2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　一元二次不等式及其解法.doc

第 2 讲 一元二次不等式及其解法 一、知识梳理 1一元一次不等式 axb(a0)的解集 (1)当 a0 时，解集为xxba (2)当 a0 时，解集为xx0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2或 xx1 xxb2a R ax2bxc0)的解集 x|x1x0(0(0 对任意实数 x 恒成立a0， b24ac0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立a0， b24ac0 的解集为_ 答案：xx32或x1 2 若关于 x 的一元二次方程 x2(m1)xm10 有两个不相等的实数根， 则 m 的取值范围是_ 答案：(，1)(3，) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若不等式 ax2bxc0.( ) (2)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.( ) (3)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.( ) (4)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下， 则不等式 ax2bxc3(x7)的解集为_ 解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得 x7，所以原不等式的解集为x|x7 . 答案：x|x7 3对于任意实数 x，不等式 mx2mx10 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析： 当 m0 时， mx2mx110， 不等式恒成立； 当 m0 时， 由m0，m24m0，解得4m0.综上，m 的取值范围是(4，0 答案：(4，0 考点一 一元二次不等式的解法(基础型) 复习指导| 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 2通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式 核心素养：数学抽象、数学运算 (1)已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x3 的解集为_ (2)已知不等式 ax2bx10 的解集是x|12xa2(aR) 【解】 (1)由题意x0，x22x3或x3，解得 x1.故填x|x1 (2)由题意，知12，13是方程 ax2bx10 的两个根，且 aa2， 所以 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0. 令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a4，x2a3. 当 a0 时，a4a3， 解集为xxa3； 当 a0 时，x20，解集为x|xR，且 x0； 当 aa3， 解集为xxa4. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xxa3；当 a0 时，不等式的解集为 x|xR，且 x0；当 a0 时，不等式的解集为xxa4. (1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤 二次项若含有参数应讨论参数是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； 判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式 与 0 的关系； 确定方程无实根或有两个相同实根时， 可直接写出解集； 确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式 1不等式 00，x2x24，即x2x20，x2x60， 即（x2）（x1）0，（x3）（x2）0， 解得x2或x1，2x3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为x|2x1 或 25 或 x43. 所以原不等式的解集为xx43或x5 . 答案：，43(5，) 3解不等式 ax2(a1)x10) 解：因为 a0，原不等式等价于x1a(x1)0. 当 a1 时，1a1，x1a(x1)1 时，1a1，解x1a(x1)0 得1ax1； 当 0a1，解x1a(x1)0 得 1x1a. 综上所述，当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax0(a0)解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根，也是函数 yax2bxc 与 x轴交点的横坐标 角度一 形如 f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 当 a20，即 a2 时，不等式为40， 对一切 xR 恒成立 当 a2 时，则a20，4（a2）216（a2）0， 即 a22a2，解得2a0 a0，0，0 ax2bxc0 a0，0 ax2bxc0 a0，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 设 f(x)x22(a2)xa. 因为对于任意的 x(，1)(5，)，都有 f(x)x22(a2)xa0， 所以 0 或0，1a25，f（1）0，f（5）0， 解得 1a4 或 4a5， 即 10，（1m）24m20，解得 m13. 答案：13， 2已知函数 f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x)成立，若当 x1，1时，f(x)0 恒成立，求实数 b 的取值范围 解：由 f(1x)f(1x)知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，即a21，解得 a2. 又因为 f(x)的图象开口向下， 所以当 x1，1时，f(x)为增函数， 所以当 x1，1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 若当 x1，1时，f(x)0 恒成立， 则 b2b20 恒成立，解得 b2. 所以实数 b 的取值范围为(，1)(2，) 基础题组练 1不等式(x2)(2x3)0 的解集是( ) A，32(2，) BR C32，2 D 解析：选 C因为不等式(x2)(2x3)0， 解得32x2， 所以不等式的解集是32，2 . 2不等式2x11 的解集是( ) A(，1)(1，) B(1，) C(，1) D(1，1) 解析：选 A因为2x11，所以2x110，即1xx10，所以 x1. 3若不等式 ax2bx20 的解集为x|x13，则aba的值为( ) A56 B16 C16 D56 解析：选 A由题意得方程 ax2bx20 的两根为12与13，所以ba121316，则aba1ba11656. 4已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，则不等式 f(2x)0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)， 所以 a0，且1aba2，ba3 解得 a1 或 a13(舍去)， 所以 a1，b3，所以 f(x)x22x3， 所以 f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得 x12或 xx(x2)的解集是_ 解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2. 答案：x|0 x2 7若 0a0 的解集是_ 解析：原不等式可化为(xa)x1a0，由 0a1 得 a1a，所以 ax1a. 答案：a，1a 8(创新型)规定符号“”表示一种运算，定义 ab abab(a，b 为非负实数)，若 1k23，则 k 的取值范围是_ 解析：因为定义 ab abab(a，b 为非负实数)，1k23，所以 k21k23， 化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k0 的解集是x12x0 的解集 解：(1)由题意知 a0， 即为2x25x30，即 2x25x30，解得3x0 的解集为3，12. 10已知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR) (1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)f（x），x0，f（x），x0，求 F(2)F(2)的值； (2)若 a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0，1上恒成立，试求 b 的取值范围 解：(1)因为 f(x)最小值是 f(1)0，且 c1， 所以b2a1f（1）ab10，得a1b2， 所以 f(x)x22x1(x1)2， 因为 F(x)f（x），x0，f（x），x0 的解集是(1，2)，则下列选项正确的是( ) Ab0 Babc0 Cabc0 D不等式 ax2bxc0 的解集是(2，1) 解析：选 ABD对于 A，a0，1，2 是方程 ax2bxc0 的两个根，所在121ba，12ca，所以 ba，c2a，所以 b0，所以 A 正确；令 f(x)ax2bxc，对于 B，由题意可知 f(1)abc0，所以 B 正确；对于 C，f(1)abc0，所以 C 错误，对于 D，因为对于方程 ax2bxc0，设其两根为 x1，x2，所以 x1x2ba1，x1x2ca2，所以两根分别为2 和 1.所以不等式 ax2bxc0 的解集是(2，1)，所以 D 正确 2若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4，3的子集，则 a 的取值范围是( ) A4，1 B4，3 C1，3 D1，3 解析：选 B原不等式为(xa)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为a，1，此时只要 a4 即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要 a3 即可，即 1a3.综上可得4a3. 3对于实数 x，当且仅当 nxn1(nN*)时，xn，则关于 x 的不等式 4x236x450 的解集为_ 解析：由 4x236x450，得32x152，又当且仅当 nx0 的解集是(1，3)，则 b_；若对于任意 x1，0，不等式 f(x)t4 恒成立，则实数 t 的取值范围是_ 解析：由不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，可知1 和 3 是方程2x2bxc0 的根，即2b2，3c2，解得b4，c6，所以 f(x)2x24x6.所以不等式 f(x)t4 可化为 t2x24x2，x1，0 令 g(x)2x24x2，x1，0，由二次函数的性质可知 g(x)在1，0上单调递减，则 g(x)的最小值为 g(0)2，则 t2. 答案：4 (，2 5(应用型)某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加85x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 解：(1)由题意得，y1001x10 1001850 x . 因为售价不能低于成本价， 所以 1001x10800，解得 0 x2.所以 yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x|0 x2 (2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260，化简得 8x230 x130.解得12x134.所以 x 的取值范围是12，2 . 6(综合型)(2020 湖北孝感 3 月模拟)设关于 x 的一元二次方程 ax2x10(a0)有两个实根 x1，x2. (1)求(1x1)(1x2)的值； (2)求证：x11 且 x20)有两个实根 x1，x2. 所以 x1x21a，x1x21a， 则(1x1)(1x2)1x1x2x1x211a1a1. (2)证明：由 0，得 00， 所以 f(x)的图象与 x 轴的交点均位于点(1，0)的左侧， 故 x11 且 x20，14a00a14， 所以 a 的取值范围为10121，14.