)D(2)D(1)x2y(x2y)4428，当且仅当，即x4，y2时等号成立，故选D.(2)由题意知3a·3b(3)2，即3ab33，ab3，(ab)，当且仅当，即ab时等号成立，故选D.使用常数代换法时，若式子的值不为1，应注意平衡系数，如本例T(2)教师备选例题已知正实数x，y满足2xy2，则的最小值为 正实数x，y满足2xy2，则(2xy)，当且仅当xy时取等号的最小值为.1.设x0，y0，且x4y40，则lg xlg y的最大值是()A40 B10 C4 D2D由x0，y0，x4y40得40x4y210，即xy100(当且仅当x20，y5时等号成立)，lg xlg ylg(xy)lg 1002，故选D.2若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()Aa BaCa DaA由x0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A.3若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是()A2 B3 C4 D6B由题意知(a1)(bc)3，则(a1)(bc)3，当且仅当，即a1，bc1时等号成立，故选B.考点2基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解(2019·常州模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位：元)已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位：元)(1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)由已知f(x)10W(x)20x10x10W(x)30x则f(x)(2)由(1)f(x)变形得f(x)当0x2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(0)100f(2)240，f(x)maxf(2)240；当2x5时，f(x)51030，x128，当且仅当1x时，即x3时等号成立f(x)max51030×8270，因为240270，所以当x3时，f(x)max270.答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元解答本例第(2)问时，对f(x)30的变形是解题的关键1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30一年的总运费为6×(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小2一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 小时10设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km400 km所用的时间，因此，t210.当且仅当，即v80时取“”故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时10