2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 两条直线的位置关系 教案 (2).doc
第二节两条直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1·k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间的距离d1与直线AxByC0(A2B20)垂直或平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.2与对称问题相关的四个结论(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)(2)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)(3)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(4)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)两条平行直线2xy10,4x2y10间的距离是0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1已知点(a,2)(a>0)到直线l：xy30的距离为1，则a的值为()A.B2C.1 D.1C由题意知1，|a1|，又a>0，a1.2已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m .1由题意可得1，解得m1.3直线2x2y10，xy20之间的距离是 先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.4若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为 由得即直线2xy10与yx1相交于点(9，8)又因为直线2xy10，yx1，yax2交于一点，所以89a2，解得a.考点1两条直线的位置关系确定两条直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解(1)由题意得解得即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2，解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2.(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.两条直线平行或重合的充要条件是A1B2A2B1，使用此公式可避免讨论，但要验证两直线是否重合教师备选例题已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否能平行；(2)当l1l2时，求a的值解(1)由得a1，即当a1时，l1与l2平行(2)由l1l2得a2(a1)0，解得a.1.经过两条直线2x3y100和3x4y20的交点，且垂直于直线3x2y2 0190的直线方程为 2x3y20解方程组得两条直线的交点坐标为(2,2)，因为所求直线垂直于直线3x2y2 0190，所以所求直线的斜率为k，所以所求直线方程为y2(x2)，即2x3y20.2“a1”是“直线ax2y80与直线x(a1)y40平行”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件A由两直线平行得，解得a1，因此“a1”是两直线平行的充要条件，故选A.考点2距离问题1点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式2两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式1.已知点P(2,3), 点Q是直线l：3x4y30上的动点，则|PQ|的最小值为()A2B.C.D.B因为点Q是直线l：3x4y30上的动点，所以|PQ|的最小值为点P到直线l的距离，即.故选B.2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.C因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为，故选C.3若两平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是，则mn()A0 B1 C2 D1C由两直线平行得.解得n4，m3，所以直线l2的方程为x2y30又l1，l2之间的距离是，所以，解得m2或m8(舍去)，所以mn2(4)2，故选C.解答T1，T2时，关键是把两点距离的最小值转化为点到直线的距离和两条平行线间的距离考点3对称问题中心对称问题(关于点对称)中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；轨迹法，设对称直线上任一点M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上直线axy3a10恒过点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120D由axy3a10，可得a(x3)y10.令可得M(3,1)设所求对称直线上任意一点为P(x，y)，则点P关于点M的对称点为N(6x,2y)，由题意点N在直线2x3y60上，2(6x)3(2y)60，即2x3y120，故选D.本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直线，然后利用点M到两直线的距离相等求解轴对称问题(关于直线对称)轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行已知直线l：2x3y10，点A(1，2)(1)求点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解(1)设A(x，y)，由已知得解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m方程为9x46y1020.(1)对直线关于直线对称，要先判断两直线是相交还是平行，然后再确定具体解法(2)斜率存在时，和x轴或y轴对称的两条直线斜率互为相反数教师备选例题已知直线l1：xy30，直线l：xy10.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，直线l2的方程为 xy50法一：因为l1l，所以l2l，设直线l2的方程为xym0(m3，且m1)因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离由两平行直线间的距离公式，得，解得m5或m3(舍去)所以直线l2的方程为xy50.法二：由题意知l1l2，设直线l2的方程为xym0(m3，且m1)在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M(a，b)，于是有解得即M(4，1)把点M的坐标代入l2的方程，得m5，所以直线l2的方程为xy50.1.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 6xy60设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.2已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPP·kl1，即×31.又PP的中点在直线3xy30上，3×30.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13×(x2)，即3xy50.9
